1、.含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性 基礎(chǔ)知識總結(jié)和邏輯關(guān)系一、函數(shù)的單調(diào)性求可導函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法:1) 確定函數(shù)的 f (x) 的定義區(qū)間；2) 求 f ( x) ，令 f (x)0 ，解此方程，求出它在定義區(qū)間內(nèi)的一切實根；3) 把函數(shù) f ( x) 的無定義點的橫坐標和上面的各實數(shù)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)f ( x) 的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間；4) 確定 f (x) 在各個區(qū)間內(nèi)的符號，由f (x) 的符號判定函數(shù)fx在每個相應(yīng)小區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.二、函數(shù)的極值求函數(shù)的極值的三個基本步驟1) 求導數(shù) f (x) ；2) 求方程 f (x) 0 的所有實數(shù)根；3)檢驗 f

2、(x) 在方程f (x)0 的根左右的符號，如果是左正右負（左負右正），則 f ( x)在這個根處取得極大（?。┲?三、求函數(shù)最值1) 求函數(shù) f (x) 在區(qū)間 ( a , b) 上的極值；2)將極值與區(qū)間端點函數(shù)值f ( a), f (b) 比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值 .四利用導數(shù)證明不等式1） 利用導數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性來證明不等式我們知道函數(shù)在某個區(qū)間上的導數(shù)值大于（或小于） 0 時，則該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增（或遞減） . 因而在證明不等式時，根據(jù)不等式的特點，有時可以構(gòu)造函數(shù)，用導數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性 , 然后再用函數(shù)單調(diào)性達到證明不等式的目的. 即把證明不等

3、式轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)的單調(diào)性 . 具體有如下幾種形式：.直接構(gòu)造函數(shù)， 然后用導數(shù)證明該函數(shù)的增減性；再利用函數(shù)在它的同一單調(diào)遞增（減）區(qū)間，自變量越大，函數(shù)值越大（?。?，來證明不等式成立.把不等式變形后再構(gòu)造函數(shù), 然后利用導數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性，達到證明不等式的目的 .2） 利用導數(shù)求出函數(shù)的最值（或值域）后，再證明不等式.導數(shù)的另一個作用是求函數(shù)的最值.因而在證明不等式時，根據(jù)不等式的特點，有時可以構(gòu)造函數(shù)，用導數(shù)求出該函數(shù)的最值；由當該函數(shù)取最大（或最小）值時不等式都成立，可得該不等式恒成立. 從而把證明不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題.含參函數(shù)的單調(diào)性，核心是三個步驟，四個流程：1）第一步

4、：先求定義域，再求導；2）第二步： 準確求出導數(shù)f ( x) 之后，按以下四個流程依次走： 【注意題目本身給定的參數(shù)范圍】流程 ：最高次項系數(shù)如果含參數(shù)，分“ 0 ；0 ；0”三種情況依次討論該系數(shù)。（不含參就直接略過） “ 0 ”時，求出參數(shù)的值，代回f (x) ，寫出不含參數(shù)的 f (x) 的最簡潔、直觀的形式； “ 0 ”或 “ 0”時，把最高次項系數(shù)外提，化簡變形（含因式分解）到最簡潔、直觀的形式，能直接看出根來。流程 ：接流程 ，判斷方程 f ( x)0是否有根 。如果方程f (x)0沒有任何實根，說明 f ( x)0或 f ( x)0恒成立， f (x) 恒定單增或單減，直接寫結(jié)論

5、；如果方程f ( x)0 有實根，全部求出來，寫明“x1”，“x2”然后進入流程 。流程 ： 判斷由 得出的根是否在定義域內(nèi)。（ i）定義域內(nèi)沒有根，寫出f ( x) ，肯定有 f (x)0或 f (x)0，說明函數(shù) f (x) 在定義域內(nèi)恒定單增或單減，直接寫出結(jié)論； （ii ）定義域內(nèi)有且只有一個根，對這個唯一的根進行列表， 判斷 f ( x) 單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間；（iii ）定義域內(nèi)有兩根（包含兩等根或兩異根） ，那么就進入流程 。流程 ：在流程 中確定二次函數(shù)型 f (x)0在定義域內(nèi)有兩根 x , x 的情況12下，討論兩根大?。?“ ”，“ ”， “ ”）。然后列表，依據(jù)表

6、格寫出結(jié)論。.3）第三步：（3）寫綜上所述。對參數(shù)的所有可能取值都要寫出，對應(yīng)結(jié)論相同的時候，參數(shù)范圍必須合并。【題】討論函數(shù)f ( x)xekx (k0) 的單調(diào)區(qū)間。【難度】 *【題】 討論函數(shù)f ( x)ln(1x)xk x2 的單調(diào)區(qū)間。2【難度】 *【點評】求單調(diào)區(qū)間的步驟（1）確定函數(shù)的定義域，（ 2）求出f ( x) ，令f ( x)0，求出根，求出在定義域內(nèi)所有的根，（ 3）把函數(shù)的間斷點在橫坐標上從小到大排列起來，把定義域分成若干個小區(qū)間，（ 4）確定 f ( x) 在每個區(qū)間的正負號，求出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間?！绢}】判斷函數(shù)f ( x)x24xa ln x 的單調(diào)性。【難度】 *

7、【題】求函數(shù) f ( x)x3ax2a2 x 1的單調(diào)區(qū)間。4【難度】 *【題】、求函數(shù) f (x)ex (x2ax1)(x2,ar) 的單調(diào)區(qū)間。【難度】 *【題】求函數(shù) f ( x)1 x2a ln x( a r) 的單調(diào)區(qū)間。2【難度】 *【題】討論函數(shù) f ( x)kx22x ln(2 x 1)的單調(diào)性。.【難度】 *【題】討論函數(shù)【難度】 *ekxf ( x)的單調(diào)性。x1【題】討論函數(shù) f ( x)2xa 的單調(diào)性。( x1)2【難度】 *【題】求函數(shù) f ( x)ex ( x2ax1)(x1,ar) 的單調(diào)區(qū)間?！倦y度】 *【題】求函數(shù) f ( x)ex ( x2ax1)(x3,

8、ar) 的單調(diào)區(qū)間?！倦y度】 *3 利用導數(shù)研究含參變量函數(shù)的最值問題利用導數(shù)研究含參變量函數(shù)最值的基本思路和大致步驟：通常是先討論函數(shù)的單調(diào)性， 必要時畫出函數(shù)的示意圖， 然后進行最值的討論。【題】已知函數(shù) fxxk ex1 求 fx 的單調(diào)區(qū)間；2 求 fx 在區(qū)間 0,1 上的最小值 .【解析】：（1）, k 1減 k 1,（2） k1, fxmink. k 2, f xmin(1k)e1k2， fxek 1min【難度】 *【題】已知函數(shù) f ( x)ax21(a 0)，g(x) x3bx當 a24b時，求函數(shù)f ( x)g( x) 的單調(diào)區(qū)間 ，并求其在區(qū)間 , 1 上的最大值 .【

9、難度】 *【題】已知函數(shù) f ( x)1 x32x23x 1，給定區(qū)間3 a,2 a ，（ a0），試求 f ( x )在此區(qū)間上的最大值?！倦y度】 *【題】已知 a0，函數(shù) f ( x)a ln x：x（ 1） 討論 f ( x) 的單調(diào)性；（ 2） 求 f (x)在區(qū)間 a,2 a 上的最值 .【答案】：0aef ( x)maxf (2a)ln 2a時 ，22f ( x)minf (a)ln aae時，f ( x)maxf (a) ln a，.f ( x)minf (2a)ln2a2 2ae時，f (x)maxf (e)aef ( x)minf (2a)ln2a2ea2f ( x)maxf

10、 (e)a時，e2f ( x)minf (a)ln a【難度】 *【點評】，【題】、已知函數(shù) f ( x) ln(ax1)1x1, x 0,a 0x(1)求 f ( x) 的單調(diào)區(qū)間；(2)若 f ( x) 的最小值為 1，求 a 的取值范圍 .【答案】： a2時， f ( x) 在0,) 上單調(diào)遞增0a2 時， f ( x) 在0,2a )上單調(diào)遞減af ( x) 在 ( 2a ,)上單調(diào)遞增a2a【難度】 *.【題】已知函數(shù)：f (x)x( a1) ln xa ( a r) , 當 x 1, e 時，求 f (x)x的最小值；【答案】當 1ae 時 ， f x minaa1 ln a1a當

11、 ae 時， fx minea1e【難度】 *【題】已知函數(shù) f ( x) 3x2 1(a 0), g( x) x39x，若 f ( x)g( x) 上的最大值為 28.求實數(shù) k 的取值范圍【難度】 *【 題 】 已 知 函 數(shù) f xax3x2bx （ 其 中 常 數(shù)a,br ）， g x fxfx為奇函數(shù) .(1)求 fx的表達式；(2)討論 gx 的單調(diào)性，并求 gx 在區(qū)間1,2 上的最大值與最小值 .【答案 】 f x1 x3x2 gx在 1,2 上最 大值為342，最小值433【難度】 *【題】設(shè) f ( x)1 x31 x22ax.32.（1）若 f ( x) 在 ( 2 ,)

12、上存在單調(diào)遞增區(qū)間， 求 a的取值范圍；316（2）當 0a2時， f ( x) 在1,4 上的最小值為，求3f ( x) 在該區(qū)間上的最大值。【答案】 a的取值范圍是 (1 , )910f ( x) 在該區(qū)間上的最大值為.3【難度】 *【題】已知函數(shù) f ( x)ln xx2(1)求函數(shù) f ( x) 的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求函數(shù) f ( x)在 (0, a,( a0)上的最大值 .2(0,)【答案】當 0a20) 上的最時， f ( x) 在 (0, a,( aa22大值為 ln a;當 a20) 上的最大值時， f ( x) 在 (0, a,( a2.1為ln22【難度】 *【題】設(shè)函數(shù) f ( x)1(1a)xx2x3 ，其中 a0:（1）討論 f ( x) 在其定義域上的單調(diào)性；（2） x0,1時，求 f ( x) 取得最大值和最小值時 x的值 .【難度】 *【題】已知函數(shù) f (x)x3ax2bx c