1、1,材料計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬講義 有限差分法,2,主要內(nèi)容,1、差分原理及逼近誤差 2、差分方程，截?cái)嗾`差和相容性 3、收斂性與穩(wěn)定性 4、Lax等價(jià)定理,3,第一節(jié) 差分原理及逼近誤差/差分原理（1/8）,1差分原理 設(shè)有x的解析函數(shù)y=f(x)，從微分學(xué)知道函數(shù)y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)為,（1-1）,是函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，又稱微商；,、,分別稱為函數(shù)及自變量的差分，,為函數(shù)對(duì)自變量的差商。,4,第一節(jié) 差分原理及逼近誤差/差分原理（2/8）,向前差分,（1-2）,向后差分,（1-3）,中心差分,（1-4）,0,5,第一節(jié) 差分原理及逼近誤差/差分原理（3/8）,上面談的是一階導(dǎo)數(shù)，對(duì)應(yīng)的稱為一階差分。對(duì)一階

2、差分再作一階差分，所得到的稱為二階差分，記為 。,以向前差分為例，有,（1-5）,6,第一節(jié) 差分原理及逼近誤差/差分原理（4/8）,依此類推，任何階差分都可由其低一階的差分再作一階差分得到。 例如n 階前差分為,（1-6）,7,第一節(jié) 差分原理及逼近誤差/差分原理（5/8）,函數(shù)的差分與自變量的差分之比，即為函數(shù)對(duì)自變量的差商。 一階向前差商為,一階向后差商為,（1-7）,（1-8）,8,第一節(jié) 差分原理及逼近誤差/差分原理（6/8）,一階中心差商為,或,（1-9）,（1-10）,9,第一節(jié) 差分原理及逼近誤差/差分原理（7/8）,二階差商多取中心式，即,當(dāng)然，在某些情況下也可取向前或向后的

3、二階差商。,（1-11）,10,第一節(jié) 差分原理及逼近誤差/差分原理（8/8）,以上是一元函數(shù)的差分與差商。多元函數(shù)f(x,y,)的差分與差商也可以類推。 如一階向前差商為,（1-12）,（1-13）,11,第一節(jié) 差分原理及逼近誤差/逼近誤差（1/9）,差商與導(dǎo)數(shù)之間的誤差表明差商逼近導(dǎo)數(shù)的程度，稱為逼近誤差。由函數(shù)的Taylor展開，可以得到逼近誤差相對(duì)于自變量差分（增量）的量級(jí)，稱為用差商代替導(dǎo)數(shù)的精度，簡(jiǎn)稱為差商的精度。,（1-14）,（1-15）,2逼近誤差,12,第一節(jié) 差分原理及逼近誤差/逼近誤差（2/9）,一階向后差商也具有一階精度。,（1-16）,13,第一節(jié) 差分原理及逼近

4、誤差/逼近誤差（3/9）,將,與,的Taylor展開式相減可得,可見一階中心差商具有二階精度。,（1-17）,14,第一節(jié) 差分原理及逼近誤差/逼近誤差（4/9）,將,與,的Taylor展開式相加可得,這說明二階中心差商的精度也為二階,（1-18）,15,第一節(jié) 差分原理及逼近誤差/逼近誤差（5/9）,設(shè)有函數(shù)f(x)，自變量x的增量為,，若取,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為,，則f(x)在xi處的n階差分可表達(dá)為,式中cj為給定系數(shù)，J1和J2是兩個(gè)正整數(shù)。,（1-19）,（1-20）,當(dāng)J1=0時(shí)，稱為向前差分； 當(dāng)J2=0時(shí)，稱為向后差分； 當(dāng)J1=J2且 時(shí)，稱為中心差分。,16,第一節(jié) 差分原理及逼

5、近誤差/逼近誤差（6/9）,函數(shù)的n階差分與自變量的n階差分之比為n階差商，可用Taylor展開分析其逼近誤差,。顯然，,的差商及其對(duì)應(yīng)的差分是不恰當(dāng)?shù)?。?dāng)且aj為表2-1至表2-6中所,列的數(shù)值時(shí)，可得m0。,（1-21）,17,第一節(jié) 差分原理及逼近誤差/逼近誤差（7/9）,表2,表1,其中表1和表2的m=1，即此二表對(duì)應(yīng)差商的精度是一階的；,18,第一節(jié) 差分原理及逼近誤差/逼近誤差（8/9）,表3,表4,表5,表3至表5的m=2，即這些表對(duì)應(yīng)差商的精度是二階的；,19,第一節(jié) 差分原理及逼近誤差/逼近誤差（9/9）,表6的m=4，即此表對(duì)應(yīng)差商的精度是四階的。,表6,20,第一節(jié) 差分

6、原理及逼近誤差/非均勻步長(zhǎng)（1/3）,在有些情況下要求自變量的增量本身是變化的，如圖2-1中的,，是不相等的，相應(yīng)的差分和差商就是不等距的。,圖1-1 非均勻步長(zhǎng)差分,3非均勻步長(zhǎng),一階向后差商,一階中心差商,（1-22）,（1-23）,21,第一節(jié) 差分原理及逼近誤差/非均勻步長(zhǎng)（2/3）,圖1-2 均勻和非均勻網(wǎng)格實(shí)例1,22,第一節(jié) 差分原理及逼近誤差/非均勻步長(zhǎng)（3/3）,圖1-3 均勻和非均勻網(wǎng)格實(shí)例2,23,第二節(jié) 差分方程、截?cái)嗾`差和相容性/差分方程（1/3）,差分相應(yīng)于微分，差商相應(yīng)于導(dǎo)數(shù)。差分和差商是用有限形式表示的，而微分和導(dǎo)數(shù)則是以極限形式表示的。如果將微分方程中的導(dǎo)數(shù)用

7、相應(yīng)的差商近似代替，就可得到有限形式的差分方程。現(xiàn)以對(duì)流方程為例，列出對(duì)應(yīng)的差分方程。,（2-1）,24,圖2-1 差分網(wǎng)格,第二節(jié) 差分方程、截?cái)嗾`差和相容性/差分方程（2/3）,25,若時(shí)間導(dǎo)數(shù)用一階向前差商近似代替，即,空間導(dǎo)數(shù)用一階中心差商近似代替，即,則在,點(diǎn)的對(duì)流方程就可近似地寫作,（2-2）,（2-3）,（2-4）,第二節(jié) 差分方程、截?cái)嗾`差和相容性/差分方程（3/3）,26,第二節(jié) 差分方程、截?cái)嗾`差和相容性/截?cái)嗾`差（1/6）,按照前面關(guān)于逼近誤差的分析知道，用時(shí)間向前差商代替時(shí)間導(dǎo)數(shù)時(shí)的誤差為 ,用空間中心差商代替空間導(dǎo)數(shù)時(shí)的誤差為,，因而對(duì)流方程與對(duì)應(yīng)的差分方程之間也存在

8、一個(gè)誤差，它是,這也可由Taylor展開得到。因?yàn)?（2-5）,（2-6）,27,第二節(jié) 差分方程、截?cái)嗾`差和相容性/截?cái)嗾`差（2/6）,一個(gè)與時(shí)間相關(guān)的物理問題，應(yīng)用微分方程表示時(shí)，還必須給定初始條件，從而形成一個(gè)完整的初值問題。 對(duì)流方程的初值問題為,這里,為某已知函數(shù)。同樣，差分方程也必須有初始條件：,初始條件是一種定解條件。如果是初邊值問題，定解條件中還應(yīng)有適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件。差分方程和其定解條件一起， 稱為相應(yīng)微分方程定解問題的差分格式。,（2-7）,（2-8）,28,第二節(jié) 差分方程、截?cái)嗾`差和相容性/截?cái)嗾`差（3/6）,FTCS格式,（2-9）,FTFS格式,（2-10）,（2-11

9、）,FTBS格式,29,第二節(jié) 差分方程、截?cái)嗾`差和相容性/截?cái)嗾`差（5/6）,(a) FTCS (b)FTFS (c)FTBS 圖2-2 差分格式,30,第二節(jié) 差分方程、截?cái)嗾`差和相容性/截?cái)嗾`差（6/6）,FTCS格式的截?cái)嗾`差為,FTFS和FTBS格式的截?cái)嗾`差為,（2-12）,（2-13）,3種格式對(duì),都有一階精度。,31,第二節(jié) 差分方程、截?cái)嗾`差和相容性/相容性（1/3）,一般說來，若微分方程為,其中D是微分算子，f是已知函數(shù)，而對(duì)應(yīng)的差分方程為,其中,是差分算子，則截?cái)嗾`差為,這里,為定義域上某一足夠光滑的函數(shù)，當(dāng)然也可以取微分方程的解 。,（2-14）,（2-15）,（2-1

10、6）,如果當(dāng),、,時(shí)，差分方程的截?cái)嗾`差的某種范數(shù),也趨近于零，即,則表明從截?cái)嗾`差的角度來看，此差分方程是能用來逼近微分方程的，通常稱這樣的差分方程和相應(yīng)的微分方程相容（一致）。 如果當(dāng),、,時(shí)，截?cái)嗾`差的范數(shù)不趨于零，則稱為不相容（不一致），這樣的差分方程不能用來逼近微分方程。,（2-17）,32,第二節(jié) 差分方程、截?cái)嗾`差和相容性/相容性（2/3）,若微分問題的定解條件為,其中B是微分算子，g是已知函數(shù)，而對(duì)應(yīng)的差分問題的定解條件為,其中,是差分算子，則截?cái)嗾`差為,（2-18）,（2-19）,（2-20）,33,第二節(jié) 差分方程、截?cái)嗾`差和相容性/相容性（3/3）,只有方程相容，定解條件

11、也相容，即,和,整個(gè)問題才相容。,（2-21）,無條件相容 條件相容,以上3種格式都屬于一階精度、二層、相容、顯式格式。,34,第三節(jié) 收斂性與穩(wěn)定性/收斂性（1/6）,，也是微分問題定解區(qū)域上的一固定點(diǎn)，設(shè)差分格式在此點(diǎn),的解為 , 相應(yīng)的微分問題的解為,，二者之差為,稱為離散化誤差。如果當(dāng),時(shí)，離散化誤差的某種范數(shù),趨近于零，即,則說明此差分格式是收斂的，即此差分格式的解收斂于相應(yīng)微分問題的解， 否則不收斂。與相容性類似，收斂又分為有條件收斂和無條件收斂。,（3-1）,、,（3-2）,35,第三節(jié) 收斂性與穩(wěn)定性/收斂性（3/6）,相容性不一定能保證收斂性，那么對(duì)于一定的差分格式，其解能否

12、收斂到相應(yīng)微分問題的解？答案是差分格式的解 收斂于微分問題的解是可能的。至于某給定格式是否收斂，則要按具體問題予以證明。下面以一個(gè)差分格式為例， 討論其收斂性： 微分問題,的FTBS格式為,在某結(jié)點(diǎn)（xi , tn）微分問題的解為,，差分格式的解為,，則離散化誤差為,（3-6）,（3-5）,（3-4）,36,第三節(jié) 收斂性與穩(wěn)定性/收斂性（4/6）,按照截?cái)嗾`差的分析知道,以FTBS格式中的第一個(gè)方程減去上式得,或?qū)懗?，則,式中,表示在第n層所有結(jié)點(diǎn)上,的最大值。,（3-7）,（3-8）,（3-9）,（3-10）,37,第三節(jié) 收斂性與穩(wěn)定性/收斂性（5/6）,由上式知，對(duì)一切i有,故有,于

13、是,綜合得,（3-11）,（3-13）,（3-12）,（3-14）,38,第三節(jié) 收斂性與穩(wěn)定性/收斂性（6/6）,由于初始條件給定函數(shù),的初值，初始離散化誤差,。并且,是一有限量，因而,可見本問題FTBS格式的離散化誤差與截?cái)嗾`差具有相同的量級(jí)。最后得到,這樣就證明了，當(dāng),時(shí)，本問題的RTBS格式收斂。這種離散化誤差的最大絕對(duì)值趨于零的 收斂情況稱為一致收斂。,。,（3-15）,（3-16）,此例介紹了一種證明差分格式收斂的方法，同時(shí)表明了相容性與收斂性的關(guān)系：相容性是收斂性的必要條件， 但不一定是充分條件，還可能要求其他條件，如本例就是要求,。,39,第三節(jié) 收斂性與穩(wěn)定性/穩(wěn)定性（1/8

14、）,首先介紹一下差分格式的依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域。還是以初值問題,（3-17）,(a) FTCS (b) FTFS (c) FTBS 圖3-1差分格式的依賴區(qū)間,40,第三節(jié) 收斂性與穩(wěn)定性/穩(wěn)定性（2/8）,FTCS格式 (b) FTFS格式 (c) FTBS格式 圖3-2 差分格式的影響區(qū)域,41,第三節(jié) 收斂性與穩(wěn)定性/穩(wěn)定性（3/8）,其解為零，即,若用FTBS格式計(jì)算，且計(jì)算中不產(chǎn)生任何誤差，則結(jié)果也是零，即,當(dāng)采用不同差分格式時(shí)，其依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域可以是不一樣的。依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域是由差分格式本身的構(gòu)造所決定的，并與步長(zhǎng)比,有關(guān)。,（3-18）,（3-1

15、9）,42,（3-20）,假設(shè)在第k層上的第j點(diǎn)，由于計(jì)算誤差得到,不妨設(shè)k=0, j=0,，即相當(dāng)于FTBS格式寫成,43,第三節(jié) 收斂性與穩(wěn)定性/穩(wěn)定性（4/8）,（1）,n,44,第三節(jié) 收斂性與穩(wěn)定性/穩(wěn)定性（5/8）,（2）,n,45,第三節(jié) 收斂性與穩(wěn)定性/穩(wěn)定性（6/8）,（3）,n,46,第三節(jié) 收斂性與穩(wěn)定性/穩(wěn)定性（8/8）,表示為連續(xù)函數(shù)Z(x，t)，則穩(wěn)定性的一種定義為,（3-21）,（3-22）,（3-23）,（3-24）,47,第四節(jié) Lax等價(jià)定理（1/4）,相容性是收斂性的必要條件；還發(fā)現(xiàn)，穩(wěn)定性與收斂性有一定的聯(lián)系。Lax等價(jià)定理就是闡述相容性、收斂性和穩(wěn)定性三者之間關(guān)系的。,Lax等價(jià)定理：對(duì)一個(gè)適定的線性微分問題及一個(gè)與其相容的差分格式，如果該格式穩(wěn)定則必收斂，不穩(wěn)定必不收斂。換言之，若線性微分問題適定，差分格式相容，則穩(wěn)定性是收斂性的必要和充分條件。這也可表示為,48,第四節(jié) Lax等價(jià)定理（2/4）,和Z分別為微分解和差分解。兩式相減得,改寫成,（4-1）,（4-2）,（4-3）,（4-4）,49,第四節(jié) Lax等價(jià)定理（3/4）,若定解條件為,及,其中,是截?cái)嗾`差。若差分格式是穩(wěn)定的，按穩(wěn)定性的定義，應(yīng)該有,將（4-4）式、（4-6）式代入得,當(dāng)差分格式相容時(shí)