1、1,第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù),1. 復(fù)數(shù)代數(shù)運算,2. 復(fù)數(shù)的各種表示法,3. 乘冪與方根運算公式,4. 復(fù)數(shù)方程表示曲線以及不等式表示區(qū)域,2,解,3,解,4,解,5,例5 滿足下列條件的點組成何種圖形?是不是區(qū) 域?若是區(qū)域請指出是單連通區(qū)域還是多連通區(qū)域.,解 是實數(shù)軸,不是區(qū)域.,是以 為界的帶形單連通區(qū) 域.,解,6,是以 為焦點,以3為半 長軸的橢圓閉區(qū)域,它不是區(qū) 域.,不是區(qū)域，因為圖中,解,解,在圓環(huán)內(nèi)的點不是內(nèi)點.,7,例6 函數(shù) 將 平面上的下列曲線變成 平 面上的什么曲線？,解,又,于是,表示 平面上的圓.,(1),8,解,表示 平面上以 為圓心， 為半徑的圓.,9,第二

2、章 解析函數(shù),1. 解析函數(shù)的概念；,2. 函數(shù)解析性的判別（C-R方程）,3. 幾個常用初等函數(shù),10,3.初等解析函數(shù),1)指數(shù)函數(shù),11,2)三角函數(shù),12,(4)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都是解析函數(shù),13,其它復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)的定義,14,3）對數(shù)函數(shù),因此,15,16,4)冪函數(shù),17,典型例題,證,18,19,例2 函數(shù) 在何處 可導(dǎo)，何處解析.,解,故 僅在直線 上可導(dǎo).,故 在復(fù)平面上處處不解析.,20,例3 設(shè) 為解析函數(shù)，求 的值.,解 設(shè),故,由于 解析，所以,即,故,21,設(shè) 為 平面上任意一定點,當(dāng)點 沿直線 趨于 時,有,解,例4 研究 的可導(dǎo)性.,22,當(dāng)點 沿直

3、線 趨于 時,有,例4 研究 的可導(dǎo)性.,23,例5 解方程,解,24,例6 求出 的值.,解,25,解,例7 試求 函數(shù)值及其主值:,令 得主值:,26,第三章 復(fù)變函數(shù)的積分,1. 復(fù)積分的計算公式及基本性質(zhì),2.復(fù)積分的基本定理,3.柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式,27,積分存在的條件及計算,（1）化成線積分,（2）用參數(shù)方程將積分化成定積分,28,4. 積分的性質(zhì),29,30,閉路變形原理,一個解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.,那末,31,32,柯西積分公式,一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.,33,高階導(dǎo)數(shù)公式,34,調(diào)和函數(shù)和共軛調(diào)和函數(shù)

4、,任何在 D 內(nèi)解析的函數(shù),它的實部和虛部都是 D 內(nèi)的調(diào)和函數(shù).,35,定理 區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實部的共軛調(diào)和函數(shù).,共軛調(diào)和函數(shù),36,典型例題,例1 計算 的值，其中C為 1）沿從 到 的線段： 2）沿從 到 的線段： 與從 到 的線段 所接成的折線.,解,37,說明 同一函數(shù)沿不同路徑所得積分值不同.,38,解,分以下四種情況討論：,39,40,41,42,43,解,44,解法一 不定積分法. 利用柯西黎曼方程,45,因而得到解析函數(shù),46,解,例8 已知 求解析函數(shù) ,使符合條件,47,48,第四章 級 數(shù),1、復(fù)數(shù)列、復(fù)級數(shù)收斂充要條件,2、冪級數(shù)收斂半徑求法,3、函數(shù)展開

5、成泰勒級數(shù)與洛朗級數(shù),49,常見函數(shù)的泰勒展開式,50,51,將函數(shù)展為洛朗級數(shù)的方法,(1) 直接展開法,52,典型例題,例1 判別級數(shù)的斂散性.,解,發(fā)散，,收斂，,53,典型例題,例1 判別級數(shù)的斂散性.,解,54,解,收斂,收斂,典型例題,例1 判別級數(shù)的斂散性.,55,解,由正項級數(shù)的比值判別法知,絕對收斂.,典型例題,例1 判別級數(shù)的斂散性.,56,例2 求下列冪級數(shù)的收斂半徑,解,57,58,分析：采用間接法即利用已知的展開式來求.,解,例4 求 在 的泰勒展式.,解析函數(shù)展為冪級數(shù)的方法,59,由于,60,例7,分析：利用逐項求導(dǎo)、逐項積分法.,解,所以,61,例9,分析:利用

6、部分分式與幾何級數(shù)結(jié)合法. 即把函數(shù) 分成部分分式后, 應(yīng)用等比級數(shù)求和公式.,解,62,故,兩端求導(dǎo)得,63,64,例10,解,65,例11,解,有,66,67,同一級數(shù)在不同圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù)展開式是不同的.,68,解,例12,69,70,第五章 留 數(shù),1、孤立奇點的判別,2、留數(shù)的計算與留數(shù)定理,71,孤立奇點的概念與分類,2）孤立奇點的分類,內(nèi)的洛朗級數(shù)的情況分為三類:,i) 可去奇點; ii) 極點; iii) 本性奇點.,72,i) 可去奇點,73,ii) 極點,74,極點的判定方法,在點 的某去心鄰域內(nèi),其中 在 的鄰域內(nèi)解析, 且,(b) 由定義的等價形式判別,75,iii)本性奇點,76,3)函數(shù)的零點與極點的關(guān)系,77,2. 留數(shù),78,79,如果 為 的一級極點, 那末,a),2)留數(shù)的計算方法,80,81,3) 無窮遠(yuǎn)點的留數(shù),82,定理,83,在無窮遠(yuǎn)點處留數(shù)的計算,計算函數(shù)沿閉曲線積分的又一種方法:,此法在很多情況下此法更為簡單.,84,典型例題,解,求函數(shù),奇點及類型。,85,例4 求下列各函數(shù)在有限奇點處的留數(shù).,解,(1)在 內(nèi),86,解,87,解,為奇點,