1、最新 料推薦第五章相似矩陣和二次型正交矩 的性 ：若A, B 是正交矩 ， A 1 (AT ) 也是正交矩 ；要點(diǎn)和公式1 向量的內(nèi) a1b1a 2b2的內(nèi) 定 n 向量 , a nbn, T T a b a ba b1 12 2n n向量?jī)?nèi) 的性 （ , 是 n 向量， k 數(shù)） , , k, k , , , , , 0 ，等號(hào)成立當(dāng)且 當(dāng) 0 ., 2 , , (Cauchy-Schwarz 不等式 )2 向量的 度a1定 n 向量 a2的 度 (范數(shù) )為a n,T a12a22an2向量 度的性 0 ，等號(hào)成立當(dāng)且 當(dāng) 0 k k (三角不等式 )3 正交向量非零向量 ,正交的充要條件

2、是： , 0 零向量與任何向量正交非零正交向量 是 性無(wú)關(guān)的 次 性方程 Ax=O 的解集 (解空 )是由與 A 的行向量都正交的全部向量構(gòu)成的集合一 兩兩正交的 位向量 , , , 稱 正交 位向量 ，即12r，1,若 ijij0,若 ij若正交 位向量 , , 是向量空 的基， 稱之 12r范正交基。4 正交矩 定 若 A 方 ，且 ATAT或A1T)，E (或 AAE ，A 稱 A 正交矩 . AB 也是正交矩 ； A 1 或1n 方 A 是正交矩 的充要條件： A 的 n 個(gè)列向量 (或行向量 )是一個(gè)正交 位向量 ( 即 Rn 的一個(gè) 范正交基 ).4 矩 的特征 和特征向量定 設(shè)

3、A 是方 ，若 Ax= x ( 其中 是數(shù)， x 是非零向量 )， 稱數(shù) 是 A 的特征 ，非零向量 x 是 A 的 于 (或?qū)儆?)特征值 的特征向量 .凡是使得 AE 0 的 都是矩 A 的特征 ；A 的屬于特征 0 的全體特征向量是 ( A0 E ) xO 的解集合中除零向量外 的全體解向量， 其最大無(wú)關(guān) 含有n R(A 0 E)個(gè) 性無(wú)關(guān)的特征向量 .n 角 或上 (下)三角 的特征 就是其 n 個(gè)主 角元 .設(shè) n 方 A 的全部特征 1, 2 , , n ， 12ntr ()Atr( A)是 A 的 n 個(gè)主 角元之和，稱 A 的跡 12nA若 , 都是 A 的屬于特征 0的特征向

4、量， kk (其中121122k1, k2 任意常數(shù)，但 k kO)也是 A 的屬于特征 0 的特1 122征向量.設(shè) 0 是方 A 的一個(gè)特征 ， 是 于特征 0 的特征向量， ，k 0 是 kA 的一個(gè)特征 ； m0 是 Am 的一個(gè)特征 ； ( 0) 是 ( A)的一個(gè)特征 ； 其中，(x)c xkcx k 1c xc是關(guān)于 量 xkk110的 k 次多 式，( A)ckAkck1Ak 1c Ac E 10若 A 可逆， 01 是 A1 的一個(gè)特征 .并且 仍是以上各矩 分 屬于 k 0,0m , ( 0 ) , 01 的特征向量 .A 和 AT 有特征 相同 ( 特征多 式相同 )，但

5、特征向量不一定相同。如果0 是 n 方 A 的一個(gè) k 重特征 ， k n- R(A- 0E)，即， k屬于0 的 性無(wú)關(guān)的特征向量的最大個(gè)數(shù) .方 A 的屬于不同特征 的特征向量是 性無(wú)關(guān)的.設(shè) A 有 m 個(gè)不同的特征 : 1 ,2,m ，屬于 i 的 性無(wú)關(guān)的特征向量有 r i 個(gè) (i=1,2,m)， 所有 些向量 (共 r1 r2rm 個(gè))構(gòu)成的向量 是 性無(wú)關(guān)的 .5 相似矩 定 若 P-1AP=B (其中 P 是可逆矩 )， 稱 A 和 B 相似 .矩 的相似關(guān)系也是一種等價(jià)關(guān)系，具有反身性、 稱性、 性1最新 料推薦若存在可逆矩 P，使得 P-1AP= B (即 A 和 B 相

6、似 )， P-1 (kA) P=kB (即 kA 和 kB 相似 ) P-1 AmP=Bm( 即 Am 和 Bm 相似 )； P-1(A) P= (B) 即 (A)和 (B)相似 若 A 可逆， B 也可逆，且 P-1A-1P=B-1(即 A-1和 B-1 相似 )相似矩 有相同的特征 ， 但特征向量不一定相同。若 A 和 B 相似， R(A)=R(B)； AB6 矩 可 角化的條件矩 A 可 角化是指： 存在可逆矩 P，使得 A 和 角 相似，即 P-1 AP=n 方 A 可 角化的條件： A 有 n 個(gè) 性無(wú)關(guān)的特征向量( 充分必要條件 ) ； 每個(gè)特征 的重?cái)?shù)= 于 特征 的 性無(wú)關(guān)的特

7、征向量的最大個(gè)數(shù) ( 充分必要條件 ) ； n 方 A 有 n 個(gè)互異的特征 ( 充分條件 ) ； n 方 A 是 稱矩 ( 充分條件 ) .若 n 階 方 陣 A 可 對(duì) 角 化 (P-1AP= ) ， 則 對(duì) 角 陣d i a( g1, 1, n ) 的主 角元就是A 的 n 個(gè)特征 ；可逆 x T Ax yT (C T AC ) y d 1 y12d2 y22d n yn2或者 ， n 稱矩 A， 找可逆矩 TC，使得 C AC成 角 ： CTAC =diag( d1, d2, dn). 于任一 n 元二次型 f ( x , x , x)xT Ax，存在正交 1 2nx= Qy (Q 為

8、 n 正交矩 ) ，使得xT AxyT (QT AQ ) y1 y122 y22n yn2或者 ， 任一n 稱矩 A，存在正交 Q，使得Q T AQdiag (1,2 ,n )其中 角 diag ( 1, 1 , n ) 的主 角元就是A 的 n 個(gè)特征 ；正交 Q 的 n 個(gè)列向量是 于各特征 的正交 位特征向量 . 于任一 n 元二次型 f ( x1, x2 , xn )xT Ax ， 存在可逆的 性 x= Cy (C 為 n 可逆矩 )，使得x T Ax yT (C T AC ) y d1 y12d2 y22d n yn2或者 ， 任一n 稱矩 A，存在可逆 C，使得C T ACdiag

9、 (d1, d2,dn )(注：用不同的可逆 性 化二次型 準(zhǔn)形，其 準(zhǔn)形一般是不同的 )P 的 n 個(gè)列向量是 于各特征 的 性無(wú)關(guān)的特征向量.7 稱矩 稱矩 的特征 都是 數(shù) . 稱矩 于不同特征 的特征向量相互正交. 于 n 稱矩 A，必存在正交矩 Q，使得Q 1AQQT AQ diag ( ,1,n)1其中 角 diag ( 1, 1, n ) 的主 角元就是A 的 n 個(gè)特征 ；正交 Q 的 n 個(gè)列向量是 于各特征 的正交 位特征向量 .10 性定理 性定理： 于一個(gè)二次型， 不 作怎 的可逆 性 使之化 準(zhǔn)形，其中正平方 的 數(shù) p (正 性指數(shù) )和 平方 的 數(shù) q ( 性指

10、數(shù) )都是唯一的 . 于 n 元二次型xTAx，若正、 性指數(shù)分 p 和 q， 存在可逆的 性 x= Cy，使得x T Ax yT (C T AC ) y y12y 2py p21y 2p q (*)或者 ， 任一 n 稱矩 A，存在可逆 C，使得C T ACdiag (1, 1,1, 1,0, ,0)p個(gè)q個(gè)n ( p q )個(gè)8 合同矩 定 若 CT AC B(其中C是可逆矩 ， 稱A和B合同.)矩 的合同關(guān)系也是一種等價(jià)關(guān)系，具有反身性、 稱性、 性 .若矩 A 和 B 合同， R( A)R( B) .9 化二次型 準(zhǔn)形(*) 式稱 二次型的 范形， 即 準(zhǔn)形的系數(shù)只在中取 .11 正定

11、二次型的判定條件定 如果 任意的非零向量x，恒有二次型Tx Ax 是正定二次型，A 是正定矩 ； 于 n 稱矩 A，以下命 等價(jià)：1, -1, 0 三個(gè)數(shù)Tx Ax0， 稱定 n 元二次型是n 元二次 次多 式nnf (x1, x2 , xn)aij xi x j(雙重 加號(hào)表示法，其中aij =aji )i1 j1xT Ax矩 表示法，其中x( x1, x1,xn )T ，A ( aij )n n 是 n 稱矩 化二次型 準(zhǔn)形是指： 找可逆的 性 x=Cy (C 為 n 階可逆矩 )，使一般的 n 元二次型成 平方 之和： xTAx 是正定二次型(或 A 是正定矩 )； xTAx 的 準(zhǔn)形的

12、n 個(gè)系數(shù)全大于零(或 A 的正 性指數(shù) n，亦即 A 合同于 E)；存在可逆矩 P，使得 A=PTP； A 的 n 個(gè)特征 全大于零. A 的 n 個(gè) 序主子式的 全大于零.2最新 料推薦附：其它的有定二次型定義 T如果對(duì)任意的非零向量x，恒有二次型x Ax 0，但至少存在一TT個(gè)非零向量x0，使得 x0 Ax 0=0，則稱 x Ax 是半正定二次型， A是半正定矩陣；如果對(duì)任意的非零向量x，恒有二次型TTx Ax0，則稱 x Ax 是負(fù)定二次型， A 是負(fù)定矩陣；如果對(duì)任意的非零向量x，恒有二次型xTAx 0，但至少存在一個(gè)非零向量 x0，使得 x0TAx 0=0，則稱 xTAx 是半負(fù)定

13、二次型， A是半負(fù)定矩陣 .對(duì)于 n 階實(shí)對(duì)稱矩陣 A，以下命題等價(jià)： xTAx 是半正定二次型 ( 或 A 是半正定矩陣 )； A 的正慣性指數(shù) =R(A)=rn，即 A 合同于 diag (1,1, 0,0) ；r 個(gè)nr 個(gè)存在降秩矩陣P，使得 A= PTP；A 的 n 個(gè)特征值0，但至少有一個(gè)等于零；A 的 n 個(gè)順序主子式的值0，但至少有一個(gè)等于零.對(duì)于 n 階實(shí)對(duì)稱矩陣A，以下命題等價(jià)： xTAx 是負(fù)定二次型(或 A 是負(fù)定矩陣 )；xTAx 的標(biāo)準(zhǔn)形的n 個(gè)系數(shù)全小于零(或 A 的負(fù)慣性指數(shù)為n，亦即 A 合同于 E)；存在可逆矩陣P，使得 A= PTP；A 的 n 個(gè)特征值全

14、小于零.A 的奇數(shù)階順序主子式小于零，偶數(shù)階順序主子式大于零.對(duì)于 n 階實(shí)對(duì)稱矩陣A，以下命題等價(jià)： xTAx 是半負(fù)定二次型 (或 A 是負(fù)正定矩陣 )； A 的 負(fù) 慣 性 指 數(shù) =R(A)=rn ， 即 A合 同 于d i a( g1,1, 0,0) ；r個(gè)nr個(gè)存在降秩矩陣P，使得 A= - PTP；A 的 n 個(gè)特征值0，但至少有一個(gè)等于零；A 的奇數(shù)階順序主子式0，偶數(shù)階順序主子式0，但至少有一個(gè)等于零 .3最新 料推薦典型 型1 向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度、正交性 內(nèi)積的運(yùn)算例 1 已知TT，求 , , , , =(2, 1, 3, 2) ,=(1, 2, -2, 1)解 , 2 21

15、233 223 2 , 122 2( 2) 31210 , 2 1 1 2 3 ( 2) 2 1 0 , 323212322 7TT與 正交 .練習(xí) 1 設(shè) =(1, - 2, 3) ,=(2, - 1, 0) ，求實(shí)數(shù) ，使得 +答案 由+ ,=0，得 = -4/5例 2 設(shè) 1, 2, 3 和 1, 2 是兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組，且 i, j=0 (i=1,2,3; j=1,2)，證明： 1, 2, 3, 1, 2 線性無(wú)關(guān) .分析 根據(jù)線性相關(guān)性的定義， 先設(shè) k1 1+k2 2+k3 3+ 1 1+ 2 2= O，然后利用內(nèi)積的運(yùn)算性質(zhì)證明：其中的 k1, k2, k3, 1, 2 必全

16、部為零 .證設(shè)有一組數(shù)k1, k2, k3 和 1, 2，使得k1 1+k2 2+k3 3+ 11 +2 2=O (*)即，k1 1+k2 2+k3 3=- 1 1- 2 2.由于 i ,j=0 (i=1,2,3; j=1,2)，故k1 1 +k2 2+k3 3, k1 1+k2 2+k3 3 = k1 1+k2 2+k3 3, - 1 1- 2 2= - k1 1 1 , 1 - k1 2 1 , 2 - k2 1 2, 1- k2 2 2,2- k3 1 3, 1 - k3 2 3, 2=0 (即， k11+k2 2+k33 與自身的內(nèi)積為 0)于是， k11 +k2 2+k3 3= O

17、，又因?yàn)?,2, 3 線性無(wú)關(guān)，所以k1=k2=k3=0.將 k1 =k2=k3=0 代入 (*) 式，得 1 1+22.=O，因?yàn)?1,2 線性無(wú)關(guān)，故 1= 2=0.由于 k1=k2=k3= 1= 2=0，因此1, 2, 3, 1, 2 線性無(wú)關(guān) . 施密特正交化方法施密特正交化方法是指：將一組線性無(wú)關(guān)的向量， ，, ， 1 2r作特定的線性運(yùn)算，構(gòu)造出與原向量組等價(jià)的正交單位向量組.其步驟如下：將 ， ，, 正交化： 1 2r取 ；11 , 21 22, 111, , 313233, 1 , 21122 , , , 1r1r2rrrr, 1, 2 , r 11122r 1r1以上所得向量

18、， ，, 是兩兩正交的； 12r再將 ，, 單位化：12r11 ,22, ,rr12r于是， ， ，,是與， ，, 等價(jià)的正交單位向量組 .12r 1 2r利用施密特正交化方法，可將向量空間的一組基規(guī)范正交化( 即構(gòu)造出一個(gè)規(guī)范正交基)1113例 3已知11，0 ，31 ，是R的一組基，用施密2011特正交化方法，構(gòu)造出R3 的一組規(guī)范正交基 .解1取 111,0 , 1111122112 1 1 0221, 1102111/ 21 3, 13, 2 12111/ 21133, 1,223 / 2311221011再將 ， 單位化，可得R3 的一組規(guī)范正交基，12311211311111, 1

19、, 1122633022311111練習(xí) 2把 1，0，0，1 正交單位化 .1020314101011/ 21 / 61 / 121 / 2答案 1/ 2， 1/6 ，1/12，1/ 21/ 2003 /1202 /61 /121 / 2 求非零向量，與已知的向量組1，2， , m 正交問(wèn) 設(shè) ， , 是一組 n 維列向量，如何求與它們正交的非零12m向量？答 根據(jù)“齊次線性方程組Ax =O 的解集合是與A 的行向量都正交的全部向量” ，以T， T，T為行向量構(gòu)造矩陣 , 12m4最新 料推薦T A 是正交矩陣1TTT A 是方陣，且A A= E (或者 AA = E)A m n2 A 可逆

20、，且 A-1 =ATTn A 的列向量組 (或行向量組 )是正交單位向量組的規(guī)范正交基 )m(即 R然后解齊次線性方程組Ax =O，可得基礎(chǔ)解系， 則基礎(chǔ)解系的任意 非于是，可以根據(jù)或驗(yàn)證A是否為正交矩陣.,零線性組合都是與 ， , 正交的非零向量 .12m例 6 證明：若 A 是正交矩陣，則A 的伴隨矩陣 A* 也是正交矩陣 .證一 由于 A 是正交矩陣，故A 可逆，且 A 1ATAA*A E (伴隨矩陣的性質(zhì) )A*A A 1A A T例 4TT( A * )T( A AT )T A A設(shè) 1 =(1, 1, -1) ,2=(1, -1, -1) ，求與 1, 2 正交的非零向量 .于是，

21、 ( A* ) T A *A 2 AATA 2 ET011x10解建立齊次線性方程組x1*T*1，即x2由于 A1 或1 (正交矩陣的性質(zhì) )，故) E ， 即 AT0110( A )( A12x3是正交矩陣解方程組，得基礎(chǔ)解系1證二 由于 A 是正交矩陣，故A 可逆，且 A 1AT .0AA*A EA*A A 1A AT1于是， ( A* )1( A A 1)1A 1 A于是， k(k0) 是與 , 正交的全部非零向量12( A* )T( A A T ) TA A112由于 A1 或1 ，故 ( A* )1( A * ) T ， 即 A* 是正交矩陣 .練習(xí) 3 設(shè) 11, 21111, 3

22、,練習(xí) 4 設(shè) A 是對(duì)稱矩陣，B 是反對(duì)稱矩陣， AB 可逆，且 AB=BA，1113證明： ( AB )( AB )1 是正交矩陣 .求與 , , 正交的單位向量 .提示 A 是對(duì)稱矩陣ATA123B T答案 1(4, 0,1, 3) TB 是反對(duì)稱矩陣BAB=BA( A B )( A B ) ( A B)( A B)26利用以上條件證明( AB)( AB)1T ( AB)( AB)1 E 成立例 5 設(shè)=(1, 1, 1)T，求兩個(gè)非零向量， 與共同構(gòu)成一正交向量組 .Tx1122解 建立齊次線性方程組0 ，即 (1,1,1) x20333xx3練習(xí) 5 設(shè) A212，驗(yàn)證 A 是對(duì)稱陣

23、、正交陣、對(duì)合陣 .33311221333解之，得基礎(chǔ)解系1, 0，它們都與 正交12201(注：若矩陣 A 滿足 A =E，則稱 A 為對(duì)合矩陣 ).再將 , 正交化，得T；提示 (1)需驗(yàn)證 A= A121 , 1(2)需驗(yàn)證列向量組 ( 或行向量組 ) 是正交單位向量組； 1； 121 1(3)若 A 是對(duì)稱的正交矩陣，則必有2T1122 , 12A =A A=E，即 A 是對(duì)合陣0111則 , ,構(gòu)成一個(gè)非零正交向量組 .例 7 已 知正交 矩 陣 的前 三行 為：T- 1/2, - 1/2, - 1/2)，121=(1/2, 注 (1)由于基礎(chǔ)解系不是唯一的，所以本題答案也不唯一.2

24、T=(- 1/2, 1/2, - 1/2, - 1/2)，3T=(- 1/2, - 1/2, 1/2, - 1/2)，求矩陣 A.(2) 若有一組向量都與正交，則，用施密特方法將這組向量正交分析 正交矩陣的行向量組是正交單位向量組，因此，需求出與化后仍然與正交 .1T, 2T, 3T 正交的單位向量 .2 正交矩陣以下命題互為充分必要條件：5最新 料推薦T1111x101/ 41 / 402222得基礎(chǔ)解系 1, 0.1解 建立方程組Tx0，即1111x201222222x3001T011113x40所以， k k (k , k 不同時(shí)為零 ) 是對(duì)應(yīng)于122的全部22221 12211特征向

25、量 .1 當(dāng) 31 時(shí)，解 ( AE ) x1解方程組，得基礎(chǔ)解系1111101r1于是， k(k0) 是與 1TTT,2 ,3k(k 0) 單位化，得1k14k 211因此所求的正交矩陣為1111222211112222或1111222211112222AE030010正交的全部非零向量，再將41400011得基礎(chǔ)解系 0113121所以， k (k0)是對(duì)應(yīng)于1 的全部特征向量 .133331111010練習(xí) 6 求矩陣 A440的特征值和特征向量 .2222212111122221111答案 A 的特征值為1232(三重特征值 )，屬于該特征2222值的全部特征向量是11111/ 202222k1k0(k ,k不全為零 )21 21013 矩陣的特征值和特征向量 求“數(shù)值”矩陣的特征值和特征向量 求“抽象”矩陣的特征值和特征向量對(duì)于“數(shù)值” 型的 n 階方陣 A，求特征值和特征向量的步驟如下：對(duì)于“抽象”的 n 階方陣，常用方法是：解特征方程 A E0 ，得 A 的全部特