1、.2017 會計(jì)系稅務(wù) 2 班7 號 余翰霖函數(shù)極限與聯(lián)系論文小結(jié)數(shù)學(xué)作為現(xiàn)代理性文化的核心， 提供了一種思維方式。 這種思維方式包括： 抽象化、 運(yùn)用符號、 建立模型、 邏輯分析、 推理、計(jì)算，不斷地改進(jìn)、推廣，更深入地洞察內(nèi)在的聯(lián)系，在更大范圍內(nèi)進(jìn)行概括， 建立更為一般的統(tǒng)一理論等一整套嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹?行之有效的科學(xué)方法。 按照這種思維方式， 數(shù)學(xué)使得各門學(xué)科的理論知識更加系統(tǒng)化、邏輯化。作為一種文化，它的特點(diǎn)在于：追求一種完全確定的、完全可靠的知識。在數(shù)學(xué)上是非分明，沒有模棱兩可。即使對于“偶然”發(fā)生的隨機(jī)現(xiàn)象，對于“不確定”的事件，也要提出精確的概念和研究方法， 確切回答某個事件發(fā)生的概率是

2、多少， 在什么確切的范圍以內(nèi)等等。追求更深層次的、更為簡單的、超出人類感官的基本規(guī)律。數(shù)學(xué)家們是把原始的來自實(shí)際的問題， 經(jīng)過了層層抽象， 在抽象的、仍然是客觀事物真實(shí)反映的更深層次上來考察、 研究其內(nèi)在規(guī)律。它不僅研究宇宙的規(guī)律，而且也研究它自己。特別是研究自身的局限性，并在不斷否定自身中達(dá)到新的高度。在數(shù)學(xué)分析中,極限思想貫穿于始末,求極限的方法也顯.得至關(guān)重要。 本文主要探討、 總結(jié)求極限的一般方法并補(bǔ)充利用級數(shù)收斂及利用積分求極限的特殊方法 , 而且把每一種方法的特點(diǎn)及注意事項(xiàng)作了詳細(xì)重點(diǎn)說明 , 并以實(shí)例加以例解 , 彌補(bǔ)了一般教材的不足。 由于本文通過總結(jié)、 研究對求極限的各種方法

3、的很多細(xì)節(jié)作了具體注解 , 使方法更具針對性、 技巧性 , 因此 , 克服了遇到問題無從下手的缺點(diǎn) , 能夠做到游刃有余。 以下是我總結(jié)的公式：1.定義法利用數(shù)列極限的定義求出數(shù)列的極限.設(shè)x n 是一個數(shù)列 ,a 是實(shí)數(shù) ,如果對任意給定的0,總存在一個正整數(shù)n ，當(dāng)n n 時 ,都有 x n -a ,我們就稱 a 是數(shù)列 x n 的極限 .記為 lim x n =a . n2. 利用極限四則運(yùn)算法則應(yīng)用數(shù)列或函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則 , 其前提條件是參加運(yùn)算的數(shù)列或函數(shù)首先是收斂數(shù)列或函數(shù),其次在做除法運(yùn)算時,要求必先使分母的極限不為0,因此 ,為了利用四則運(yùn)算定理計(jì)算數(shù)列或函數(shù)極限成為收斂

4、數(shù)列或函數(shù),需以原分子、原分母中隨 n 或 x 增大最快的項(xiàng)除分子、分母 , 使恒等變形后的分子、分母為滿足數(shù)列或函數(shù)極限四則運(yùn)算定理?xiàng)l件的收斂數(shù)列或函數(shù), 值得我們注意的是在應(yīng)用數(shù)列或函數(shù)極限的四則運(yùn)算前,先把所給的商式消去分子分母的公共零因子。利用夾逼性定理求極限.當(dāng)極限不易直接求出時,可考慮將求極限的變量作適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小 , 使放大與縮小所得的新變量易于求極限 , 且二者的極限值相同 , 則原極限存在 , 且等于公共值。 特別是當(dāng)在連加或連乘的極限里 , 可通過各項(xiàng)或各因子的放大與縮小來獲得所需的不等式。4.利用兩個重要極限求極限sin x 11=1和 lim (1+) x =lim(

5、1+) n =lim (1+x ) x =e，兩個重要極限是lim x 0x n x 0x x n第一個重要極限過于簡單且可通過等價無窮小來實(shí)現(xiàn)。利用這兩個重要極限來求函數(shù)的極限時要仔細(xì)觀察所給的函數(shù)形式只有形式符合或經(jīng)過變化符合這兩個重要極限的形式時才能夠運(yùn)用此方法來求極限。一般常用的方法是換元法和配指數(shù)法。5. 利迫斂性來求極限)設(shè) lim f (x ) =lim g (x ) =a ,且在某 u o (x 0, )內(nèi)有 f (x )h (xx x 0xx 0x x 0g (x , )則 lim h (x ) =a6.用洛必達(dá)法則求極限洛必達(dá)法則為：假設(shè)當(dāng)自變量x 趨近于某一定值（或無窮大

6、）時，函數(shù)?(x )和 g (x )（1）?(x ) 和 g (x ) 的極限都是0 或都是無窮大； （2）?(x )和 g (x )都可導(dǎo)，滿足：且g (x ).（3）lim的導(dǎo)數(shù)不為0；f (x) f (x ) 存在（或是無窮大），則極限 lim也一定存在，且g (x ) g (x )等于 lim f (x ) f (x ) f (x )，即 lim =lim。利用洛必達(dá)法則求極限，由于分類明確，g (x ) g (x ) g (x )規(guī)律性強(qiáng)， 且可連續(xù)進(jìn)行運(yùn)算， 可以簡化一些較復(fù)雜的函數(shù)求極限的過程，但運(yùn)用時需注意條件。1-cos x x0x 20 解:是待定型 . 01-cos x

7、sin x 1lim lim = =x0x 02x 2x 2例 6: 求 lim注：運(yùn)用洛比達(dá)法則應(yīng)注意以下幾點(diǎn)1、要注意條件， 也即是說， 在沒有化為 0,時不可求導(dǎo)。 02、 應(yīng)用洛必達(dá)法則，要分別的求分子、分母的導(dǎo)數(shù)，而不是求整個分式的導(dǎo)數(shù)。3、 要及時化簡極限符號后面的分式，在化簡以后檢查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，應(yīng)立即停止使用洛必達(dá)法則，否則會引起錯誤。7. 利用定積分求極限設(shè)函數(shù) f (x )在區(qū)間 a , b 上連續(xù)，將區(qū)間 a , b 分成n 個子區(qū)間 (a , x 0, x x?, (i , x在每個子區(qū) , b .?,n (x i -1, x i )任取一點(diǎn) i (

8、i =1, 2, )， 0, 1(, x 1, x2.作和式（見右下圖），當(dāng)0 時， ( 屬于最大的區(qū)間長度)該和式無限接近于某個常數(shù)， 這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間 (a,b ) 的定積分。要求深刻理解與熟練掌握的重點(diǎn)內(nèi)容有：1、定積分的概念及性質(zhì)。 2、定積分的換元法和分部積分法，3、變上限的定積分作為其上限的函數(shù)及其求導(dǎo)定理，牛頓（ newton ）萊布尼茲（ leibniz ）公式。要求一般理解與掌握的內(nèi)容有： 4、廣義積分的概念與計(jì)算。8. 利用無窮小量的性質(zhì)和無窮小量和無窮大量之間的關(guān)系求極限首先 , 利用無窮小量乘有界變量仍然是無窮小量 , 這一方法在求極限時常常用到 ; 再者

9、利用等價無窮量。 在求函數(shù)極限過程中 , 如果此函數(shù)是某個無窮小量與所有其他量相乘或相除時,這個無窮小量可以用它的等價無窮小量來代替,從而使計(jì)算簡化。9. 利用遞推公式計(jì)算或證明序列求極限借助遞推公式計(jì)算或證明序列的極限，也是一種常見的方法，在這里我們需要首先驗(yàn)證極限的存在性。在極限存在的前提下，根據(jù)極限的唯一性， 來解出我們所需要的結(jié)果，但往往驗(yàn)證極限的存在形式比較困難的， 需要利用有關(guān)的不等式或?qū)崝?shù)的一些性質(zhì)。.10. 利用等價無窮小量代換來求極限所謂等價無窮小量即limx f (x ) =1稱 f (x )與 g (x )是 x x 0 時的等價無窮小量， g (x )記作 f (x )

10、 g (x ) . (xx 0) .定理：設(shè)函數(shù)f (x ), g (x ), h (x )在 u 0(x 0)內(nèi)有定義，且有 f (x ) g (x ) . (xx 0).若 lim f (x ) g (x ) =a則 lim h (x ) g (x ) =a x x 2.若 lim x h (x ) h (x ) =b則 lim =b x g (x )f (x )g (x )?lim f (x ) h (x ) =1?a =a f (x ) x證明：lim g (x ) h (x ) =lim x x 可類似證明，在此就不在詳細(xì)證明了！由該定理就可利用等價無窮小量代換來求某些函數(shù)的極限ta

11、n x -sin x的極限 x0sin x 3sin x (1-cos x ).而 sin x x , (x 0)； 解：由 tan x-sin x =cos x11. 。利用函數(shù)的連續(xù)性求極限函數(shù) f(x) 在 x0 處連續(xù) , 一個是該處有極限, 一個是該極限等于該點(diǎn)的函數(shù)值 .例如：設(shè) f （x）=xsin 1/x + a,x0，b+1,x=0 ，x2-1,x0 ，試求：當(dāng) a，b 為何值時， f （x）在 x=0 處的極限存在？當(dāng) a，b 為何值時， f （x）在 x=0 處連續(xù)？注： f （ x）.=xsin 1/x +a, x0解： f(0) b+1 左極限： lim(x 0-)f

12、(x) lim(x 0-)(xsin(1/x)a) 0+aa左極限： lim(x 0+) f(x)lim(x 0+) (x2-1)0-1 -1 f(x)在 x0 處連續(xù)，則 lim(x 0-) f(x) lim(x 0+) f(x) f(0) ，所以 a-1 b+1，所以 a -1 ，b-2以上這些心智能力結(jié)合起來， 就形成了能讓我們研究數(shù)學(xué)的綜合素養(yǎng)。而我們對數(shù)學(xué)能力源頭的探尋， 可以在很大程度上簡化為對上述各種能力起源的探尋。 探尋主干便是人類的進(jìn)化。 上面列舉的每種能力都需要耗用大腦的能量。 （有的還需要付出其他代價。）因此，其對生存帶來的益處必然大大超越所付出的代價。在某些情況下， 諸如空間推理或因果意識所帶來的益處是十分顯著的。而在其他情況下，則需要我們進(jìn)行更深的挖掘。由此可見，數(shù)學(xué)文化是一種非常實(shí)事求是的文化， 它體現(xiàn)了一種真正的探索精神，一種毫不保守的創(chuàng)新精神。數(shù)學(xué)與國民經(jīng)濟(jì)中的很多領(lǐng)域休戚相關(guān)?；ヂ?lián)網(wǎng)、計(jì)算機(jī)軟件、高清晰電視、手機(jī)、手提電腦、游戲機(jī)、動畫、指紋掃描儀、漢字印刷、監(jiān)測器等在國民經(jīng)濟(jì)中占有相當(dāng)大的比重，成為世界經(jīng)濟(jì)的重要支柱產(chǎn)業(yè)。其中互聯(lián)網(wǎng)、計(jì)算機(jī)核心算法、圖像處理、語音識別、云計(jì)算、人工智能、3g等 it 業(yè)主要研發(fā)領(lǐng)域都是以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的。所以信息