1、.基本不等式應用一基本不等式221.（1）若 a,br ，則 a 2b22ab(2)若 a,br ，則 abab （當且僅當 ab 時取“=”）22. (1)若*ab(2)若*aba, br，則aba,br，則 ab 2ab （當且僅當=2時取“ ”）*a b2當且僅當 ab 時取“ =”）(3)若 a,b(r ，則 ab23. 若 x0 ，則 x12(當且僅當 x112 ( 當且僅當 x1時取“ =”）x時取“ =”）; 若 x 0 ，則 xx若 x0 ，則 x112或 x1-2 (當且僅當 ab 時取“ =”）x2即 xxx3. 若 ab0 ，則 ab2( 當且僅當 ab 時取“ =”）b

2、a若 ab0 ，則 ab2即 ab2或 ab-2( 當且僅當 ab 時取“ =”）bababa224. 若 a,br ，則 ( ab )2ab （當且僅當 ab 時取“ =”）22注：（ 1）當兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”（ 2）求最值的條件“一正，二定，三取等”(3) 均值定理在求最值、 比較大小、 求變量的取值范圍、 證明不等式、 解決實際問題方面有廣泛的應用應用一：求最值例 1：求下列函數(shù)的值域（ 1） y 3x 2 112x 2（ 2） y x x解：（ 1） y3x 212 23x1 6

3、值域為 6 ，+）2 22x2x11（ 2）當 x 0 時， y x x 2x x 2；111當 x0 時，y x x=（ xx） 2x x =2值域為（，2 2， +）解題技巧：技巧一：湊項5，求函數(shù) y4x1的最大值。例 1：已知 x244x5解：因 4x5 0，所以首先要 “調整” 符號， 又g1不是常數(shù)， 所以對 4x2 要進行拆、 湊項，(4 x 2)54xq x5 , 5 4x 0 ，y 4 x 215 4x513 2 3 144 x 54x當且僅當 5 4x1，即 x1時，上式等號成立，故當x1 時， ymax 1。54x評注：本題需要調整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值

4、。技巧二：湊系數(shù).例 1.當時，求 yx(82x) 的最大值。解析：由知，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式， 但其和不是定值。注意到 2x(82x)8為定值， 故只需將 yx(82x) 湊上一個系數(shù)即可。當，即 x2 時取等號當 x2 時， y x(82x) 的最大值為 8。評注：本題無法直接運用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值。變式：設 0x34x(32x) 的最大值。，求函數(shù) y232解： 0x 3 2x0 y4x(3 2x) 22x(3 2x)2 2x 3 2x9222當且僅當2x32x, 即 x30, 3時等號成

5、立。42技巧三 ： 分離例 3. 求 yx27x101)的值域。(xx 1解析一：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x 1）的項，再將其分離。當, 即時 , y2 （ x 1)4時取“”號）。5 9 （當且僅當 x 1x1技巧四 ：換元解析二：本題看似無法運用基本不等式，可先換元，令t=x 1，化簡原式在分離求最值。y(t2）= t25t4t451)7(t 1 +10ttt當, 即 t=時 , y2t459 （當 t=2 即 x 1時取“”號）。t評注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或將分母換元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為 ymg( x)ab( a0

6、, b0) ，g( x) 恒正或恒負的形式， 然后運用基本不等式來求最值。g(x)技巧五：注意：在應用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應結合函數(shù)f ( x)xa的單調性。x例：求函數(shù) yx25的值域。x24解：令x24 t (t2) ，則 yx25x241t12)x24x2( t4t因 t0,t11，但 t11 不在區(qū)間2,，故等號不成立，考慮單調性。tt解得 t因為 yt1在區(qū)間 1,單調遞增，所以在其子區(qū)間2,為單調遞增函數(shù)，故y5t。2.所以，所求函數(shù)的值域為5。,2練習求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時，x 的值 .（ 1） yx23x 1,( x0)（2） y2x1, x3

7、(3)y2sin x1, x(0,)xx3sin x2已知 0x1，求函數(shù) yx(1x) 的最大值 .；3 0x2yx(23x) 的最大值 .，求函數(shù)3條件求最值1. 若實數(shù)滿足 ab 2 ，則 3a3b 的最小值是.分析：“和”到“積”是一個縮小的過程，而且3a 3b 定值，因此考慮利用均值定理求最小值，解： 3a 和3b 都是正數(shù)， 3a3b 23a3b23a b6當 3a3b 時等號成立，由 ab2 及 3a3b 得 ab1即當 ab1時， 3a3b 的最小值是 6變式：若 log 4xlog 4 y 2 ，求11x的最小值 .并求 x,y 的值y技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值

8、時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。2：已知 x0, y191，求 xy 的最小值。0 ，且xy錯解 ： q x0, y0 ，且191 ，199xy min 12xyxy22 xy 12故。xyxyxy錯因：解法中兩次連用基本不等式，在xy 2xy 等號成立條件是xy ，在 1929等號成立xyxy條件是 19即 y 9x ,取等號的條件的不一致，產(chǎn)生錯誤。因此，在利用基本不等式處理問題時，列出xy等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉換是否有誤的一種方法。正解 ： q x 0, y 0, 191， x yx y19y9x 10 6 10 16xyxyxyy9x194, y 12

9、 時， x y min 16 。當且僅當x時，上式等號成立，又x1，可得 xyy變式：（ 1）若 x, y r且 2 xy1，求 11 的最小值xy(2) 已知 a, b, x, yr且 ab1 ，求 xy 的最小值xy技巧七 、已知 x， y 為正實數(shù)，且x 2y 2 1，求 x1 y 2的最大值 .2.分析：因條件和結論分別是二次和一次，故采用公式a 2 b 2ab。2同時還應化簡1y 2中 y2 前面的系數(shù)為1，x1 y 2 x21 y 2 2x1y 22222下面將 x，1 y 22 2分別看成兩個因式：1 y2x 2 (1 y 2) 2x 2 y 2131y23x2222即 x 1

10、y 2 2 x22 222 42 2 4技巧八：已知a， b 為正實數(shù)， 2b ab a 30，求函數(shù) y 1的最小值 .ab分析：這是一個二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉化為一元函數(shù)問題，再用單調性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本 不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進行。法一： a 30 2b30 2b 2 b 230b，bb 1b1ab b 1由 a 0 得， 0 b 15 2t 2 34t 311616令 t b+1， 1 t 16，ab 2（ t

11、 t ） 34 t t 2t1 ab 18 y 18 當且僅當 t 4，即 b 3， a 6 時，等號成立。法二：由已知得：30 ab a2b a2b 22 ab 30 ab 22 ab令 u ab則 u2 2 2 u 30 0， 5 2 u 3 21 ab 3 2 ， ab 18， y 18ab點評： 本題考查不等式ab（ a, br ）的應用、 不等式的解法及運算能力；216t t 8如何由已知不等式 aba2b（r）30 a,b出發(fā)求得 ab 的范圍， 關鍵是尋找到 a b與 ab 之間的關系， 由此想到不等式 ab（a, b r）ab 的不等式，進而解得 ab 的范圍 .ab，這樣將已

12、知條件轉換為含2變式： 1.已知 a0，b0， ab (ab) 1，求 a b 的最小值。2.若直角三角形周長為1，求它的面積最大值。技巧九、取平方5、已知 x， y 為正實數(shù)， 3x 2y 10，求函數(shù)w3x 2y 的最值 .a ba 2 b 2，本題很簡單解法一：若利用算術平均與平方平均之間的不等關系，223x 2y 2（ 3x ） 2 （2y ） 2 23x 2y 25解法二：條件與結論均為和的形式，設法直接用基本不等式，應通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。w 0， w2 3x 2y23x 2y 1023x 2y 10 (3x )2 (2y )2 10 (3x 2y)

13、 20 w 20 2 5變式 :求函數(shù) y2x152 x( 1 x 5 ) 的最大值。2 2解析：注意到 2 x 1與 5 2x 的和為定值。.y 2( 2 x 152 x )24 2 (2 x 1)(5 2 x) 4 (2 x 1) (5 2 x) 8又 y 0 ，所以 0y 22當且僅當 2x1= 52x ，即 x3故 ymax 2 2 。時取等號。2評注：本題將解析式兩邊平方構造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件?？傊?，我們利用基本不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式。應用二：利用基本不等式證明不等式1已知 a,b,

14、c 為兩兩不相等的實數(shù)，求證：a 2b2c2abbcca1）正數(shù) a， b， c 滿足 a b c1，求證： (1 a)(1 b)(1 c) 8abc例 6：已知 a、 b、 cr ，且 ab c1。求證：111118a1cb分析：不等式右邊數(shù)字8 ，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用基本不等式可得三個“2 ”連乘，又11 1a b c2 bc ，可由此變形入手。aaaa解： q a、b、cr ， abc1。111abc 2bc 。同理 112 ac ， 1 12ab 。aaaabbcc上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得111 1112 bc g2 ac g2 ab8 。當且僅當 abc1時取等號。abcabc3應用三：基本不等式與恒成立問題例：已知 x 0, y0 且 191，求使不等式 xym 恒成立的實數(shù) m 的取值范