1、2.1.2 空間中直線與直線之間 的位置關(guān)系,立交橋,六角螺母,兩條直線既不平行也不相交,1.理解空間兩直線的位置關(guān)系，并掌握異面直線的 定義.（重點(diǎn)） 2.掌握平行公理、等角定理及其推論，并會(huì)應(yīng)用它們 去解決簡(jiǎn)單問(wèn)題.（重點(diǎn)） 3.理解異面直線所成角的定義，并會(huì)求兩異面直線所 成的角. （難點(diǎn)）,m,m,m,圖1,圖2,l,l,m,一、空間兩直線的位置關(guān)系,從圖中可見，直線 l 與 m 既不相交，也不平行、空間中兩直線之間的這種關(guān)系稱為異面直線.,l,P,l,的兩條直線叫做異面直線.（既不相交也不平行的兩條直線）,我們把不同在任何一個(gè)平面內(nèi),1.異面直線,注：概念應(yīng)理解為: “經(jīng)過(guò)這兩條直線

2、無(wú)法作出一個(gè)平面” . 或 “不可能找到一個(gè)平面同時(shí)經(jīng)過(guò)這兩條直線”,注意: 分別在某兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線不一定 是異面直線, 它們可能相交,也可能平行.,判斷：,直線m和l是異面直線嗎?,(2) ,則 a與b是異面直線.,(3)a,b不同在平面內(nèi),則a與b是異面直線.,不是,是,錯(cuò),錯(cuò),鞏固練習(xí),異面直線的畫法:,通常用一個(gè)或兩個(gè)平面來(lái)襯托異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的特點(diǎn),下圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原成正方體，那么AB，CD，EF，GH這四條線段所在直線是異面直線的有幾對(duì)？,解：三對(duì),AB與CD AB與GH EF與GH,鞏固練習(xí),從有無(wú)公共點(diǎn)的角度,有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)相交直線,在

3、同一平面內(nèi),相交直線,從是否共面的角度,沒(méi)有公共點(diǎn),平行直線,異面直線,不同在任何一個(gè)平面內(nèi)異面直線,平行直線,空間兩條直線的位置關(guān)系,平行,異面,相交,異面,鞏固練習(xí),在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都與第三條直線平行，那 么這兩條直線互相平行.在空間中，是否有類似的規(guī)律？,如圖,長(zhǎng)方體ABCD-ABCD中, BBAA, DDAA,那么BB與DD平行嗎?,問(wèn)題探究,BB與DD平行,公理4 平行于同一條直線的兩條直線互相平行.,公理4實(shí)質(zhì)上是說(shuō)平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用.,公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù).,ab cb,ac,符號(hào)表示：設(shè)空間中的三條直線分別為a, b, c,

4、若,2.空間兩平行直線,空間四邊形： 如圖，順次連接不共面的四點(diǎn)A，B，C，D所組成的四邊形叫做空間四邊形ABCD.,A,B,C,D,相對(duì)頂點(diǎn)A與C，B與D的連線AC，BD叫做這個(gè)空間四邊形的對(duì)角線.,例1：如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn). 求證：四邊形EFGH是平行四邊形.,應(yīng)用舉例,拓展1若E，F(xiàn)，G,H分別是四面體ABCD的棱AB，BC， CD，DA上的中點(diǎn)，且ACBD，則四邊形EFGH為 . 拓展2若E，F(xiàn)，G,H分別是四面體ABCD的棱AB，BC， CD，DA上的中點(diǎn)，且ACBD，則四邊形EFGH為 . 拓展3若E，F(xiàn)，G，H分別是四面體

5、ABCD的棱AB，BC， CD，DA上的中點(diǎn)，且ACBD，ACBD，則四邊形EFGH 為 . (以上三個(gè)問(wèn)題你會(huì)證明嗎？不妨一試),菱形,矩形,正方形,解題思想：,把所要解的立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何的問(wèn)題,解立體幾何時(shí)最主要、最常用的一種方法.,【提升總結(jié)】,在平面上,我們?nèi)菀鬃C明“如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)”.在空間中,結(jié)論是否仍然成立呢?,觀察思考：如圖,ADC與ADC，ABC與ABC的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，這兩組角的大小關(guān)系如何？,問(wèn)題探究,ADC與ADC相等，ABC與ABC相等.,3.等角定理,定理 空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相

6、等或互補(bǔ).,定理的推論:如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等.,若兩條異面直線所成的角為90，則稱它們互相垂直.,異面直線a與b垂直也記作ab.,異面直線所成的角的取值范圍：,例2 如圖，已知正方體ABCDABCD. （1）哪些棱所在直線與直線BA是異面直線？ （2）直線BA和CC的夾角是多少？ （3）哪些棱所在的直線與直線AA垂直？,解:（1）由異面直線的定義可知， 與直線BA成異面直線的有直線BC，AD,CC,DD,DC,DC.,應(yīng)用舉例,（2）由 可知， 為異面直線 與 的夾角, =45 所以，直線 與 的夾角為45 .,(1)求兩異面直線所成

7、的角的一般步驟： 作：根據(jù)所成角的定義，用平移法作出異面直線 所成的角； 證：證明作出的角就是要求的角； 計(jì)算：求角的值，常利用解三角形 可用“一作二證三計(jì)算”來(lái)概括 (2)平移直線得出的角有可能是兩條異面直線所成角 的補(bǔ)角，要注意識(shí)別這種情況,【提升總結(jié)】,1. 判斷: （1）平行于同一直線的兩條直線平行.（ ） （2）垂直于同一直線的兩條直線平行.（ ） （3）過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線 平行. （ ） （4）與已知直線平行且距離等于定長(zhǎng)的直線只有兩條. （ ）,（5）若一個(gè)角的兩邊分別與另一個(gè)角的兩邊平行， 那么這兩個(gè)角相等.（ ） （6）若兩條相交直線和另兩條相交直線分別

8、平行， 那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等.（）,2.填空： (1) 空間兩條不重合的直線的位置關(guān)系有 、 、 三種. (2)沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線可能是 直線，也有 可能是 直線. (3)和兩條異面直線中的一條平行的直線與另一條 的位置關(guān)系是 . (4)過(guò)已知直線上一點(diǎn)可以作 條直線與已 知直線垂直.,平行,相交,異面,平行,異面,無(wú)數(shù),相交、異面,E,F,5.如圖,已知長(zhǎng)方體ABCD-EFGH中, AB= ,AD= , AE=2. (1)求BC和EG所成的角是多少度? (2)求AE和BG所成的角是多少度?,(2)因?yàn)锽FAE， 所以FBG（或其補(bǔ)角）為所求. 在RtBFG中，求得FBG = 60， 所以AE與BG所成的角為6