1、2.1.1合情推理,1.了解合情推理的含義,能利用歸納推理和類比推理等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理. 2.了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.,1.歸納推理的特點(diǎn)有哪些? 剖析:(1)歸納推理的前提是幾個(gè)已知的特殊現(xiàn)象,歸納所得的結(jié)論是未知的一般現(xiàn)象,該結(jié)論往往超越了前提所包含的范圍. (2)由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測(cè)的性質(zhì),結(jié)論是否真實(shí)還需經(jīng)過邏輯證明和實(shí)踐檢驗(yàn),因此歸納推理不能作為數(shù)學(xué)證明的工具. (3)一般地,歸納的個(gè)別現(xiàn)象越多,越具有代表性,推廣的一般性結(jié)論也就越可靠. (4)歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理,通過歸納推理得到的猜想,可以作為進(jìn)一步研究的起點(diǎn),幫助人們發(fā)現(xiàn)新的事實(shí),獲得新的結(jié)論.,2.類

2、比推理的特點(diǎn)有哪些? 剖析:(1)類比推理是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性推測(cè)正在研究的事物的屬性,是以已有的認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ),類比出新的結(jié)果. (2)類比推理是從一種事物的特殊屬性推測(cè)另一種事物的特殊屬性.類比的兩類對(duì)象的相似性越多、相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間越相關(guān),類比得出的結(jié)論就越可靠.,(3)由于類比推理得到的結(jié)論也具有猜測(cè)性,結(jié)論是否正確還需經(jīng)過邏輯證明和實(shí)踐的檢驗(yàn),因此類比推理也不能作為數(shù)學(xué)證明的工具,但它卻具有觸類旁通、提供線索、比較思考、舉一反三等一系列啟迪思維的作用,而且也能幫助我們加快、加深對(duì)新概念、新公式、新規(guī)律的理解、記憶及應(yīng)用. (4)類比推理是一種由特殊到特殊的認(rèn)識(shí)過程,具

3、有十分重要的實(shí)用價(jià)值.在數(shù)學(xué)中,我們可以從已經(jīng)解決的問題和已經(jīng)獲得的知識(shí)出發(fā),通過類比提出新問題,獲得新發(fā)現(xiàn).,3.數(shù)學(xué)中常見的類比有哪些? 剖析:數(shù)學(xué)中常見的類比:直線與平面、平面與空間、方程與不等式、一元與多元、等差數(shù)列與等比數(shù)列等. 例如:類比下列平面圖形的性質(zhì),寫出空間圖形的性質(zhì).,空間中的兩個(gè)平面無公共點(diǎn),則它們互相平行 空間中平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行 平行六面體(相對(duì)面平行且全等) 長(zhǎng)方體(對(duì)角面全等) 正方體(外接球、內(nèi)切球的球心重合) 正四面體(外接球、內(nèi)切球的球心重合) 等體積法,題型一,題型二,題型三,數(shù)列中的歸納推理 【例1】 已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=2

4、an+1(n=1,2,3,). (1)求a2,a3,a4,a5; (2)歸納猜想通項(xiàng)an的表達(dá)式. 分析:由a1求a2由a2求a3由a3求a4由a4求a5 分析a1,a2,a3,a4,a5的結(jié)構(gòu)特征猜想通項(xiàng)公式an 解:(1)已知a1=1,an+1=2an+1,則a2=21+1=3, a3=23+1=7,a4=27+1=15,a5=215+1=31. (2)由a1=1=21-1,a2=3=22-1, a3=7=23-1,a4=15=24-1,a5=31=25-1, 可歸納猜想出an=2n-1(nN*).,題型一,題型二,題型三,反思?xì)w納推理具有從特殊到一般、從具體到抽象的認(rèn)知功能,在求數(shù)列的通

5、項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和的問題時(shí),經(jīng)常用歸納推理得出關(guān)于前有限項(xiàng)的結(jié)論,此時(shí)要注意把它們的表達(dá)式的結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行統(tǒng)一,以便于尋找規(guī)律,歸納猜想出結(jié)論.,題型一,題型二,題型三,【變式訓(xùn)練1】 已知下列一組等式: s1=1; s2=2+3=5; s3=4+5+6=15; s4=7+8+9+10=34; s5=11+12+13+14+15=65; s6=16+17+18+19+20+21=111; (1)寫出s7對(duì)應(yīng)的等式; (2)求出sn對(duì)應(yīng)等式的第一項(xiàng),并寫出sn對(duì)應(yīng)的等式.,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,其他形式的歸納推理 【例2】 根據(jù)下圖中線段的排列規(guī)則,試猜想第8個(gè)圖形中線段的

6、條數(shù)為.,解析:分別求出前4個(gè)圖形中線段的條數(shù),并加以歸納,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,得出猜想.圖形中線段的條數(shù)分別為1,5,13,29.因?yàn)?=22-3, 5=23-3,13=24-3,29=25-3,所以可猜想第8個(gè)圖形中線段的條數(shù)應(yīng)為28+1-3=509. 答案:509,題型一,題型二,題型三,反思圖形中的數(shù)列問題也是一類考查歸納推理的熱點(diǎn)問題,歸納的途徑有兩條:一是按每個(gè)圖形中單位圖形(要考查的幾何元素,如本題中的線段)的數(shù)目來歸納;二是按圖形變化的特點(diǎn)來歸納.,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,答案:1 000,題型一,題型二,題型三,類比推理的應(yīng)用 【例3】 請(qǐng)用類比推理完成下表:,題型一,題型二,題型三,解析:本題由前兩組類比可得到如下信息:平面中的三角形與空間中的三棱錐是類比對(duì)象;三角形各邊的邊長(zhǎng)與三棱錐各面的面積是類比對(duì)象;三角形邊上的高與三棱錐面上的高是類比對(duì)象;三角形的面積與三棱錐的體積是類比對(duì)象;三角形的面積公式中的“二分之一”與三棱錐的體積公式中的“三分之一”是類比對(duì)象. 由以上可知:,答案:三棱錐的體積等于其內(nèi)切球半徑與三棱錐表面積的乘積的三分之一,題型一,題型二,題型三,反思類比推理的基本原