1、3.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù),1,2,1.函數(shù)極值的概念 (1)若函數(shù)f(x)在點x=a的函數(shù)值f(a)比它在點x=a附近其他點的函數(shù)值都小,f(a)=0;而且在點x=a附近的左側(cè)f(x)0,就把點a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點,f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值. (2)若函數(shù)f(x)在點x=b的函數(shù)值f(b)比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值都大,f(b)=0;而且在點x=b附近的左側(cè)f(x)0,右側(cè)f(x)0,就把點b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點,f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值. (3)極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點,極大值和極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值.,1,2,1,2,做一做1下列

2、說法不正確的是() A.函數(shù)y=x2有極小值 B.函數(shù)y=sin x有無數(shù)個極值 C.函數(shù)y=2x沒有極值 D.x=0是函數(shù)y=x3的極值點 答案D,1,2,2.函數(shù)極值的求法 一般地,求函數(shù)y=f(x)的極值的方法是: (1)求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x); (2)解方程f(x)=0,得方程的根x0(可能不只一個); (3)如果在x0附近的左側(cè)f(x)0,右側(cè)f(x)0,那么f(x0)是極小值.,1,2,做一做2函數(shù)f(x)=x3-3x的極大值等于,極小值等于. 解析f(x)=3x2-3,令f(x)=3x2-3=0,得x=1,當(dāng)x(-,-1)時,f(x)0, 當(dāng)x(-1,1)時,f(x)0

3、, 所以當(dāng)x=-1時,函數(shù)取極大值f(-1)=2; 當(dāng)x=1時,函數(shù)取極小值f(1)=-2. 答案2-2,1,2,思考辨析 判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“”,錯誤的打“”. (1)導(dǎo)數(shù)值為0的點一定是極值點. () (2)在定義域上的單調(diào)函數(shù)一定沒有極值. () (3)對于任意函數(shù),極值點處的導(dǎo)數(shù)值一定等于0. () (4)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c最多有兩個極值點. () 答案(1)(2)(3)(4),探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,解(1)函數(shù)的定義域為R,f(x)=x2-2x-3. 令f(x)=0,得x=3或x=-1. 當(dāng)x變

4、化時,f(x),f(x)的變化情況如下表:,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表:,所以函數(shù)在x=-1處取得極大值f(-1)=e.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究二與函數(shù)極值有關(guān)的參數(shù)問題 (1)求a,b的值; (2)求函數(shù)的另一個極值. 分析(1)可利用 建立a,b的方程組求解;(2)按照求極值的步驟求解.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析

5、,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究三由函數(shù)圖象分析函數(shù)的極值 【例3】已知函數(shù)y=xf(x)的圖象如下圖所示(其中f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)),給出以下說法:函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+)上是增函數(shù);函數(shù)f(x)在x=-1取得極大值;函數(shù)f(x)在 處取得極大值;函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值,其中正確的說法有.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,解析從圖象上可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)x(1,+)時,xf(x)0, 于是f(x)0,故f(x)在區(qū)間(1,+)上是增函數(shù),正確; 當(dāng)x0. 當(dāng)-10,所以f(x)0. 故函數(shù)f(x)在x=-1處取得極大值.正確; 當(dāng)x(-1,1)時,f(x)0,所以函

6、數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上是單調(diào)遞減函數(shù),錯; 當(dāng)0x1時,xf(x)0,于是f(x)0,故f(x)在區(qū)間(0,1)上是減函數(shù),而在區(qū)間(1,+)上是增函數(shù),所以函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值,故正確. 答案,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練3 已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,給出以下結(jié)論:函數(shù)f(x)在(-2,-1)和(1,2)上是單調(diào)遞增函數(shù);函數(shù)f(x)在(-2,0)上是單調(diào)遞增函數(shù),在(0,2)上是單調(diào)遞減函數(shù);函數(shù)f(x)在x=-1處取得極大值,在x=1處取得極小值;函數(shù)f(x)在x=0處取得極大值,則正確命題的序號是

7、(填上所有正確命題的序號),探究一,探究二,探究三,思維辨析,解析函數(shù)f(x)在(-2,-1)上單調(diào)遞增,在(1,2)上單調(diào)遞減,故錯; 因為在(-2,0)上f(x)0,所以函數(shù)f(x)在(-2,0)上是單調(diào)遞增函數(shù),同理在(0,2)上是單調(diào)遞減函數(shù),故正確;錯誤; 當(dāng)-20,當(dāng)0x2時f(x)0,故函數(shù)f(x)在x=0處取得極大值,正確. 答案,探究一,探究二,探究三,思維辨析,忽視極值存在的條件致誤 典例已知函數(shù)f(x)=x3+6mx2+4nx+8m2在x=-2處取得極值,且極值為0,求m+4n的值. 錯解f(x)=3x2+12mx+4n, 因此m+4n=13或m+4n=38, 即m+4n

8、的值等于13或38.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練函數(shù)f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1時有極值10,則a,b的值為() A.a=3,b=-3或a=-4,b=11 B.a=-4,b=2或a=-4,b=11 C.a=-4,b=11 D.以上都不對 解析f(x)=3x2-2ax-b,f(1)=0,即2a+b=3, f(1)=a2-a-b+1=10,即a2-a-b=9, 解由組成的方程組,得a=-4,b=11(有極值)或a=3,b=-3(無極值,舍去). 答案C,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,2.函數(shù)y=1+3x-x3有() A.極小值-1,極大值1B.極小值-2,極大值3 C.極小值-2,極大值2D.極小值-1,極大值3 解析y=3-3x2,令y=3-3x2=0,得x=1, 所以當(dāng)x=-1時取得極小值-1,當(dāng)x=1時取得極大值3. 答案D,1,2,3,4,5,3.函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a,b),導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示, 則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有極小值點() A.