1、.一向量的概念與性質(zhì)一知識點1與向量概念有關(guān)的問題向量不同于數(shù)量，數(shù)量是只有大小的量（稱標(biāo)量），而向量既有大小又有方向；數(shù)量可以比較大小，而向量不能比較大小，只有它的模才能比較大小. 記號“ a b ”錯了，而| a | | b | 才有意義 .有些向量與起點有關(guān)，有些向量與起點無關(guān). 由于一切向量有其共性（力和方向），故我們只研究與起點無關(guān)的向量（既自由向量）. 當(dāng)遇到與起點有關(guān)向量時，可平移向量.平行向量（既共線向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要條件 .單位向量是模為 1 的向量， 其坐標(biāo)表示為 （x, y）, 其中x、y滿足x2y21 （可用（ cos

2、 ,sin）（ 0 2）表示） .零向量 0 的長度為0，是有方向的，并且方向是任意的，實數(shù)0 僅僅是一個無方向的實數(shù) .有向線段是向量的一種表示方法，并不是說向量就是有向線段.2與向量運算有關(guān)的問題向量與向量相加，其和仍是一個向量 .( 平行四邊形法則：起點相同，三角形法則：首尾相連 )當(dāng)兩個向量a 和 b 不共線時，ab 的方向與 a 、 b 都不相同，且| ab | | a | | b | ；當(dāng)兩個向量a 和 b 共線且同向時， ab 、a 、b 的方向都相同， 且 | ab | a | b |；當(dāng)向量 a 和 b 反向時， 若 | a | | b | ， ab 與a 方向相同，且 |

3、ab |=| a |-|b | ；若| a | | b | 時 , ab 與 b 方向相同，且 | a b |=| b |-|a |.向量與向量相減，其差仍是一個向量. 向量減法的實質(zhì)是加法的逆運算.（三角形法則：起點相同，減向量重點指向被減向量的終點）圍成一周首尾相接的向量（有向線段表示）的和為零向量.如， abbcca0 , （在 abc中）abbccdda0 .( abcd中 )判定兩向量共線的注意事項如果兩個非零向量a ， b ，使 a = b （ r），那么 a b ；反之，如 a b ，且 b 0，那么 a = b .這里在“反之”中，沒有指出a 是非零向量，其原因為a =0 時，

4、與 b 的方向規(guī)定為平行 .（4）向量的數(shù)乘運算的定義：數(shù)乘運算模的大小為：（5） 當(dāng)ruur0, a 與 a 的方向相同；ruur當(dāng) 0, a 的方向與 a 的方向相反； r r當(dāng) 0， a 0.（6）數(shù)量積的8 個重要性質(zhì)（a bab cos）兩向量的夾角為0 . 由于向量數(shù)量積的幾何意義是一個向量的長度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可負(fù)、可以為零，故向量的數(shù)量積是一個實數(shù).設(shè) a 、 b 都是非零向量，e 是單位向量，是 a 與 b 的夾角，則e aae | a |cos.(| e | 1) abab0（=90， cos0)在實數(shù)運算中ab =0a =0 或 b=0. 而在向

5、量運算中a b = 0a =0 或 b = 0 是錯誤的，故 a0或 b0 是 ab =0 的充分而不必要條件 .當(dāng) a 與 b 同向時 ab =| a | | b | (=0,cos=1);當(dāng) a 與 b 反向時， ab =- | a | | b |(= ,cos =-1)，即 a b 的另一個充要條件是| a b | | a | | b | .特殊情況有 aa22a= | a | .或 | a | =a a2y 2 .= a =x2如果表示向量a 的有向線段的起點和終點的坐標(biāo)分別為( x1 , y1 ),( x2 , y2 ), 則| a | = ( x1x2 ) 2( y1 y2 )2

6、| a b | a | | b | 。（因 cos1 ）數(shù)量積不適合乘法結(jié)合律.如 (a b) c a (b c). （因為 (a b) c 與 c 共線，而 a (b c) 與 a 共線）數(shù)量積的消去律不成立 .若 a 、b 、c 是非零向量且 a cb c 并不能得到 ab 這是因為向量不能作除數(shù)，即 1c是無意義的 .二課堂訓(xùn)練1下列各式計算正確的有（）(1)( 7)6 a=-42a(2)7( a+b)8b=7a+15b(3)a 2b+a+2b=2a(4) 若 a=m+n,b=4 m+4n,則 a ba 1 個b 2 個c 3 個d 4 個1 12b) 的結(jié)果是 ( 2a 8b) (4a

7、（）2化簡 3 2a 2a bb 2b ac b ad a b3下列各式敘述不正確的是（）a 若 a b,則 a、 b 不共線 ( r )b b=3a( a 為非零向量 ),則 a、 b 共線3a+2b,則 mnd若 a+b+c=0,則 a+b=-cc若 m=3a+4b,n=24對于菱形 abcd ，給出下列各式： ab bc | ab | bc | | ab cd | | ad bc | | ac |2| bd |24 | ab | 2其中正確的個數(shù)為（）a 1 個b 2 個c 3 個d 4 個5已知向量 a與 b 反向，下列等式中成立的是（）a | a | | b | | a b |b |

8、 a b | | a b |c | a | | b | | a b |d | a | | b | | a b |6在 abc 中 ,ab=ac ,d 、e 分別是 ab、ac 的中點 ,則（）.a ab 與 ac 共線b de 與 cb 共線c ad 與 ae 相等d ad 與 bd 相等7已知向量 e1、e2 不共線 ,實數(shù) x、y 滿足 (3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6 e1+3e2,則 x-y 的值等于 ()a 3b 3c 0d 28已知正方形abcd 的邊長為1,ab =a, bc =b, aca 0b 3c2=c,則 |a+b+c|等于（）d 229. 已知 a 、 b 是

9、非零向量且滿足 (a 2b)a, (b 2a)b ，則 a 與 b 的夾角是（）a b25cd633610.若非零向量 a, b 互相垂直，則下列各式中一定成立的是（）a a b a bb | a b | | a b |c (a b)(a b)0d ( ab) 2011已知菱形abcd 的邊長為2,求向量 ab cb + cd 的模的長 ._ 。12已知 | a | 4, | b |3, a, b 的夾角為 120，且 ca 2b ， d2a kb ，當(dāng) ca 時，k=.二向量的坐標(biāo)形式一知識點rr若 a( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 )rr則 ab特別地：rrrrab若 a

10、 / b ，則rrra =若 ab ，則r r a bra =cosuuura( x1 , y1 ), b( x2 , y2 ), ab二課堂訓(xùn)練1.uuuruuuruuur(uuur已知 ab(2,3), bc( x, y), cd1,4), 則 da2.設(shè) a(1, 3)和b(8, 1),若點 c(2 a1,a2) 在直線 ab上，則 a點 滿足uuuruuuruuur3.設(shè)點 a(2,3), b(5,4), c(7,10),apabac(r)p（ 1）當(dāng)時，點 p 在第一、三象限角平分線上；（ 2）當(dāng)時，點 p 在第四象限 .rrrr4.已知向量 a(1,1),b(13,13),則向量

11、與 的夾角為abrrrr的取值范圍為5.設(shè)向量 a( x,3), b (2,1),與 與 的夾角為鈍角 ，則xab6.rr(1,2), 若(rrrr已知向量 a( 3,1),b2ab)(akb ), 則實數(shù) k =rrrrrrrrx ：7.已知向量 a(1,2), b( x,1), ua2b, v2ab ，根據(jù)下列情形求rrrr（1）若 u / v _ （ 2）若 uv ._rrrrrr=8.已知向量 a(1,2), b( x,1),若a與2 a平行，則x2bbr(rrrrr9.設(shè)向量 a3,4),向量 b滿足 b / a , b 1,則b =uuuruuur(2,1)abc 的面積為10.在

12、 abc中，已知 ab( 1,2), ac，則.11.平面內(nèi)給定三個向量rrr(4,1).a(3,2), b( 1,2), c（ 1）rrr求 3ab2c ；（ 2）rrr求滿足 ambnc 的實數(shù) m, n ；（ 3）rr/rr若 akc2ba ，求實數(shù) k ；urur rrrurrur（ 4） 設(shè) d(x, y)滿足 d c / ab 且 dc 1,求 d .ruruur ruruururuur12.設(shè)向量 ae1e2 ,b4e13e2 ,其中 e1(1,0), e2(0,1).（ 1）rrrr試計算 ab及 ab 的值 ；r r（ 2） 求向量 a與b 夾角的大小 .單元測試題一、選擇題

13、：（本大題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分）rrrrr1、若向量方程 2x3( x2a)0，則向量 x 等于a、 6rrrrab、 6ac、 6ad 、 6 a552、兩列火車從同一站臺沿相反方向開去，走了相同的路程，設(shè)兩列火車的rr位移向量分別為 a 和 b ，那么下列命題中錯誤的一個是rrrra、 a 與 b 為平行向量b、 a 與 b 為模相等的向量rrrrc、 a與 b 為共線向量d 、 a 與 b 為相等的向量uuuruuuruuur3、 abbcaduuuruuuruuuruuura、 adb、 cdc、 dbd 、 dc4、下列各組的兩個向量，平行的是r(r(4,6)

14、rr(7,14)a、 a2,3) ， bb、 a(1, 2) ， brr(3,2)rr(6, 4)c、 a(2,3) ， bd 、 a( 3,2) ， b.uuuruuur5、若 p 分 ab 所成的比為3 ，則 a 分 bp 所成的比為4a、3b、7、 3d 、 773c37r(6,0)rrr6、已知 a， b( 5,5) ，則 a 與 b 的夾角為a、 45 0b、 60 0c、 135 0d 、 120 0r都是單位向量，則下列結(jié)論正確的是7、已知 ri ， jrrr2r 2a、 ij 1b、 ijrrrrr r0c、 i jijd 、 i juuurruuurr8、如圖，在四邊形abc

15、d 中，設(shè) aba ， adb ，dcuuurruuurbcc，則 dcrrrrrra、 abcb、 b(ac)rrrrrrc、 abcd 、 bacab9、 a (2,1), b(3,4), 則向量 a 在向量 b 方向上的投影為a、 2 5b、 2c、 5d 、1010、在 abc 中， b3 ， c3 3 ， b300 ，則 aa、 6b、 3c、 6 或 3d 、 6 或 4二、填空題：（本大題共 4 小題，每小題4 分，共 16 分）11、已知 m (3, 2) ， n ( 1,0) ，則線段 mn 的中點 p 的坐標(biāo)是 _。12、設(shè) o 是平行四邊形 abcd 的兩條對角線的交點，

16、下列向量組：uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur（1） ad 與 ab ；（ 2） da 與 bc ；（3） ca 與 dc ；（ 4） od 與 ob ，其中可作為這個平行四邊形所在平面表示它的所有向量的基底的向量組可以是 _。uuur13、已知 a(7,8) ， b(3,5) ，則向量 ab 方向上的單位向量坐標(biāo)是 _。14、在 abc 中，ac 8 ，bc5 ，面積 s abcuuur uuur10 3 ，則 bc ca =_。.三、解答題：（本大題共 3 小題，共 44 分）rrrrrr rr15、已知 a3， b( 1, 3) ，（1）若 ab ，求 a ；（2）若 a b ，求 a 。rrr r3rr rr16、已知 a3， b4 ， a 與 b 的夾角為，求 (3ab) (a2b) 。4rrr r17、已知： a(cos ,sin ).b (cos ,sin )求證： a與b互相垂直 .參考答案一、選擇題： cdddbcbabc二、填空題：11、（1，-1）、（