1、習(xí)題課拋物線的綜合問題及應(yīng)用,1.利用拋物線的定義解題 若拋物線的焦點為F,準(zhǔn)線為l,點P在拋物線上,則點P到點F的距離等于點P到準(zhǔn)線l的距離. 2.拋物線的焦半徑與焦點弦 (1)拋物線的焦半徑 拋物線上的點到焦點的距離叫做焦半徑,其長度如下:,(2)拋物線的焦點弦 過焦點的直線與拋物線相交所得的弦叫做焦點弦.若拋物線y2=2px(p0)的焦點弦的端點A(x1,y1),B(x2,y2),則有以下結(jié)論: |AB|=x1+x2+p; AB垂直于對稱軸時,AB叫通徑,焦點弦中通徑最短; A,B兩點的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積為定值,即 以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切.,做一做1拋物線y2=8x上一點P到x

2、軸距離為12,則點P到拋物線焦點F的距離為() A.20B.8C.22D.24 解析：設(shè)P(x0,12),則x0=18,所以|PF|=x0+ =20. 答案：A 做一做2拋物線x= y2的通徑的長度等于() 解析：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=6x,2p=6,故通徑的長度等于6. 答案：C,做一做3過拋物線y2=8x的焦點,作傾斜角為45的直線,則它被拋物線截得的弦長為() A.8B.16C.32D.61 解析：由拋物線y2=8x的焦點為(2,0),得直線的方程為y=x-2,代入y2=8x,得(x-2)2=8x,即x2-12x+4=0,所以x1+x2=12,弦長=x1+x2+p=12+4=16. 答案

3、：B 做一做4若拋物線y2=-16x上一點P到焦點的距離等于它到頂點的距離,則點P的坐標(biāo)為. 解析：根據(jù)拋物線的定義可知,點P到焦點F的距離等于它到頂點O的距離,因此點P在線段OF的垂直平分線上,而F(-4,0),所以P點橫坐標(biāo)為-2,代入拋物線方程得y=4 ,故點P的坐標(biāo)為(-2,4 ). 答案：(-2,4 ).,做一做5已知拋物線x2=4y,經(jīng)過其焦點F的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,求證:y1y2為定值. 證明：拋物線x2=4y的焦點F(0,1),設(shè)直線AB的斜率為k,則其方程為y-1=kx.,探究一,探究二,規(guī)范解答,探究一利用拋物線的定義解決問題 【例1】

4、 已知拋物線關(guān)于x軸對稱,它的頂點在坐標(biāo)原點O,且經(jīng)過點M(2,y0),若點M到焦點的距離為3,則|OM|等于(),解析：依題意設(shè)拋物線方程為y2=2px(p0),由點M到焦點的距離為3可得,點M到準(zhǔn)線的距離也為3,于是2+ =3,解得p=2,則y2=4x,因此可得M(2,2 ),故|OM|=2 . 答案：B,探究一,探究二,規(guī)范解答,探究一,探究二,規(guī)范解答,變式訓(xùn)練1在拋物線y2=12x上,與焦點的距離等于9的點的坐標(biāo)是.,探究一,探究二,規(guī)范解答,【例2】 已知拋物線y2=2x的焦點是F,點P是拋物線上的動點,又有點A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值時的點P的坐標(biāo)

5、. 分析：根據(jù)拋物線的定義,就是在拋物線上找一點P,使得點P到點A的距離與點P到準(zhǔn)線的距離之和最小,然后可借助平面幾何知識求解.,探究一,探究二,規(guī)范解答,解：如圖所示,作PNl于點N(l為準(zhǔn)線),作ABl于點B, 則|PA|+|PF|=|PA|+|PN|AB|,當(dāng)且僅當(dāng)點P為AB與拋物線的交點時,等號成立.,探究一,探究二,規(guī)范解答,探究一,探究二,規(guī)范解答,變式訓(xùn)練2定點M 與拋物線y2=2x上的點P之間的距離為d1,點P到拋物線準(zhǔn)線l的距離為d2,則d1+d2取最小值時,點P的坐標(biāo)為(),答案：C,探究一,探究二,規(guī)范解答,探究二拋物線的焦點弦問題 【例3】 已知拋物線方程為y2=2px

6、(p0),過此拋物線的焦點F的直線與拋物線交于A,B兩點,且|AB|= p,求AB所在直線的方程. 分析：依題意只需求出直線AB的斜率即可利用點斜式求得方程,可根據(jù)焦點弦長度公式求解.,探究一,探究二,規(guī)范解答,探究一,探究二,規(guī)范解答,探究一,探究二,規(guī)范解答,探究一,探究二,規(guī)范解答,變式訓(xùn)練3設(shè)拋物線C:y2=4x,F為C的焦點,過F的直線l與C相交于A,B兩點. (1)設(shè)l的斜率為2,求|AB|的大小;,解：依題意得F(1,0),所以直線l的方程為y=2(x-1). 設(shè)直線l與拋物線的交點A(x1,y1),B(x2,y2), 消去y整理得x2-3x+1=0,所以x1+x2=3,x1x2

7、=1. 所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=3+2=5.,探究一,探究二,規(guī)范解答,(2)求證: 是一個定值.,證明：設(shè)直線l的方程為x=ky+1,設(shè)直線l與拋物線的交點A(x1,y1),B(x2,y2), 消去x整理得y2-4ky-4=0,所以y1+y2=4k,y1y2=-4. 因為 =(x1,y1)(x2,y2)=x1x2+y1y2 =(ky1+1)(ky2+1)+y1y2=k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2=-4k2+4k2+1-4=-3, 所以 是一個定值.,探究一,探究二,規(guī)范解答,拋物線中的定點與定值問題 典例導(dǎo)學(xué)號03290048如圖所示,過拋物線y2=x

8、上一點A(4,2)作傾斜角互補的兩條直線AB,AC交拋物線于B,C兩點,求證:直線BC的斜率是定值. 【審題策略】 欲證明直線BC的斜率為定值,可寫出直線BC的方程,然后說明其斜率為定值,或直接用k0= ,寫出斜率,然后說明k0的值與參數(shù)無關(guān);而已知直線AB,AC過定點,AB與AC兩直線傾斜角互補,故兩直線方程可用同一參數(shù)(直線AB的斜率k)來表示.,探究一,探究二,規(guī)范解答,【規(guī)范展示】 設(shè)直線AB的斜率為k(k0). 因為直線AB,AC的傾斜角互補,所以直線AC的斜率為-k(k0). 又直線AB的方程是y=k(x-4)+2.,探究一,探究二,規(guī)范解答,探究一,探究二,規(guī)范解答,【答題模板】

9、 第1步:由已知條件尋求直線AB,AC斜率之間的關(guān)系. 第2步:寫出AB的方程并與拋物線方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系求得點B的橫坐標(biāo). 第3步:根據(jù)AB,AC斜率之間的關(guān)系,寫出點C的橫坐標(biāo). 第4步:利用兩點連線的斜率公式寫出直線BC的斜率,整理得到結(jié)果. 第5步:得出結(jié)論.,探究一,探究二,規(guī)范解答,1 2 3 4 5,1.拋物線y2=mx的焦點為F,點P(2,2 )在此拋物線上,M為線段PF的中點,則點M到該拋物線準(zhǔn)線的距離為 (),答案：D,1 2 3 4 5,2.設(shè)拋物線y2=2x與過焦點F的直線交于A,B兩點,則 的值是(),答案：B,1 2 3 4 5,3.過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,若x1+x2=6,則|AB|=. 解析：|AB|=x1+x2+p=6+2=8. 答案：8,1 2 3 4 5,4.拋物線y=x2上的點到直線y=2x-4的距離最短的點的坐標(biāo)是. 解析：設(shè)與直線y=2x-4