1、金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),1,金融風(fēng)險(xiǎn)和金融數(shù)學(xué),史樹中 北京大學(xué)金融數(shù)學(xué)與金融工程研究中心 北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),2,什么是風(fēng)險(xiǎn)和什么是金融風(fēng)險(xiǎn)？,風(fēng)險(xiǎn)是可能發(fā)生的危險(xiǎn)。 風(fēng)險(xiǎn)不確定性。 金融風(fēng)險(xiǎn)就是金融中可能發(fā)生的危險(xiǎn)。 換句話說(shuō)，就是可能發(fā)生的錢財(cái)損失。 金融風(fēng)險(xiǎn)金融中的不確定性。 金融風(fēng)險(xiǎn)包括市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，信用風(fēng)險(xiǎn)、流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)，營(yíng)運(yùn)風(fēng)險(xiǎn)等等。,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),3,什么是金融經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融數(shù)學(xué)？,金融經(jīng)濟(jì)學(xué)與其他經(jīng)濟(jì)學(xué)科的主要區(qū)別就在于市場(chǎng)環(huán)境的不確定性。 金融經(jīng)濟(jì)學(xué)主要研究不確定性市場(chǎng)環(huán)境下的金融商品的定價(jià)理論。 金融數(shù)學(xué)就是金融商品定價(jià)的數(shù)學(xué)理論。 因此，也可以說(shuō)，

2、金融經(jīng)濟(jì)學(xué)以至金融數(shù)學(xué)都是研究金融風(fēng)險(xiǎn)的理論。,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),4,研究不確定性的數(shù)學(xué)概率論,直到現(xiàn)在為止，研究不確定性的最主要的數(shù)學(xué)學(xué)科是概率論 (其他還有：模糊數(shù)學(xué)、混沌理論、集值分析、微分包含等)。 概率論幾乎可以說(shuō)是起源于研究“金融風(fēng)險(xiǎn)”的。那是一種簡(jiǎn)單的“金融風(fēng)險(xiǎn)”問(wèn)題：賭博。,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),5,概率論的早期歷史,Blaise Pascal (1623-1662),Pierre de Fermat (1601-1665),1654 年 Pascal 與 Fermat 的五封通信，奠定概率論的基礎(chǔ)。他們當(dāng)時(shí)考慮一個(gè)擲骰子問(wèn)題，開始形成數(shù)學(xué)期望的概念，并以“輸贏的錢的數(shù)學(xué)期望”

3、來(lái)為賭博“定價(jià)”。,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),6,Pascal Fermat 問(wèn)題,二人擲骰子賭博，先擲滿 5 次雙 6 點(diǎn)者贏。有一次，A 擲滿 4 次雙 6 點(diǎn)，B 擲滿 3 次雙 6 點(diǎn)。由于天色已晚，兩人無(wú)意再賭下去，那么該怎樣分割賭注？ 答案：A 得 3/4, B 得 1/4. 結(jié)論：應(yīng)該用數(shù)學(xué)期望來(lái)定價(jià)。,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),7,概率論的早期歷史 (續(xù)),Jacob Bernoulli (1654-1705),1713 年發(fā)表猜度術(shù) (Ars Conjectandi)。這是當(dāng)時(shí)最重要、最有原創(chuàng)性的概率論著作。由此引起所謂“圣彼德堡悖論”問(wèn)題。,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),8,“圣彼德堡悖論”問(wèn)題

4、,有這樣一場(chǎng)賭博：第一次贏得 1 元，第一次輸?shù)诙乌A得 2 元，前兩次輸?shù)谌乌A得 4 元，一般情形為前 n 次輸，第 n+1 次贏得 元。問(wèn)：應(yīng)先付多少錢，才能使這場(chǎng)賭博是“公平”的？ 如果用數(shù)學(xué)期望來(lái)定價(jià)，答案將是無(wú)窮！,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),9,“圣彼德堡悖論”,1738 年發(fā)表對(duì)機(jī)遇性賭博的分析提出解決“圣彼德堡悖論”的“風(fēng)險(xiǎn)度量新理論”。指出用“錢的數(shù)學(xué)期望”來(lái)作為決策函數(shù)不妥。應(yīng)該用“錢的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望”。,Daniel Bernoulli （1700-1782),金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),10,期望效用函數(shù),1944 年在巨著對(duì)策論與經(jīng)濟(jì)行為中用數(shù)學(xué)公理化方法提出期望效用函數(shù)。這是經(jīng)濟(jì)

5、學(xué)中首次嚴(yán)格定義風(fēng)險(xiǎn)。,John von Neumann (1903-1957),Oskar Morgenstern (1902-1977),金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),11,用期望效用函數(shù)來(lái)刻劃風(fēng)險(xiǎn),所謂期望效用函數(shù)是定義在一個(gè)隨機(jī)變量集合上的函數(shù)，它在一個(gè)隨機(jī)變量上的取值等于它作為數(shù)值函數(shù)在該隨機(jī)變量上取值的數(shù)學(xué)期望。用它來(lái)判斷有風(fēng)險(xiǎn)的利益，那就是比較“錢的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望”。 假定 (x,y,p) 表示以概率 p 獲得 x, 以概率 (1-p) 獲得 y 的機(jī)會(huì)，那么其期望效用函數(shù)值為 u(x,y,p)=pu(x)+(1-p)u(y).,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),12,有風(fēng)險(xiǎn)與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)之間的比較,機(jī)會(huì) (

6、x,y,p) 與肯定得到 px+(1-p)y 之間的利益比較就是比較 u(x,y,p)=pu(x)+(1-p)u(y) 與 u(px+(1-p)y) 之間的大小。如果它們相等，表示對(duì)風(fēng)險(xiǎn)中性 (不在乎)；一般取 表示對(duì)風(fēng)險(xiǎn)愛(ài)好。,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),13,Arrow-Pratt 風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量,這就歸結(jié)為函數(shù) u 的凸性的比較。它的程度可用 -u/u 來(lái)度量。它由 Arrow (1965) 和 Pratt (1964) 所提出。,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),14,期望效用函數(shù)的爭(zhēng)論,期望效用函數(shù)似乎是相當(dāng)人為、相當(dāng)主觀的概念。一開始就受到許多批評(píng)。其中最著名的是“ Allais 悖論” (1953)。

7、由此引起許多非期望效用函數(shù)的研究，涉及許多古怪的數(shù)學(xué)。但都不很成功。,Maurice Allais (1911-) 1986 年諾貝爾經(jīng)濟(jì)獎(jiǎng)獲得者。,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),15,Knight 的風(fēng)險(xiǎn)、不確定性與利潤(rùn)(1921),Knight 不承認(rèn)“風(fēng)險(xiǎn)=不確定性”，提出“風(fēng)險(xiǎn)”是有概率分布的隨機(jī)性，而“不確定性”是不可能有概率分布的隨機(jī)性。 Knight 的觀點(diǎn)并未被普遍接受。但是這一觀點(diǎn)成為研究方法上的區(qū)別。,Frank Hyneman Knight (1885-1972),金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),16,Arrow-Debreu 的不確定狀態(tài),1954 年 Arrow 和Debreu 發(fā)表一般經(jīng)

8、濟(jì)均衡的嚴(yán)格數(shù)學(xué)公理化證明。 他們?cè)谔幚聿淮_定性時(shí)采用Knight 的觀點(diǎn)。光有狀態(tài)，沒(méi)有概率。,Kenneth J. Arrow （1921-) 1972年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者,Gerard Debreu (1921-) 1983年諾貝爾經(jīng)濟(jì)獎(jiǎng)獲得者,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),17,Arrow (1953) 證券價(jià)值對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)的最優(yōu)配置的作用,Arrow 的文章被認(rèn)為是第一篇用數(shù)學(xué)模型論證證券如何分散金融風(fēng)險(xiǎn)的研究論文。,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),18,“華爾街的革命”,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),19,在華爾街發(fā)生的兩次革命已經(jīng)開創(chuàng)了在金融界需要研究型的數(shù)學(xué)家的專長(zhǎng)。第一次革命是對(duì)股權(quán)基金管理的訣竅引進(jìn)數(shù)量方法

9、，它開始于 Harry Markowitz 在 1952 年發(fā)表的博士論文證券組合選擇。第二次金融中的革命開始于 1973 年 Fisher Black 和 Myron Scholes (請(qǐng)教了Robert Merton)發(fā)表對(duì)期權(quán)定價(jià)問(wèn)題的解答。Black-Scholes 公式給金融行業(yè)帶來(lái)了現(xiàn)代鞅和隨機(jī)分析的方法；這種方法使投資銀行能夠?qū)o(wú)窮無(wú)盡的“衍生證券”進(jìn)行生產(chǎn)、定價(jià)和套期保值。,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),20,1990 年諾貝爾經(jīng)濟(jì)獎(jiǎng)獲得者,Harry Markowitz, (1927-) 證券組合選擇理論,Merton Miller, (1923-2000) Modigliani-Mi

10、ller 定理 (MMT),William Sharpe, (1934-)資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CAPM),金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),21,1997 年諾貝爾經(jīng)濟(jì)獎(jiǎng)獲得者,Fisher Black (1938-1995)期權(quán)定價(jià)公式 1973 年 Black-Scholes-Merton期權(quán)定價(jià)理論問(wèn)世,Robert Merton, (1944-)連續(xù)時(shí)間金融學(xué),Myron Scholes, (1941-) 期權(quán)定價(jià)公式,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),22,Markowitz 證券組合選擇問(wèn)題,一個(gè)投資者同時(shí)在許多種證券上投資，那么應(yīng)該如何選擇各種證券的投資比例，使得投資收益最大，風(fēng)險(xiǎn)最小。 Markowitz

11、把證券的收益率看作一個(gè)隨機(jī)變量，而收益定義為這個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，風(fēng)險(xiǎn)則定義為這個(gè)隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差。 如果把各證券的投資比例看作變量，問(wèn)題就歸結(jié)為怎樣使證券組合的收益最大、風(fēng)險(xiǎn)最小的數(shù)學(xué)規(guī)劃。,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),23,Markowitz 問(wèn)題的數(shù)學(xué)形式,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),24,Markowitz 理論的基本結(jié)論,對(duì)每一固定收益都求出其最小風(fēng)險(xiǎn)，那么在風(fēng)險(xiǎn)收益平面上，就可畫出一條曲線，它稱為組合前沿。 在證券允許賣空的條件下，組合前沿是一條雙曲線的一支；在證券不允許賣空的條件下，組合前沿是若干段雙曲線段的拼接。 組合前沿的上半部稱為有效前沿。對(duì)于有效前沿上的證券組合來(lái)說(shuō)，不存在收益和風(fēng)險(xiǎn)兩

12、方面都優(yōu)于它的證券組合。,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),25,風(fēng)險(xiǎn)收益圖 和 有效前沿,風(fēng)險(xiǎn),收益,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),26,風(fēng)險(xiǎn)收益圖 和 有效前沿,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),27,滬深兩市的風(fēng)險(xiǎn)收益圖,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),28,Markowitz 的基本思想,風(fēng)險(xiǎn)在某種意義下是可以度量的。 各種風(fēng)險(xiǎn)有可能互相抑制，或者說(shuō)可能“對(duì)沖”。因此，投資不要“把雞蛋放在一個(gè)籃子里”，而要“分散化”。 在某種“最優(yōu)投資”的意義下，收益大意味著要承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)也更大。,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),29,互相關(guān)的概念,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),30,關(guān)于我國(guó)股市的互相關(guān),金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),31,Tobin 的二基金分離定理,由于 Mar

13、kowitz 問(wèn)題是線性問(wèn)題，因而兩個(gè)有不同收益的解的線性組合就可生成整個(gè)組合前沿。 這兩個(gè)特殊的組合可以看成“基金”。這個(gè)結(jié)果稱為二基金分離定理。它是Tobin (1958) 首先提出的。,James Tobin, (1918-) 1981年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),32,資本資產(chǎn)定價(jià)模型 (CAPM),Sharpe (1964) 和另一些經(jīng)濟(jì)學(xué)家，則進(jìn)一步在一般經(jīng)濟(jì)均衡的框架下，假定所有投資者都以 Markowitz 的準(zhǔn)則來(lái)決策，而導(dǎo)出全市場(chǎng)的證券組合是有效的以及所謂資本資產(chǎn)定價(jià)模型 (Capital Asset Pricing Model, CAPM)。這一模型認(rèn)為，每

14、種證券的收益率都只與市場(chǎng)收益率和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率有關(guān)。,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),33,資本資產(chǎn)定價(jià)模型 (CAPM),無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率,證券收益率,市場(chǎng)收益率,E : 平均值 (數(shù)學(xué)期望) Cov: 協(xié)方差；Var: 方差,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),34,各種證券的風(fēng)險(xiǎn)收益圖,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),35,無(wú)套利假設(shè),Miller 與 Modigliani (1958)的 M-M 定理不但為公司理財(cái)這門新學(xué)科奠定了基礎(chǔ)，并且首次在文獻(xiàn)中明確提出無(wú)套利假設(shè)。所謂無(wú)套利假設(shè)是指在一個(gè)完善的金融市場(chǎng)中，不存在套利機(jī)會(huì) (即確定的低買高賣之類的機(jī)會(huì))。,Franco Modigliani, (1918-) 1985 年諾貝

15、爾經(jīng)濟(jì)獎(jiǎng)獲得者,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),36,無(wú)套利假設(shè)和 B-S 期權(quán)定價(jià)理論,以無(wú)套利假設(shè)作為出發(fā)點(diǎn)的一大成就也就是 Black-Scholes 期權(quán)定價(jià)理論。 期權(quán)是指以某固定的執(zhí)行價(jià)格在一定的期限內(nèi)買入某種股票的權(quán)利。期權(quán)在它被執(zhí)行時(shí)，如果股票的市價(jià)高于期權(quán)規(guī)定的執(zhí)行價(jià)格，那么期權(quán)的價(jià)格就是市價(jià)與執(zhí)行價(jià)格之差；反之，期權(quán)是無(wú)用的，其價(jià)格為零。 現(xiàn)在要問(wèn)，期權(quán)未到期時(shí)的價(jià)值。,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),37,為解決這一問(wèn)題，Black 和 Scholes先把模型連續(xù)動(dòng)態(tài)化。他們假定模型中有兩種證券，一種是債券，它是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券，其收益率是常數(shù)；另一種是股票，它是風(fēng)險(xiǎn)證券，沿用 Markowitz 的

16、傳統(tǒng)，它也可用證券收益率的期望和方差來(lái)刻劃，但是動(dòng)態(tài)化以后，其價(jià)格的變化滿足一個(gè)隨機(jī)微分方程，其含義是隨時(shí)間變化的隨機(jī)收益率，其期望值和方差都與時(shí)間間隔成正比。這種隨機(jī)微分方程稱為幾何布朗運(yùn)動(dòng)。,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),38,然后，利用每一時(shí)刻都可通過(guò)股票和期權(quán)的適當(dāng)組合對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)，使得該組合變成無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券，從而就可得到期權(quán)價(jià)格與股票價(jià)格之間的一個(gè)偏微分方程，其中的參數(shù)是時(shí)間、期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格、債券的利率和股票價(jià)格的“波動(dòng)率”。出人意料的是這一方程居然還有顯式解。于是 Black-Scholes 期權(quán)定價(jià)公式就這樣問(wèn)世了。,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),39,Black-Scholes 期權(quán)定價(jià)公式,金融風(fēng)險(xiǎn)與

17、金融數(shù)學(xué),40,Black-Scholes 期權(quán)定價(jià)公式,c(x,t) 是股價(jià)為 x, 時(shí)刻為 t 的歐式買入期權(quán)的價(jià)值； K 為期權(quán)的執(zhí)行價(jià)；T 是到期日；r 是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率； 為股票價(jià)格的波動(dòng)率（標(biāo)準(zhǔn)差）； N 稱為累積正態(tài)分布函數(shù)； 除了 需要估計(jì)以外，其他都可直接觀察到，用起來(lái)很方便。,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),41,Black-Scholes 模型和方程式,債券方程：,股票方程：,Black-Scholes 方程,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),42,Black-Scholes 期權(quán)定價(jià)公式,股價(jià),期權(quán)價(jià),t=T,tT,K,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),43,Black-Scholes 公式計(jì)算軟件,金融風(fēng)險(xiǎn)與金

18、融數(shù)學(xué),44,用期權(quán)對(duì)沖股價(jià)風(fēng)險(xiǎn),合成的投資組合,差價(jià),股價(jià),股價(jià),期權(quán)價(jià),買入股票,賣出 (看跌) 期權(quán),股價(jià),獲利,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),45,Black-Scholes-Merton的基本思想,“沒(méi)有免費(fèi)的午餐” (無(wú)套利假設(shè))。 無(wú)套利假設(shè)可用來(lái)為金融產(chǎn)品，尤其是為金融衍生產(chǎn)品定價(jià)。 如果一個(gè)投資組合使所有市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)都被對(duì)沖，那么它就相當(dāng)于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券 (國(guó)庫(kù)券)。,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),46,Black-Scholes-Merton 理論的歷史意義,The Black-Scholes option pricing model established the everyday use of m

19、athematical models as essential tools in the world of finance, both in the classroom and on the trading floor. 無(wú)論是在教室里還是在交易大廳中，Black-Sholes 期權(quán)定價(jià)模型都作為實(shí)質(zhì)性的工具，確立了數(shù)學(xué)模型在金融界的日常運(yùn)用。,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),47,歷史意義 (續(xù)),The model offers a methodology to predict the seemingly unpredictable by using the lessons of complex ma

20、thematics and probability theory to forecast stock valuations, making it possible to successfully manage risk in the financial market. 模型提供一種方法論，它用復(fù)雜的數(shù)學(xué)和概率論來(lái)預(yù)測(cè)看起來(lái)是不可預(yù)知的股票估值，使得有可能來(lái)成功地管理金融市場(chǎng)中的風(fēng)險(xiǎn)。,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),48,歷史意義 (續(xù)),In less than thirty years it has changed the course of economic theory and financial

21、 practice. 在不到三十年的時(shí)間里，它已經(jīng)改變了經(jīng)濟(jì)理論的課程和金融實(shí)踐。,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),49,歷史意義 (續(xù)),The work of Robert Merton, Fischer Black and Myron Scholes is the culmination of a series of discoveries and theories spanning the twentieth century. Merton、Black 和 Scholes 的工作是整個(gè)二十世紀(jì)中一系列發(fā)現(xiàn)和理論的累積。,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),50,歷史意義 (續(xù)),From Louis Bachel

22、ier, an obscure French mathematician who wrote at the turn of the century, through the contributions of scholars such as Harry Markowitz, John Lintner, William Sharpe, Eugene Fama, Franco Modigliani, and Merton Miller, the quest to apply the lessons of probability theory to the stock market has been

23、 a key focus of twentieth-century American finance.,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),51,歷史意義 (續(xù)),從一位鮮為人知的法國(guó)數(shù)學(xué)家 Bachelier 在世紀(jì)之交撰文，再通過(guò)諸如 Markowitz、Lintner、Sharpe、Fama、Modigliani、Miller 這樣的學(xué)者的貢獻(xiàn)，尋求把概率論應(yīng)用于股市已經(jīng)成為二十世紀(jì)美國(guó)金融學(xué)的關(guān)鍵的焦點(diǎn)。 引自哈佛商學(xué)院 Baker 圖書館網(wǎng)頁(yè),金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),52,資產(chǎn)定價(jià)基本定理,Black-Scholes 理論的成功使人們認(rèn)識(shí)到用“無(wú)套利假設(shè)”來(lái)為金融商品定價(jià)是非常強(qiáng)有力的。這一思想被 St

24、ephen Ross (1940-) 等進(jìn)一步發(fā)展為“資產(chǎn)定價(jià)基本定理” (1978)。,這一定理的最簡(jiǎn)單情形可在下述模型中來(lái)敘述：假定當(dāng)前狀態(tài)確定，未來(lái)有 S 種不確定狀態(tài)。市場(chǎng)中有 J 種證券。,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),53,資產(chǎn)定價(jià)基本定理 (續(xù)),資產(chǎn)定價(jià)基本定理：無(wú)套利假設(shè)等價(jià)于存在 S 個(gè)正常數(shù)，使得每種證券的當(dāng)前價(jià)格等于其 S 種未來(lái)價(jià)格與這 S 個(gè)常數(shù)的乘積和。 如果有一種始終為 1 的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券，那么這 S 個(gè)常數(shù)可看作每一狀態(tài)發(fā)生的概率。,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),54,資產(chǎn)定價(jià)基本定理 (續(xù)),與以前的“賭博定價(jià)”相比較，它既不再是用“錢的數(shù)學(xué)期望”來(lái)“定價(jià)”，也不再是用“錢的函數(shù)

25、的數(shù)學(xué)期望”來(lái)“定價(jià)”，而是用“錢對(duì)某種概率的數(shù)學(xué)期望”來(lái)“定價(jià)”。 如果無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券有收益，同樣的結(jié)果對(duì)證券的“折現(xiàn)價(jià)格”也成立。 對(duì)于一般的動(dòng)態(tài)情形，這里的概率即所謂“等價(jià)概率鞅測(cè)度”。用這種方法定價(jià)就稱為“鞅方法”。,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),55,資產(chǎn)定價(jià)基本定理 (續(xù)),1979 年，Cox, Ross 和 Rubinstein 就用這樣的方法，先對(duì)離散時(shí)間的期權(quán)定價(jià)，再取極限連續(xù)化，同樣得到 Black-Scholes 期權(quán)定價(jià)公式。 這一方法不但容易理解，并且是一種有效的計(jì)算方法。這就是所謂“二叉樹方法”?，F(xiàn)在已成為一種常用的方法。,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),56,二叉樹計(jì)算方法,金融風(fēng)險(xiǎn)與金

26、融數(shù)學(xué),57,市場(chǎng)有效性假設(shè),于是問(wèn)題歸結(jié)為“無(wú)套利假設(shè)”是否總成立。 Black-Scholes 公式的成功說(shuō)明“無(wú)套利假設(shè)”在許多情況下都是成立的。 一般情況下，這是市場(chǎng)是否有效的問(wèn)題，即“市場(chǎng)價(jià)格是否完全反映可接受的信息”的問(wèn)題 (Fama, 1970)。,Eugene F. Fama (1939-),金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),58,市場(chǎng)有效性假設(shè) (續(xù)),通常市場(chǎng)有效性分為三類：弱有效 (價(jià)格已反映其歷史，這時(shí)技術(shù)分析無(wú)效)、半強(qiáng)有效 (價(jià)格已反映所有公開信息，這時(shí)基本分析無(wú)效) 和強(qiáng)有效 (價(jià)格已反映所有內(nèi)部信息，這時(shí)“黑箱操作”無(wú)效)。許多實(shí)證檢驗(yàn)都支持前兩種有效，但后一種有效則不一定。

27、,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),59,市場(chǎng)有效性與信息傳遞,近年來(lái)人們逐漸認(rèn)識(shí)到，市場(chǎng)有效性與其他“市場(chǎng)分析”手段之間并沒(méi)有那么水火不相容。尤其是怎樣來(lái)度量“市場(chǎng)效率”成為人們所關(guān)注的問(wèn)題。 市場(chǎng)是否有效的關(guān)鍵在于市場(chǎng)信息傳遞是否有效。股市中出現(xiàn)的做莊、跟風(fēng)等現(xiàn)象都引起人們關(guān)注。最近出現(xiàn)的一門新學(xué)科行為金融學(xué)就研究這類問(wèn)題。,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),60,Grossman-Stiglitz 悖論,這類問(wèn)題的研究引起大量數(shù)學(xué)家不熟悉、甚至從未考慮過(guò)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。下述悖論就是一個(gè)例子。 如果市場(chǎng)已經(jīng)充分反映各種信息，那么投資者就沒(méi)有必要搜集信息。但是如果誰(shuí)都不搜集信息，市場(chǎng)如何充分反映各種信息？(Grossman

28、-Stiglitz, 1980),Stanford J. Grossman,Joseph E. Stiglitz,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),61,狂怒的大女子主義者的寓言和股票市場(chǎng),我寫這個(gè)寓言是在1997年10月股市大跌的一個(gè)星期之后。它發(fā)生在一個(gè)地點(diǎn)不明的愚昧的大女子主義村子里。在這個(gè)村子里，有50對(duì)夫婦，每個(gè)女人在別人的丈夫?qū)ζ拮硬恢覍?shí)時(shí)會(huì)立即知道，但從來(lái)不知道自己的丈夫是否忠實(shí)。該村嚴(yán)格的大女子主義章程要求，如果一個(gè)女人能夠證明她的丈夫不忠實(shí)，她必須在當(dāng)天殺死他。又假定女人們都贊同這一章程，并且都很聰明，也都能意識(shí)到別的女人的聰明；同時(shí)，還都很仁慈，即她們從不向那些丈夫不忠實(shí)的女人通風(fēng)報(bào)信。

29、假定在這個(gè)村子里發(fā)生了這樣的事：所有這50個(gè)男人都不忠實(shí)，但沒(méi)有哪一個(gè)女人能夠證明她的丈夫的不忠實(shí)，以至這個(gè)村子能夠快活而又小心翼翼地一如既往。,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),62,寓言和股票市場(chǎng) (續(xù)),有一天早晨，森林的遠(yuǎn)處有一位德高望重的女族長(zhǎng)來(lái)拜訪。她的誠(chéng)實(shí)眾所周知，她的話就像法律。她暗中警告說(shuō)村子里至少有一個(gè)風(fēng)流的丈夫。這個(gè)事實(shí)，根據(jù)她們已經(jīng)知道的，只該有微不足道的后果，但是一旦這個(gè)事實(shí)成為公共知識(shí)，會(huì)發(fā)生什么？ 答案是，在女族長(zhǎng)的警告之后，將先有49個(gè)平靜的日子，然后，到第50天，在一場(chǎng)大流血中，所有的女人都?xì)⑺懒怂齻兊恼煞颉?要弄明白這一切是如何發(fā)生的，我們首先假定這里只有一個(gè)不忠實(shí)的丈夫

30、A先生。除了A太太外，所有人都知道A先生的背叛，因而當(dāng)女族長(zhǎng)發(fā)表她的聲明的時(shí)候，只有A太太從中得知一點(diǎn)新消息。作為一個(gè)聰明人，她意識(shí)到如果任何其他的丈夫不忠實(shí)，她將會(huì)知道。因此，她推斷出A先生就是那個(gè)風(fēng)流鬼，于是在當(dāng)天就殺了他。,金融風(fēng)險(xiǎn)與金融數(shù)學(xué),63,寓言和股票市場(chǎng) (續(xù)),現(xiàn)在假定有兩個(gè)不忠實(shí)的男人，A先生和B先生。除了A太太和B太太以外，所有人都知道這兩起背叛，而A太太只知道B太太家的，B太太只知道A太太家的。A太太因而從女族長(zhǎng)的聲明中一無(wú)所獲。但是第一天過(guò)后，B太太并沒(méi)有殺死B先生，她推斷出A先生一定也有罪。B太太也是這樣，她從A太太第一天沒(méi)有殺死A先生這一事實(shí)得知，B先生也有罪。于是在第二天，A太太和B太太都?xì)⑺懒怂齻兊恼煞颉?如果情形改為恰好有三個(gè)有罪的丈夫，A先生、B 先生和C先生，那么女族長(zhǎng)的聲明在第一天不會(huì)造成任何影響，但類似于前面描述的推理過(guò)程，A太太、B太太和C太太會(huì)從頭兩天