1、第一章 隨機(jī)事件及其概率,一、基本概念,. 樣本空間,. 隨機(jī)事件A, B, C等, 包含、相等關(guān)系,1.事件的關(guān)系,二、事件間的關(guān)系及其運(yùn)算,A=B。,事件的和,表示A與B中至少有一個(gè)發(fā)生。,事件的積,表示事件A和B同時(shí)發(fā)生。,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,事件的差,A-B 表示事件A發(fā)生但事件B不發(fā)生,互斥事件(互不相容),，則稱A,B為互不相容事件,即：AB不能同時(shí)發(fā)生。,對(duì)立事件(逆事件),且,，則稱事件A與B互為逆事件,或互為對(duì)立事件。,A的對(duì)立事件記為,=-A。,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2 .事件的運(yùn)算法則,交換律,結(jié)合律,分配律,德摩根律：,；,推廣：,;,注：

2、事件的一些關(guān)系式,三、概率,1、利用古典概率的定義計(jì)算概率。,則有,2、利用概率的性質(zhì)計(jì)算概率。,1）一般,當(dāng)AB互不相容時(shí)，,當(dāng)AB相互獨(dú)立時(shí)，,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,推廣：,2）,3）,四、條件概率,定理 設(shè),，則有,推廣,其中,五、乘法公式,六、全概率公式與貝葉斯（Bayes）公式,1、全概率公式,則有,2、 貝葉斯公式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,七 、兩個(gè)事件相互獨(dú)立,定義1,設(shè)A、B是兩個(gè)事件，如果有如下等式成立,則稱事件A、B相互獨(dú)立。,第二章,隨機(jī)變量及其分布,定義1.若隨機(jī)變量X,的全部可能取值是有限個(gè)或可列,無(wú)限多個(gè),則稱X 是離散型隨機(jī)變量。,定義2

3、.,一、離散型隨機(jī)變量,X的概率分布或分布律。,分布律也可用如下表格的形式表示：,性質(zhì)：,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,. (01)分布,二、常用的離散型隨機(jī)變量及其分布,（0 1）分布的分布律也可寫(xiě)成,.二項(xiàng)分布,.泊松分布,其中 是常數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,X 的分布函數(shù)：,定義1,三、分布函數(shù)的概念,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,四、分布函數(shù)的性質(zhì), 單調(diào)不減性：, 右連續(xù)性：,，且,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,五、連續(xù)型隨機(jī)變量的定義,定義1. 設(shè) F(x) 是隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)，若存在非負(fù),，使對(duì)任意實(shí)數(shù),則稱 X為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱,為 X

4、的概率密度函,數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度或密度函數(shù)。,函數(shù),1. 概率密度,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,概率密度的性質(zhì), 非負(fù)性,由于,(3) f (x)在點(diǎn)x 處連續(xù)，則,3、連續(xù)性隨機(jī)變量的特點(diǎn),(1),(2),(3) F(x)連續(xù)。,六、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量,X U a, b,1、均勻分布,2、 指數(shù)分布,3、正態(tài)分布,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,性質(zhì)：,七、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,例1.,設(shè)隨機(jī)變量 的分布律見(jiàn)下表 ,試求隨機(jī)變量,的分布律。,八、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,法1、分布函數(shù)法,解 題 思 路,法2、,這類題目的另一解法是通過(guò)以下五個(gè)規(guī)范步驟來(lái)完成的。,1）寫(xiě)出與Y =g(X ) 對(duì)應(yīng)的

5、普通函數(shù)式y(tǒng) =g(x)；,2）求y =g（x）的反函數(shù)x =h（y）；,3）求x =h（y）的導(dǎo)數(shù),4）將h（y）及 代入公式，即得,5）依據(jù) 中x的取值范圍定出 中的y的取值范圍。,第三章,多維隨機(jī)變量及其分布,一、會(huì)求二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列及邊緣分布。,*二、會(huì)求二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度。,三、理解隨機(jī)變量獨(dú)立性的概念。,二維隨機(jī)變量,的分布函數(shù)，或聯(lián)合分布函數(shù)。,一、二維隨機(jī)變量,性質(zhì)：,關(guān)于,右連續(xù)，即,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,1.離散型隨機(jī)變量分布律,滿足：,稱為,的,概率密度,或稱為隨機(jī)變量,和,的聯(lián)合概率密度。,2. 二維連續(xù)型隨機(jī)變量,若,在點(diǎn),連

6、續(xù)，則有,G表示xoy平面上的區(qū)域,f (x,y)的性質(zhì):,二、 離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律,三、連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度,四、兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性,隨機(jī)變量,是相互獨(dú)立的：,1) 對(duì)于離散型的隨機(jī)變量,2) 對(duì)于連續(xù)型的隨機(jī)變量,幾乎處處成立。,第四章,隨機(jī)變量的數(shù)字特征,一、數(shù)學(xué)期望的概念,離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望,定義1,定義2,連續(xù)型隨機(jī)變量X 的數(shù)學(xué)期望為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,定理1 設(shè),( g為連續(xù)函數(shù) ), X為離散型隨機(jī)變量，, X為連續(xù)型隨機(jī)變量,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束, 離散型,Z 的數(shù)學(xué)期望為, 連續(xù)型,Z 的數(shù)學(xué)期望為,1. 設(shè)C 是常

7、數(shù)，則E(C )=C ;,2. 若C 是常數(shù)，則E(CX ) = CE(X );,3.,二、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),4. 設(shè)X、Y 獨(dú)立，則 E(XY )=E(X )E(Y );,（當(dāng)Xi 獨(dú)立時(shí)）,推廣：,三、方差的定義,常用計(jì)算公式：,1. 設(shè)C是常數(shù),則D(C) =0 ;,2. 若C是常數(shù),則 D(CX )=C 2D(X );,3. 若X與Y 獨(dú)立，則,方差的性質(zhì),1（0-1）分布,四、幾種常見(jiàn)分布的期望和方差,2二項(xiàng)分布,3泊松分布,4均勻分布, 指數(shù)分布,正態(tài)分布,隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù),五、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的定義,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,1

8、、,為常數(shù),3、,2、,六 、協(xié)方差的性質(zhì),第六章,樣本及抽樣分布,二 、統(tǒng)計(jì)量,一 、總體與樣本,三 、幾個(gè)常用的分布,四 、正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量的分布,一 、總體,研究對(duì)象的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)值的全體稱為總體。,總體中每個(gè)研究對(duì)象(元素)稱為個(gè)體。,總體可以用一個(gè)隨機(jī)變量 X 及其分布來(lái)描述。,二 、樣本,樣本：在總體中抽取若干個(gè)有代表性的個(gè)體。,樣本容量：樣本中所含個(gè)體的數(shù)目n 。, 代表性：樣本的每個(gè)分量,與總體X 有相同的,分布函數(shù)；, 獨(dú)立性：,為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，,滿足以上條件的樣本,稱為來(lái)自總體,X 的容量為n 的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本（簡(jiǎn)稱樣本）。,樣本的一次具體實(shí)現(xiàn),稱為樣本值。,定義1

9、設(shè),是來(lái)自總體X 的一個(gè)樣本，,為一實(shí)值連續(xù)函數(shù)，,其不包含任何,未知參數(shù)，則稱,為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。,三、 統(tǒng)計(jì)量,幾種常用的統(tǒng)計(jì)量,1、樣本均值,2、樣本方差,3、樣本k 階原點(diǎn)矩,記為,1. 定義,設(shè),相互獨(dú)立, 都服從正態(tài)分布N(0,1),則稱隨機(jī)變量：,所服從的分布為自由度為 n 的,分布.,(一),四、 幾種常用的分布,分布,且 X1,X2 相互獨(dú)立，,(1) 可加性,2 . 性質(zhì),則E(X)=n, D(X)=2n,(2),c 2 分布的分位點(diǎn),稱滿足條件,定義：對(duì)于給定的正數(shù),的點(diǎn) 為 的上 分位點(diǎn)。,c 2 分布的下（左側(cè)）分位點(diǎn),稱滿足條件,定義：對(duì)于給定的正數(shù),的點(diǎn) 為 的下 分

10、位點(diǎn)。,c 2 分布的雙側(cè)分位點(diǎn),稱滿足條件,定義：對(duì)于給定的正數(shù),的點(diǎn) 和 為 的雙側(cè) 分位點(diǎn)。,記為 Tt (n)。,所服從的分布為自由度為 n 的 t 分布.,1. 定義:,設(shè)XN(0,1) ,Y,則稱變量, 且X與Y相互獨(dú)立，,（二）t 分布,t 分布的上分位點(diǎn),稱滿足條件,定義：對(duì)于給定的正數(shù),的點(diǎn) 為 的上 分位點(diǎn)。,t 分布的下分位點(diǎn),稱滿足條件,定義：對(duì)于給定的正數(shù),的點(diǎn) 為 的下 分位點(diǎn)。,t分布的雙側(cè)分位點(diǎn),稱滿足條件,定義：對(duì)于給定的正數(shù),的點(diǎn) 和 為 的雙側(cè) 分位點(diǎn)。,五 、單個(gè)正態(tài)總體的統(tǒng)計(jì)量的分布,定理2,第七章,參 數(shù) 估 計(jì),二 、估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn),一 、點(diǎn)估計(jì)

11、,三 、區(qū)間估計(jì),四 、正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,一 、點(diǎn)估計(jì),點(diǎn)估計(jì)的兩種方法: 矩估計(jì)法、最大似然估計(jì)法,二 、矩估計(jì)法,其基本思想是用樣本矩估計(jì)總體矩。,總結(jié)：任何分布的均值和方差的矩估計(jì)量的表達(dá)式都不變,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,三、最大似然估計(jì)法,求解方法：,（2）取自然對(duì)數(shù),其解 即為參數(shù)的極大似然估計(jì)值。,（3）令,（1）構(gòu)造似然函數(shù),若總體的密度函數(shù)中有多個(gè)參數(shù)1，2，n，則將 第（3）步改為,解方程組即可。,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,四 、無(wú)偏性,定義,結(jié)論：,無(wú)論X 服從什么分布,只要它的數(shù)學(xué)期望存在，,總是,的無(wú)偏估計(jì)量。,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,五、有效性,定義：,都是參數(shù),的無(wú)偏估計(jì)