1、不定積分（習(xí)題課）,不定積分的技巧,直接積分法,換元積分法,分部積分法,特殊類(lèi)型函數(shù),將被積函數(shù)變形后，用基本公式和性質(zhì)求解。,湊微分： = ,變量置換： = ,=,() () , sin , cos , ,直接積分法,計(jì)算,分析：,解：,原式,當(dāng)被積函數(shù)為 () 2 + 2 型，且()為多項(xiàng)式時(shí)，可將其分解為多項(xiàng)式與有理函數(shù)之和。,直接積分法,當(dāng)分解式中含有：,需要熟記的公式,直接積分法,計(jì)算,分析：,解：,原式,三角函數(shù)等式： 1= cos 2 + sin 2 有時(shí)可用于分解函數(shù)。,直接積分法,積分函數(shù)變換中常用的三角函數(shù)公式,換元積分法,常用微分公式（湊微分）,詳見(jiàn)教材 : 150,習(xí)

2、題 講 解（換元積分法）,計(jì)算,分析：,先對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行變換,解：,原式,本題也可令= +2 ，即= 2 2，=2. 使用第二換元積分法。,習(xí) 題 講 解（換元積分法）,計(jì)算,分析：,若將被積函數(shù)視為有理函數(shù)，直接分解，則有,費(fèi)時(shí)費(fèi)力，后面的計(jì)算并不容易。,本題有一定特殊性，技巧：對(duì)分子分母乘以同一函數(shù)。,換元積分法,類(lèi)似習(xí)題,習(xí) 題 講 解,計(jì)算,分析：,若直接將被積函數(shù)展開(kāi)成多項(xiàng)式，會(huì)比較繁瑣。,做變量代換：=1 =1, =.,解：,習(xí) 題 講 解（換元積分法）,計(jì)算,分析：,當(dāng)分母為平方項(xiàng)，分子為兩項(xiàng)之差時(shí)，可考慮將被積 表達(dá)式湊成 () () 的形式。,由,聯(lián)想到,類(lèi) 似 習(xí) 題,另一

3、種解法,原式,前一題是否也可這么做？,類(lèi) 似 習(xí) 題,被積函數(shù)形如,習(xí) 題 講 解,當(dāng)分子分母都是形如 sin + cos 的函數(shù)時(shí)， 可以設(shè)分子為分母與分母的導(dǎo)數(shù)的線(xiàn)性組合。,計(jì)算,分析：,習(xí) 題 講 解,計(jì)算,解：,因此：,比較等式兩邊 sin , cos 的系數(shù),不定積分（三角函數(shù)有理式）,計(jì)算,分析：,令= tan ,第二換元積分法（常用代換）,習(xí) 題 講 解,計(jì)算,解：,令= sec = sec tan ,原式,習(xí) 題 講 解,計(jì)算,解：,令= sin = cos ,原式,方法一,習(xí) 題 講 解,計(jì)算,解：,令+1= 1 = 1 2 ,原式,方法二,習(xí) 題 講 解,計(jì)算,分析：,本題

4、除了用代換=2 sec 外，還可以用代換=2 cosh 。,解：,原式,對(duì)雙曲函數(shù)不熟悉可忽略此方法,習(xí) 題 講 解,計(jì)算,解：,原式,見(jiàn)教材 165,教材有錯(cuò)誤！,習(xí) 題 講 解,計(jì)算,解：,原式,教材 158,分部積分公式（豎式格式）,在豎式格式中，斜線(xiàn)相連的項(xiàng)相乘 (符號(hào)在連線(xiàn)上方)，為分部積分過(guò)程中的已積出項(xiàng)。,最后一行中平線(xiàn)相連的項(xiàng)相乘并求其不定積分(符號(hào)在連線(xiàn)上方) 。,分部積分公式（豎式格式）,多次使用分部積分公式時(shí)的豎式格式, 1 是的原函數(shù)， 2 是 1 的原函數(shù)。 依此類(lèi)推，符號(hào)交替變換（以+始）。,分部積分公式（豎式格式）,計(jì)算,解：,構(gòu)造豎式,原式,原式,分部積分公式（豎式格式）,練 習(xí) 題,*計(jì)算,解：,原式,其中,原式,令= tan = sec 2 ，計(jì)算會(huì)更簡(jiǎn)單。,無(wú)理函數(shù)的積分,*計(jì)算,解：,方法一,原式,令,無(wú)理函數(shù)的積分,*計(jì)算,解：,方法二,令,原式,與前面的答案不同！ 但都是正確的。,無(wú)理函數(shù)的積分,*計(jì)算,解：,方法三,原式,無(wú)理函數(shù)的積分,*計(jì)算,解：,原式,其中,配方法,無(wú)理函數(shù)的積分,求簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的不定積分的一般方法,1. 若被積函數(shù)中含有,整體用變量代換之。,2. 形如,的積分，一般是分成兩個(gè)積分：,一個(gè)是將分子配成 2