1、計算機控制技術(shù)課程講義,1,第四章 線性離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述方法,4.1 Z變換的定義,線性連續(xù)系統(tǒng)VS線性離散系統(tǒng)分析方法,計算機控制技術(shù)課程講義,2,4.1.1 Z變換的定義,設(shè)連續(xù)信號f(t)的拉普拉斯變換為F(S),經(jīng)過采樣開關(guān)后的信號為f*(t)，采樣周期T，則：,對其兩邊進行拉氏變換：,Z變換實質(zhì)上是拉普拉斯變換的一種推廣或變形，又稱為脈沖拉普拉斯變換、離散拉普拉斯變換,計算機控制技術(shù)課程講義,3,關(guān)于Z變換的幾點說明：,1、只有離散信號 f*(t)， 才有 Z 變換。 如下幾種簡述表達的是同一個事實： 離散信號 f*(t) 的 Z 變換 連續(xù)信號 f(t) 的 Z 變換 拉氏變

2、換 F(s) 的 Z 變換 即：F(z) = Z f*(t) = Z f(t) = ZF(s) 2、 F(z) 和 f*(t) 描述離散信號在各個采樣時刻的變化規(guī)律，與非采樣時刻的值無關(guān)。所以同一離散信號及其 Z 變換可以對應(yīng)不同的連續(xù)函數(shù)。 3、和式中各項， f(kt)描述幅值， z 描述時間。,計算機控制技術(shù)課程講義,4,4.1.2典型時間信號的Z變換,例4-1 求單位階躍信號 f(t) = 1(t) 的Z變換 。,例4-2 求指數(shù)函數(shù) f(t) = e-at Z變換 。,計算機控制技術(shù)課程講義,5,常用函數(shù)的Z變換,計算機控制技術(shù)課程講義,6,4.2 Z變換的基本定理,1、線性定理 2、

3、滯后定理（右偏移） 3、超前定理（左偏移） 4、初值定理 5、終值定理 6、復(fù)平移定理 7、卷積定理,計算機控制技術(shù)課程講義,7,1、線性定理,設(shè)：,則：,函數(shù)線性組合的Z變換，等于各函數(shù)Z變換的線性組合。,2、滯后定理,設(shè)在k0時連續(xù)函數(shù)f(k)的值為零，其Z變換為F（Z）則,原函數(shù)在時域中延遲幾個采樣周期，相當(dāng)于在象函數(shù)上乘以z-n,算子z-n的含義可表示時域中時滯環(huán)節(jié)，把脈沖延遲k個周期。,計算機控制技術(shù)課程講義,8,3、超前定理,設(shè)函數(shù)f(kT)的Z變換為F(Z), 若k=0，1，(n-1)時，f（kT）為零，則有：,滯后和超前定理統(tǒng)稱為平移定理，是差分方程Z變換求解的主要依據(jù)，這與用

4、拉氏變換的微分定理解微分方程類似。,4、初值定理,設(shè)函數(shù)f(kT)的Z變換為F(Z), 當(dāng)Z趨向無窮大時，則有：,計算機控制技術(shù)課程講義,9,5、終值定理,設(shè)函數(shù)f(kT)的Z變換為F(Z), 則有：,6、復(fù)平移定理,經(jīng)常用于分析計算機系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差！,計算機控制技術(shù)課程講義,10,7、卷積定理,設(shè)函數(shù)f1(kT)， f2(kT)的Z變換分別為F1(Z), F2(Z),則有：,時間域兩個離散時間序列f1(kT)， f2(kT)的離散卷積和等于Z域的乘積,計算機控制技術(shù)課程講義,11,4.3 Z反變換,已知函數(shù)f(kT)的Z變換F(z)，求離散時間序列f(kT)的過程，稱為Z反變換，記為：,常用

5、求解方法：長除法 、 部分分式法 、 留數(shù)法。,要點：將F（Z）用長除法變化為降冪排列的展開式。,計算機控制技術(shù)課程講義,12,Z反變換為,也即：,例4-5 求,的Z反變換,解：,計算機控制技術(shù)課程講義,13,計算機控制技術(shù)課程講義,14,2.部分分式法（因式分解法，查表法） 步驟：先將變換式寫成,，展開成部分分式，,查Z變換表,兩端乘以Z,計算機控制技術(shù)課程講義,15,例4-6 求,的Z反變換,解：,查Z變換表有：,計算機控制技術(shù)課程講義,16,4.4差分方程,采樣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型用差分方程描述。 差分方程表示出系統(tǒng)離散輸入與離散輸出之間的函數(shù)關(guān)系。 差分方程由輸出序列y(k)，及其移位序列y(k-1)、 y(k-2)、y(k-3)、，以及輸入序列u(k)，及其移位序列 u(k-1)、u(k-2)、u(k-3)、，所構(gòu)成。（ k = 0, 1, 2, ） 序列中 k 即 kT，k = 0T為研究開始時刻， kT 可以理解為當(dāng)前時刻，而(k-1) T為前一采樣時刻。,計算機控制技術(shù)課程講義,17,差