1、從柏拉圖多面體到尤拉公式壹、 柏拉圖多面體“多面體”是日常生活中經(jīng)?？吹降牧Ⅲw，它是被一些平面所包圍的立體，例如粉筆盒、三棱鏡、新光摩天大樓等等，那些包圍多面體的多邊形叫做多面體的面，兩個面相交的線段叫做多面體的棱，棱與棱的交點叫做多面體的頂點。頂點是由三個或三個以上的面交會出來的。例如：右圖中的立體中有5個面，9條棱，6個頂點。所謂“柏拉圖多面體”(Platonic Polyhedra)就是指正多面體，正多面體就是每個頂點處交會著相同數(shù)目全等的正凸多面體且每個立體角相等。正多面體會稱為柏拉圖多面體并不是因為柏拉圖發(fā)現(xiàn)了正多面體，而是因為柏拉圖及其追隨者對它們所作的研究而得名。貳、 柏拉圖多面

2、體有多少個？(1) 要談柏拉圖多面體有幾個之前，先觀察平面上的凸正n邊形，n至少等于3，且每一個內(nèi)角為，而180，因此平面上的正凸n邊形有無限多個。在空間中，柏拉圖多面體是否會有無限多個呢？答案令人很驚訝！不僅不是無限多個，而且只有5個。古人對于這個事實雖不愿相信，卻不得不接受，最后只好搬出“神的旨意”來承認(rèn)這個事實。為何會說是“神的旨意”呢？原來在伽利略(Galiep15641642意大利人)發(fā)明望遠(yuǎn)鏡之前，當(dāng)時天空中人類只觀察到五顆行星，因此這五個正多面體就分別代表那五顆行星，這么的巧合，那一定是“神的旨意”，這樣的想法，甚至影響了天文學(xué)家克卜勒(Kepler 15711630德國人)，他

3、曾試圖去觀察、計算各行星的軌道半徑，周期與五個正多面體對應(yīng)，可惜并未成功。(2) 接下來我們來討論柏拉圖多面體的個數(shù)：我們從一個頂點出發(fā)，因為正多面體的每一個頂點處都是正n邊形內(nèi)角的頂點，我們先從簡單的正多邊形討論起：(1)當(dāng)正多邊形是正三角形時，每一個正三角形的內(nèi)角為60， 若每一個頂點有3個正三角形，則會形成正四面體(Tetrahedon) 若每一個頂點有4個正三角形，則會形成正八面體(Octahedron) 若每一個頂點有5個正三角形，則會形成正二十面體(Icsoahedon) 但是當(dāng)每一個頂點處有6個正三角形時，那么交會在這個頂點的面的角之總和為360，于是這些三角形構(gòu)成一平面或是凹面

4、，故表面是正三角形的柏拉圖多面體只有3種。(2)當(dāng)正多邊形是正方形時，每一個正方形的內(nèi)角為90 若每一個頂點處有3個正方形，則會形成正立方體(Hexahedron)。但是當(dāng)每一個頂點處有4個正方形，那么交會在這個頂點的面的角之總和為360，于是這些三角形構(gòu)成一平面或是凹面，故表面是正方形的柏拉圖多面體只有1種。(3)當(dāng)正多邊形是正五邊形時，每一個正五邊形的內(nèi)角為108若每一個頂點處有3個正五邊形，則會形成正十二面體(Dodecahedron)。但是當(dāng)每一個頂點處有4個正五邊形，那么交會在這個頂點的面的角之總和為360，于是這些三角形構(gòu)成一平面或是凹面，故表面是正五邊形的柏拉圖多面體只有1種。(

5、4)當(dāng)正多邊形是正六邊形時，假如3個正六邊形交會在一頂點處，那么這些面的角之總和=360，于是構(gòu)成一個平面。從此處亦可看出多邊形的面數(shù)愈多，它們的內(nèi)角愈大，多于六邊的正多邊形其三個內(nèi)角之總和將超過360，于是，無法將它們連接在一起而構(gòu)成一正的凸多面體。我們將上面的討論整理如下：設(shè)正多面體的所有面都是正n邊形，每一個頂點的棱數(shù)都是m，換句話說，每個頂點的角都是m個角的頂點。 因為正n邊形的每個內(nèi)角=，就每個頂點而言，因為它是m個角的頂點，所以在每個頂點的所有角度和=m因為正多面體是凸多面體，所以在每一個頂點的所有角度和360，所以m360m(n-2)2n m (m,n都是不小于3的正整數(shù))解這個

6、不等式當(dāng)n=3時，m6，得m=3,4,5；當(dāng)n=4時，m4，得m=3；當(dāng)n=5時，m，得m=3；當(dāng)n6時，m3，得此時m,n無解。因此，我們只能得到五個關(guān)于m,n的解：n33345m34533名稱正四面體正八面體正二十面體正六面體正十二面體參、 尤拉公式-多面體的面數(shù)、棱數(shù)、頂點間的關(guān)系(1)幾個立體的面數(shù)、棱數(shù)、頂點 數(shù)一數(shù)柏拉圖多面體的面數(shù)、棱數(shù)、頂點，結(jié)果如下表所示： 正多面體頂點數(shù)(V)面數(shù)(F)棱數(shù)(E)正四面體446正六面體8612正八面體6812正十二面體201230正二十面體122030頂點數(shù)(V)、面數(shù)(F)、棱數(shù)(E)之間有何關(guān)系呢？光看上面的表或許無法歸納出來，我們再多看

7、幾個立體：立體頂點數(shù)(V)面數(shù)(F)棱數(shù)(E)三角柱659五角柱10715五角錐6610塔頂體9916截角立方體10715(2)幾個找規(guī)律的想法：(a)V是否隨F增大呢？(b)F和V是否為一致地隨著E的增大而增大呢？(c)F+V是否隨著E的增大而增大呢？(d)F+V=E+2成立嗎？經(jīng)過前面幾個方向的推測，上述的立體都有面數(shù)+頂點數(shù)=棱數(shù)+2的規(guī)則雖然上述的10個立體都符合F+V=E+2這個規(guī)則，但我們需要更多的事實來支持我們的猜想。(3)更多的證據(jù)： 證據(jù)一：讓我們考慮兩類立體有n個側(cè)面的柱體、有n個側(cè)面的錐體：假如一個柱體有n個側(cè)面，則F=n+2，V=2n，E=3n假如一個錐體有n個側(cè)面，則

8、F=n+1，V=n+1，E=2n因此這兩類的立體亦滿足F+V=E+2這個例子。 證據(jù)二、在觀察上述10個立體中曾提及的類似屋頂?shù)摹八旙w”，我們?nèi)∪魏味嗝骟w代替立方體，在這個多面體的任一各面在上放一個“屋頂”。假如原來的多面體有F個面、V個頂點、E條邊，且假定所選的面有n個邊。我們在上面放上一個有n個側(cè)面的錐體，從而得到一個新的立體(“塔頂體”)，我們來看看新的立體的面數(shù)、頂點數(shù)、棱數(shù)。新的立體面數(shù)=F-1+V，頂點數(shù)=V+1，棱數(shù)=E+n于是我們可得(新的立體面數(shù))+(新的立體點數(shù))-(新的立體棱數(shù))+2=F+V-E-2若原來的立體滿足F+V=E+2則(新的立體面數(shù))+(新的立體點數(shù))=(新

9、的立體棱數(shù))+2這個結(jié)果告訴我們，如果我們原先的猜測是真的，那么在這個立體的一個面加上一個“屋頂”，這個式子還是會成立。亦是我們的猜想經(jīng)得起加“屋頂”這個考驗。問題： 如果將任一個多面體截去任意一個頂點，形成一個新的多面體，假如原來的多面體有F張面、V個頂點、E條邊，新的立體有F/張面、V/個頂點、E/條邊，你能檢驗F/+V/=E/+2是否成立嗎？(3)尤拉公式 從前面的討論，可知有很多種類型的立體都滿足V-E+F=2，其實早在200多年前(公元1750年)瑞士數(shù)學(xué)家尤拉就發(fā)現(xiàn)了這個關(guān)系，因此我們把它稱為尤拉公式。以四面體ABCD為例來體驗這個公式：設(shè)四面體的頂點數(shù)V、棱數(shù)E、面數(shù)F，將四面體

10、ABCD投影到一個平面上，如下圖所示：A的投影點為A/，所以、分別是、的投影線段，底面BCD之外的三面ABC、ACD、ABD分別投影到A/BC、A/CD、A/BD，經(jīng)過投影可以把立體變成平面圖形，那么計算點、線、面的數(shù)目時，會比較容易處理。假設(shè)平面圖形上頂點、棱及面的數(shù)目分別以V/、E/、F/表示，顯然的頂點及棱的數(shù)目并不會頭影而改變，所以V=V/ E=E/但是計算面的時候，我們只計算小三角形A/BC、A/CD、A/BD，而外圍的大三角形BCD卻不計在內(nèi)，可知F/=F-1因此，對于四面體證明公式V-E+F=2就相當(dāng)于對它在平面上的投影圖形證明公式V/-E/+F/=1.()底下來證明()式：首先

11、將棱去掉，同時A/BC也去掉了，如下圖所示計算右上圖的頂點、棱、面數(shù)時，會發(fā)現(xiàn)：棱固然減少一個，但是面數(shù)也相對減少一個，所以V/-E/+F/這個數(shù)不會改變。這也就是說，當(dāng)我們?nèi)サ敉鈬囊粭l棱之后，圖形有所改變，可是V/-E/+F/這個數(shù)卻不會改變。因此我們繼續(xù)把外圍的棱、去掉，如下圖所示顯然上面得三個圖形V/-E/+F/這個數(shù)不會改變，我們可以繼續(xù)簡化圖形，將B點去掉，同時也將去掉，此時頂點數(shù)目少一個，但是棱數(shù)也同時少了一個，所以對V/-E/+F/這個數(shù)沒有影響。換句話說，當(dāng)去掉外圍一個頂點及其相連的棱時，圖形沒有改變，可是V/-E/+F/這個數(shù)不會改變。所以我們繼續(xù)將頂點C,D去掉如下圖所示

12、：最后，圖形只剩下一個點A/，顯然不用計算，一看便知V/-E/+F/ =1。以上我們用四面體為例說明尤拉公式的驗證方法，其余立體都可依循同樣的方法得到尤拉公式。問題：可否將在四面體中驗證尤拉公式的方法，同樣在六面體中驗證？問題：如果從尤拉公式出發(fā)，如何證明正多面體只有5種？(4)正多面體的內(nèi)切球半徑、外接球半徑與其他的性質(zhì)我們知道正多面體共有五種：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。透過尤拉公式V-E+F=2，可以得知各多面體的頂點(V)、棱(E)、面(F)的個數(shù)，接下來討論正多面體各個面之夾角、內(nèi)切球、外接球半徑。例題1 給定一個正四面體的邊長為a，求其外接球半徑R、內(nèi)切球

13、半徑r，表面積S，體積V及相鄰兩個面的夾角f。Ans：R=，r= ，S=a2，V=，f=2tan-1(=cos-1)(練習(xí)1) 給定一個正六面體的邊長為a，求其外接球半徑、內(nèi)切球半徑r，表面積S，體積V及相鄰兩個面的夾角f。例題2 給定一個正八面體的邊長為a，求其外接球半徑R、內(nèi)切球半徑r，表面積S，體積V及相鄰兩個面的夾角f。Ans：R=a，r=a，S=2a2，V=a3， f=2tan-1(=cos-1)(練習(xí)2) (a)觀察正四面體與正八面體相鄰兩個面的夾角，它們之間有什么關(guān)系？(b)取一個正四面體及正八面體，兩立體的面全等，將兩個立體的一面密合貼 在一起，得一個新的立體，請判斷這個新立體是幾面體？(練習(xí)3) 給定一個正四面體，若以它的六條棱的中點為頂點，會形成一個什么樣的多面體？例題3 給定一個正十二