1、1,第七章 非線性控制系統(tǒng),7.1 引言,2,7.1.1 非線性系統(tǒng),非線性系統(tǒng),另外，,控制系統(tǒng)中若含有非線性環(huán)節(jié)，,非線性系統(tǒng)一般不滿足疊加原理。,3,7.1.2 非線性系統(tǒng)的特點(diǎn),1,多平衡點(diǎn)與系統(tǒng)的穩(wěn)定性,在線性系統(tǒng)中，,而與初始條件無關(guān)。,而非線性系統(tǒng)的情況要復(fù)雜得多，,4,例7-1,研究一階非線性系統(tǒng),其初始條件為,5,6,結(jié)論,還與初始條件有關(guān)。,穩(wěn)定性也可能與其輸入有關(guān)。,7,例7-2,研究非線性系統(tǒng),當(dāng)輸入 時(shí)，,當(dāng)輸入 時(shí)，,8,2,極限環(huán)（limit cycles）,在非線性系統(tǒng)中，,往往有這樣的現(xiàn)象：,叫做極限環(huán)或自激振蕩。,極限環(huán)是非線性系統(tǒng)特有的一種重要現(xiàn)象，,在工

2、程實(shí)踐中經(jīng)常會(huì)遇到。,9,例7-3,研究Van der Pol方程,其中 、 、 為正常數(shù)，,或者說描述一個(gè)含有非線性電阻的RLC電網(wǎng)絡(luò)。,10,Van der Pol方程的物理背景,11,當(dāng)輸入為零時(shí),12,13,無阻尼的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,其極點(diǎn)位于復(fù)平面的虛軸上，,這是臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。,在一定的初始條件下，,系統(tǒng)的輸出為,系統(tǒng)的輸出也是一種等幅振蕩。,14,臨界穩(wěn)定線性系統(tǒng) 的等幅振蕩輸出,非線性系統(tǒng)的 等幅振蕩極限環(huán),15,不同點(diǎn),極限環(huán)自激振蕩的幅值與初始條件無關(guān)；,臨界穩(wěn)定線性系統(tǒng)對(duì)于參數(shù)的變化十分敏感，,參數(shù)的微小變化可能導(dǎo)致收斂或不收斂；,而非線性系統(tǒng)的極限環(huán)不易受參數(shù)變

3、化的影響。,16,3,非線性控制系統(tǒng)的頻率響應(yīng),17,4,非線性控制系統(tǒng)的其他特性,跳躍共振,次諧波振蕩,異步抑制,分形現(xiàn)象,混沌現(xiàn)象,18,7.1.3 非線性系統(tǒng)的分析方法,1,線性近似方法,2,分段線性化方法,3,相平面方法,4,描述函數(shù)法,5,李雅普諾夫直接法,經(jīng) 典 方 法,19,較為現(xiàn)代的方法,1,逆系統(tǒng)方法（或稱為動(dòng)態(tài)逆方法）,2,自適應(yīng)控制方法,3,變結(jié)構(gòu)控制方法,4,微分幾何方法,5,微分代數(shù)方法,6,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法,20,7.2 控制系統(tǒng)中的典型非線性特性,典型非線性的共同特點(diǎn),不能應(yīng)用小偏差線性化方法將其線性化，,一般稱這類非線性特性為本質(zhì)非線性。,非線性特性是靜態(tài)的、定常的

4、，,不涉及動(dòng)態(tài)特性，,即不涉及微分關(guān)系。,21,7.2.1 飽和特性,22,7.2.2 死區(qū)特性,23,7.2.3 間隙特性,24,7.2.4 繼電器特性,25,繼電器吸上電壓,繼電器釋放電壓,繼電器飽和輸出,26,若 ，,則繼電器的吸上電壓與釋放電壓均為零，,稱為理想繼電器特性，如圖：,27,若 ，,則繼電器的吸上電壓與釋放電壓相等，,稱為含死區(qū)無滯環(huán)繼電器特性，如圖：,28,若 ，,稱為僅含有滯環(huán)的繼電器特性，如圖：,29,7.2.5 變?cè)鲆嫣匦?30,龐卡萊于1885年提出相平面分析法。,相平面分析法的優(yōu)點(diǎn)：,不但適用于平滑非線性，而且適用于本質(zhì)非線性；,可以反映初始條件對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡的

5、影響；,無需求解非線性微分方程，用圖解法即可分析。,31,相平面分析法的缺點(diǎn)：,相平面分析法不適用于三階以上的系統(tǒng)。,32,7.3.1 相平面方法的基本概念,設(shè)二階系統(tǒng)由下述微分方程描述：,其解 及 均為時(shí)間 的函數(shù)，,即：,消去參數(shù) ，,在 - 平面內(nèi)所畫出的軌跡，,33,例7-4,研究一個(gè)彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)的微分方程：,34,7.3.2 相軌跡的性質(zhì),相軌跡的斜率,設(shè)二階系統(tǒng)由下述微分方程描述：,即：,35,上式兩邊同除以 得：,這就是相軌跡上點(diǎn) 處的斜率。,稱為斜率方程,36,相軌跡的對(duì)稱性條件,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的曲線，其對(duì)稱點(diǎn)的斜率相等。,37,38,相軌跡的奇點(diǎn),則其斜率可唯一確定，,相軌跡

6、不可能在該點(diǎn)處相交。,39,即 型，,則其斜率不確定，,這樣的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)。,奇點(diǎn)實(shí)際上是系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。,一般來說，線性系統(tǒng)只有一個(gè)奇點(diǎn)；,一般來說，非線性系統(tǒng)有多個(gè)奇點(diǎn)。,40,例7-5,給定一個(gè)非線性二階系統(tǒng),求它在相平面內(nèi)的奇點(diǎn)。,41,相軌跡通過 軸處的斜率,42,相軌跡的運(yùn)動(dòng)方向,在相平面的上半平面，,，,在相平面的下半平面，,，,43,7.3.3 相平面圖的繪制,解析法,所謂解析法就是求得相軌跡方程,有兩種方法,求取相軌跡方程。,44,例7-6,設(shè)系統(tǒng)的微分方程為 ，,初始條件為 ， 。,45,然后再從這兩個(gè)關(guān)系式中消去變量 ，,得到相軌跡方程。,繼續(xù)分析上一個(gè)例子。,46,47,等傾線法,等傾線法的優(yōu)點(diǎn)是不必求解微分方程，,也適合于分析線性系統(tǒng)。,