1、第一章 命題邏輯1.2邏輯聯(lián)結(jié)詞,在命題邏輯中,主要研究的是復(fù)合命題,而復(fù)合命題是由原子命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞組合而成,聯(lián)結(jié)詞是復(fù)合命題的重要組成部分.,1.2.1 否定聯(lián)結(jié)詞 定義1.2.1 設(shè)P為一命題， P的否定是一個(gè)新的 復(fù)合命題, 稱為P的否定式，記作 “P”讀作“非 P”. 符號(hào)“ ” 稱為否定聯(lián)結(jié)詞。 P為真當(dāng)且 僅當(dāng)P為假. 說明： “”屬于一元運(yùn)算符.,例1. P: 天津是一個(gè)城市. Q: 3是偶數(shù). 于是: P: 天津不是一個(gè)城市. Q: 3不是偶數(shù).,“”的定義也可用下表來說明. 聯(lián)結(jié)詞“”的定義真值表,1.2.2 合取聯(lián)結(jié)詞(二元運(yùn)算符) 定義1.2.2 設(shè)P,Q為二命題，復(fù)

2、合命題“P并且Q” （或“P與Q”）稱為P與Q的合取式，記作 PQ，符號(hào)“” 稱為合取聯(lián)結(jié)詞. PQ為真 當(dāng)且僅當(dāng)P和Q同時(shí)為真.,聯(lián)結(jié)詞“”的定義真值表,說明 自然語(yǔ)言中的表示“并且”意思的聯(lián)結(jié)詞，如 “既又”、 “不但而且”、 “雖然但是”、 “一面一面”、 “和”、 “與” 等都可以 符號(hào)化為 。,例2. 將下列命題符號(hào)化. (1) 李平既聰明又用功. (2) 李平雖然聰明, 但不用功. (3) 李平不但聰明,而且用功. (4) 李平不是不聰明,而是不用功. 解: 設(shè) P:李平聰明. Q:李平用功. 則 (1) PQ (2) PQ (3) PQ (4) (P)Q,注意：不要見到“與”或“

3、和”就使用聯(lián)結(jié)詞！ 例如: (1)李敏和李華是姐妹。 (2)李敏和張華是朋友。,例3. 試生成下列命題的合取. (1) P: 我們?cè)?08教室. Q: 今天是星期二. (2) S：李平在吃飯. R：張明在吃飯. 解: (1) PQ :我們?cè)?08教室，且今天是星期二. (2) SR:李平與張明在吃飯.,1.2.3 析取聯(lián)結(jié)詞(二元運(yùn)算符) 定義1.2.3 設(shè)P, Q為二命題，復(fù)合命題“P或Q” 稱為P與Q的析取式，記作PQ ，符號(hào)稱為 析取聯(lián)結(jié)詞. PQ為真當(dāng)且僅當(dāng) P與Q中至少有 一個(gè)為真.,聯(lián)結(jié)詞“”的定義真值表,說明 由析取聯(lián)結(jié)詞的定義可以看出， “”與漢 語(yǔ)中的聯(lián)結(jié)詞“或”意義相近，但

4、又不完全相同。 在現(xiàn)代漢語(yǔ)中，聯(lián)結(jié)詞的“或”實(shí)際上有“可兼或” 和“排斥或”之分。,考察下面命題： （1）小王愛打球或愛跑步。（可兼或） 設(shè)P ：小王愛打球。 Q：小王愛跑步。 則上述命題可符號(hào)化為： PQ （2）林芳學(xué)過英語(yǔ)或法語(yǔ)。 （可兼或） 設(shè)P：林芳學(xué)過英語(yǔ)。 Q：林芳學(xué)過法語(yǔ)。 則上述命題可符號(hào)化為： PQ,（3）派小王或小李中的一人去開會(huì)。（排斥或） 設(shè)P：派小王去開會(huì)。Q：派小李去開會(huì)。 則上述命題可符號(hào)化為：(PQ)(PQ) （4）人固有一死，或重于泰山或輕于鴻毛. (排斥或） （5）ab=0, 即a=0 或 b=0. （可兼或） 由此可見, “PQ”表示的是“可兼或”.,1.

5、2.4. 條件聯(lián)結(jié)詞(蘊(yùn)涵聯(lián)結(jié)詞二元運(yùn)算符) 定義1.2.4 設(shè)P, Q為二命題，復(fù)合命題“如果P 則Q (若P則Q)” 稱為P與Q的條件命題,記作 P Q. PQ為假當(dāng)且僅當(dāng)P為真且Q為假.稱符 號(hào)“”為條件聯(lián)結(jié)詞。并稱P為前件，Q為后 件.,聯(lián)結(jié)詞“”的定義真值表,注： PQ表示的基本邏輯關(guān)系是,Q是P的必要條件或P是Q的充分條件. 因此復(fù)合命題“只要P就Q”、“因?yàn)镻，所以Q”、“P僅當(dāng)Q”、“只有Q才P”等都可以符號(hào)化為PQ 的形式。,例4. 將下列命題符號(hào)化。 （1）天不下雨，則草木枯黃。 P：天下雨。 Q：草木枯黃。 則原命題可表示為： PQ。 （2）如果小明學(xué)日語(yǔ)，小華學(xué)英語(yǔ)，則

6、小芳 學(xué)德語(yǔ)。 P：小明學(xué)日語(yǔ). Q：小華學(xué)英語(yǔ). R：小芳學(xué)德語(yǔ). 則原命題可表示為：(PQ)R,（3）只要不下雨，我就騎自行車上班。 P：天下雨。Q：我騎自行車上班。 則原命題可表示為： PQ。 （4）只有不下雨，我才騎自行車上班。 P：天下雨。Q：我騎自行車上班。 則原命題可表示為： Q P 。,（5）如果 2+2=4, 則太陽(yáng)從東方升起。 (PQ, T) P Q 如果 2+2=4, 則太陽(yáng)從西方升起。 (PR, F) R 如果 2+24, 則太陽(yáng)從東方升起。 (PQ , T) 如果 2+2 4, 則太陽(yáng)從西方升起。 (PR, T),注意: (1)與自然語(yǔ)言的不同：前件與后件可以沒有任何

7、內(nèi)在聯(lián)系！ (2) 在數(shù)學(xué)中，“若P則Q”往往表示前件P為真， 則后件Q為真的推理關(guān)系. 但數(shù)理邏輯中，當(dāng)前 件P為假時(shí)， PQ的真值為真。,1.2.5 雙條件聯(lián)結(jié)詞(等值聯(lián)結(jié)詞二元運(yùn)算符) 定義1.2.5 設(shè)P, Q為二命題，復(fù)合命題“P當(dāng)且僅 當(dāng)Q” 稱為P與Q的雙條件命題，記作P iff Q或 PQ，符號(hào)稱為雙條件（等值）聯(lián)結(jié)詞。 PQ為真當(dāng)且僅當(dāng)P，Q真值相同。,聯(lián)結(jié)詞“”的定義真值表,注：（1）P僅當(dāng)Q 可譯為PQ P當(dāng)Q 可譯為QP P當(dāng)且僅當(dāng)Q 譯為PQ (2) 雙條件命題PQ所表達(dá)的邏輯關(guān)系是, P與Q互為充分必要條件,相當(dāng)于(PQ)(QP). 只要P與Q的真值同為1或同為0, PQ的真值就為1, 否則PQ的真值為0. 雙條件聯(lián)結(jié)詞連接的兩個(gè)命題之間可以沒有因果關(guān)系。,例5.分析下列命題的真值. P： 2+2=4. Q：3是奇數(shù) . 2+2=4 當(dāng)且僅當(dāng)3是奇數(shù) . (PQ) 2+2=4 當(dāng)且僅當(dāng)3不是奇數(shù) . (PQ) (3) 2+24 當(dāng)且僅當(dāng)3是奇數(shù) . ( PQ) (4) 2+24 當(dāng)且僅當(dāng)3不是奇數(shù) . ( PQ),約 定:1. 運(yùn)算次