1、7.4 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理,剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能,由平行軸定理,1,即：剛體繞某定軸的轉(zhuǎn)動動能等于剛體繞質(zhì)心以 角速度 轉(zhuǎn)動的動能與質(zhì)心攜帶總質(zhì)量 m 以質(zhì) 心速度 平動動能之和。,2,力矩的功和功率,力對剛體做的功是各個力對各相應(yīng)質(zhì)元做功的總和。,內(nèi)力、垂直轉(zhuǎn)動平臺的力均不做功。,（一）力矩的功,3,因?yàn)?4,即,（二）力矩的功率,幾個外力對物體做功，則合外力做功之和為,5,剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理,力矩的元功為,所以,合外力矩對剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理,6,剛體的重力勢能,以剛體和地球?yàn)橄到y(tǒng)，取地面為零勢能參考點(diǎn)，剛體的重力勢能 等于各質(zhì)量元重力勢能之合。

2、即,得,7,剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能原理,如果剛體定軸轉(zhuǎn)動中除受外力矩外，還受重力 矩作用，則有,當(dāng)選地球和物體為系統(tǒng)時，且,8,重力場中剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能原理,忽略地球動能的變化，則有,9,重力矩的元功為,推導(dǎo)：重力矩的功,10,例1： 如圖，已知滑輪的質(zhì)量為 M，半徑為 R ，物體的質(zhì)量為 m 彈簧的勁度系數(shù)為 k，斜面的傾角為，物體與斜面間光滑，物體從靜止釋放，釋放時彈簧無形變。設(shè)細(xì)繩不伸長且與滑輪間無相對滑動，忽略軸間摩擦阻力矩。求物體沿斜面下滑 x 米時的速度為多大？（滑輪視作薄圓盤）,解：解法一,選取 m,M,k 和地球?yàn)橄到y(tǒng)，重力和彈性力均為系統(tǒng)保守內(nèi)力，其它外力和非保守內(nèi)力均不做功，

3、系統(tǒng)機(jī)械能守恒。,11,設(shè) m 未釋放時為初態(tài)，此時重力勢能為零。當(dāng)m 下滑 x 后為終態(tài)。,初態(tài)能量：,（滑輪的重力勢能不變）,終態(tài)能量：,12,由機(jī)械能守恒得,由角量和線量的關(guān)系得,聯(lián)立式（1）、（2）、（3）得,13,解法二：選取 m、M、k 為系統(tǒng)，由動能定理,繩子的張力為內(nèi)力。,所以有,即,代入角量、線量關(guān)系并解之得相同結(jié)果。,14,7.5 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律,剛體對定軸的角動量,質(zhì)點(diǎn)：,大?。?方向： 右手螺旋法則,圓周運(yùn)動：,15,剛體：,剛體上各質(zhì)元某一瞬時均以相同的角速度繞該定軸作圓周運(yùn)動。,16,矢量式：,剛體對某定軸的角動量等于剛體對此軸的轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積

4、。,17,剛體的角動量定理,或,沖量矩（角沖量）,18,兩邊積分得,角動量（動量矩）定理,19,剛體的角動量守恒定律（普遍適用）,或,若剛體所受合外力矩為零，則剛體的角動量保持不變。剛體的角動量守恒定律,20,剛體角動量守恒的幾種情況：,21,（對同一轉(zhuǎn)軸）,22,例2: 一個質(zhì)量為 M，半徑為 R 的水平轉(zhuǎn)臺（可看作勻質(zhì)圓盤）可繞通過中心的豎直光滑軸自由轉(zhuǎn)動，一個質(zhì)量為 m 的人站在轉(zhuǎn)臺邊緣。人和轉(zhuǎn)臺最初相對地面靜止。求當(dāng)人在轉(zhuǎn)臺上沿邊緣走一周時，人和轉(zhuǎn)臺相對地面各轉(zhuǎn)過的角度為多少？,即,23,標(biāo)量式,即,令,代入（1）式得,兩邊乘dt 并積分,得,24,當(dāng)人在盤上走完一周時，應(yīng)有,聯(lián)立（2

5、）、（3）式，得,25,例3：均質(zhì)桿的質(zhì)量為m，長為l，一端為光滑的支點(diǎn)。 最初處于水平位置，釋放后桿向下擺動如圖所示。,(2) 桿在鉛垂位置時，桿對支點(diǎn)的作用力。,求： (1) 桿在鉛垂位置時，桿下端的線速度 ；,解： (1) 桿在下擺過程中，只有桿重力做功，機(jī)械能,守恒，則有：,26,(2) 求支點(diǎn)受力。分析桿的受力情況如圖所示。,根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動定理有：,選取如圖所示的自然坐標(biāo)系，得到分量表達(dá)式：,桿在鉛直位置時,不受力矩作用，則角加速度為0，故,27,例4: 質(zhì)量為 m，半徑 r ,高為 h=r 的圓柱體可繞軸線轉(zhuǎn)動。在圓柱側(cè)面上開有與水平成 的螺旋槽，有一質(zhì)量也為 m 的小球放在槽內(nèi)，開始時小球由靜止從圓柱頂端受重力作用滑下，圓柱體同時發(fā)生轉(zhuǎn)動。設(shè)摩擦均不計(jì)，求當(dāng)小球落到柱底面處時，小球相對圓柱體的速度和圓柱體的角速度各為多少？,