1、最新資料推薦中考?jí)狠S題突破：幾何最值問(wèn)題大全（將軍飲馬、造橋選址、胡不歸、阿波羅尼斯圓等）一、基本圖形所有問(wèn)題的老祖宗只有兩個(gè)： 定點(diǎn)到定點(diǎn) ：兩點(diǎn)之間， 線段最短； 定點(diǎn)到定線 ：點(diǎn)線之間，垂線段最短。由此派生： 定點(diǎn)到定點(diǎn) ：三角形兩邊之和大于第三邊； 定線到定線 ：平行線之間，垂線段最短； 定點(diǎn)到定圓 ：點(diǎn)圓之間，點(diǎn)心線截距最短（長(zhǎng)）； 定線到定圓 ：線圓之間，心垂線截距最短； 定圓到定圓 ：圓圓之間，連心線截距最短（長(zhǎng)）。余不贅述，下面僅舉一例證明： 定點(diǎn)到定圓 ：點(diǎn)圓之間，點(diǎn)心線截距最短（長(zhǎng)）。已知 O 半徑為 r ， AO=d， P 是 O上一點(diǎn)，求AP 的最大值和最小值。證明：由

2、“兩點(diǎn)之間，線段最短”得AP AO+PO， AO AP+PO，得d-r AP d+r ，AP 最小時(shí)點(diǎn) P 在 B 處，最大時(shí)點(diǎn) P 在 C 處。即過(guò)圓心和定點(diǎn)的直線截得的線段 AB、 AC 分別最小、最大值。 ( 可用“三角形兩邊之和大于第三邊”，其實(shí)質(zhì)也是由“兩點(diǎn)之間，線段最短”推得）。1最新資料推薦上面幾種是解決相關(guān)問(wèn)題的基本圖形，所有的幾何最值問(wèn)題都是轉(zhuǎn)化成上述基本圖形解決的。二、考試中出現(xiàn)的問(wèn)題都是在基本圖形的基礎(chǔ)上進(jìn)行變式，如圓與線這些圖形不是直接給出，而是以符合一定條件的動(dòng)點(diǎn)的形式確定的；再如過(guò)定點(diǎn)的直線與動(dòng)點(diǎn)所在路徑不相交而需要進(jìn)行變換的。 類型分三種情況： （ 1）直接包含基

3、本圖形；（ 2）動(dòng)點(diǎn)路徑待確定；（ 3）動(dòng)線（定點(diǎn)）位置需變換。（一）直接包含基本圖形例 1. 在 O 中，圓的半徑為6， B=30， AC是 O 的切線，則CD的最小值是。簡(jiǎn)析：由 B=30知弧 AD一定，所以 D 是定點(diǎn)， C 是直線 AC上的動(dòng)點(diǎn)，即為求定點(diǎn) D 到定線 AC的最短路徑，求得當(dāng) CD AC時(shí)最短為 3。（二）動(dòng)點(diǎn)路徑待確定例 2. ，如圖，在 ABC中， ACB=90， AB=5， BC=3， P 是 AB 邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn) B 重合），將 BCP沿 CP所在的直線翻折， 得到 B CP，連接 BA，則 B A 長(zhǎng)度的最小值是。簡(jiǎn)析： A 是定點(diǎn)， B 是動(dòng)點(diǎn)，但題中未

4、明確告知B 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，所以需先確定 B 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑是什么圖形，一般有直線與圓兩類。此題中B 的路徑2最新資料推薦是以C 為圓心， BC 為半徑的圓弧，從而轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)到定圓的最短路徑為AC-BC=1 。例 3. 在 ABC中， AB=AC=5， cos ABC=3/5，將 ABC繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到 ABC ，點(diǎn) E 是 BC 上的中點(diǎn)，點(diǎn)F 為線段AB 上的動(dòng)點(diǎn)，在ABC繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)F 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是F ，求線段EF 長(zhǎng)度的最大值與最小值的差。簡(jiǎn)析： E 是定點(diǎn)， F 是動(dòng)點(diǎn)，要確定F 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑。先確定線段AB 的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓環(huán)，外圓半徑為BC，內(nèi)圓半徑為AB 邊上

5、的高， F 是 AB 上任意一點(diǎn)，因此F 的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓環(huán)內(nèi)的任意一點(diǎn)，由此轉(zhuǎn)化為點(diǎn)E 到圓環(huán)的最短和最長(zhǎng)路徑。E 到圓 環(huán)的 最短距離為EF2 =CF2-CE=4.8-3=1.8， E 到圓環(huán)的最 長(zhǎng)距離為EF1=EC+CF1=3+6=9，其差為7.2 。（三）動(dòng)線（定點(diǎn)）位置需變換線段變換的方法：（ 1）等值變換：翻折、平移；（ 2）比例變換：三角、相似。【翻折變換類】典型問(wèn)題：“將軍飲馬”例 4. 如圖， AOB=30，點(diǎn) M、 N 分別是射線OA、 OB上的動(dòng)點(diǎn)， OP平分AOB，且 OP=6，當(dāng) PMN的周長(zhǎng)最小值為。3最新資料推薦簡(jiǎn)析：動(dòng)線段（或定點(diǎn)）應(yīng)居于動(dòng)點(diǎn)軌跡的兩側(cè)，本題的三

6、條動(dòng)線段PM、MN、PN 在 OA、OB的內(nèi)側(cè)。所以本題的關(guān)鍵是把定線段變換到動(dòng)點(diǎn)軌跡的兩側(cè)，從而把三條動(dòng)線段PM、MN、PN 轉(zhuǎn)化為連接兩點(diǎn)之間的路徑。如圖，把點(diǎn) P 分別沿OA、 OB 翻折得P1 、 P2 ， PMN的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為P1M+MN+P2N，這三條線段的和正是連接兩個(gè)定點(diǎn)P1、 P2 之間的路徑，從而轉(zhuǎn)化為求P1 、 P2 兩點(diǎn)之間最短路徑，得PMN的周長(zhǎng)最小值為線段P1 P2 OP 6。例 5. 如圖，在銳角 ABC中， AB=4， BAC=45， BAC的平分線交 BC于點(diǎn) D，M、N分別是 AD和 AB上的動(dòng)點(diǎn)，則 BM+MN的最小值是。簡(jiǎn)析：本題的問(wèn)題也在于動(dòng)線段BM、

7、MN居于動(dòng)點(diǎn)軌跡AD 的同側(cè)，同樣把點(diǎn) N 沿 AD 翻折至 AC 上， BM+MN BM+MN，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)B 到直線AC的最短路徑，即BN AC時(shí)，最小值為22 ?！酒揭谱儞Q類】典型問(wèn)題：“造橋選址”例 6. 如圖， m、 n 是小河兩岸，河寬20 米， A、 B是河旁兩個(gè)村莊，要在河上造一座橋，要使A、 B之間的路徑最短應(yīng)該如何選址（橋須與河岸垂直）？4最新資料推薦簡(jiǎn)析：橋長(zhǎng)為定值，可以想像把河岸m 向下平移與n 重合，同時(shí)把點(diǎn)A 向下平移河寬，此時(shí)轉(zhuǎn)化成n 上的一點(diǎn)到A、B 的路徑之和最短，即轉(zhuǎn)化為定點(diǎn) A 到定點(diǎn)B 的最短路徑。如下圖：思路是把動(dòng)線AM平移至 AM，AN+BN 即轉(zhuǎn)化為

8、求定點(diǎn)A 與定點(diǎn)B 之間的最路徑。本題的關(guān)鍵是定長(zhǎng)線段MN把動(dòng)線段分隔，此時(shí)須通過(guò)平移把動(dòng)線段AN 、 BN變?yōu)檫B續(xù)路徑，也可以把點(diǎn)B 向上平移20 米與點(diǎn) A 連接。例 7. 如圖， CD是直線 y=x 上的一條定長(zhǎng)的動(dòng)線段，且CD=2，點(diǎn) A（ 4，0），連接 AC、AD，設(shè) C 點(diǎn)橫坐標(biāo)為 m，求 m為何值時(shí)， ACD的周長(zhǎng)最小，并求出這個(gè)最小值。解析：兩條動(dòng)線段AC、 AD居于動(dòng)點(diǎn)所在直線的兩側(cè)，不符合基本圖形中定形（點(diǎn)線圓）應(yīng)在動(dòng)點(diǎn)軌跡的兩側(cè)。首先把AC 沿直線CD 翻折至另一側(cè)，如下圖：現(xiàn)在把周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為AC+CD+AD，還需解決一個(gè)問(wèn)題：動(dòng)線段AC 與 AD之間被定長(zhǎng)線段CD阻斷，

9、動(dòng)線段必須轉(zhuǎn)化成連續(xù)的路徑。同上題的道理， 把 AC沿 CD方向平移CD的長(zhǎng)度即可，如下圖。5最新資料推薦現(xiàn)在已經(jīng)轉(zhuǎn)化為AD+AD 的最短路徑問(wèn)題，屬定點(diǎn)到定點(diǎn)，當(dāng)AD與 AD共線時(shí) AD+AD 最短，即為線段AA 的長(zhǎng)。【三角變換類】典型問(wèn)題：“胡不歸”例 8. 如圖， A 地在公路BC旁的沙漠里，A 到 BC的距離AH 2 3， AB 219，在公路 BC 上行進(jìn)的速度是在沙漠里行駛速度的2 倍。某人在B 地工作，A 地家中父親病危，他急著沿直線BA 趕路，誰(shuí)知最終沒能見到父親最后一面，其父離世之時(shí)思念兒子，連連問(wèn)：“胡不歸，胡不歸！”（怎么還不回來(lái)），這真是一個(gè)悲傷的故事，也是因?yàn)椴欢當(dāng)?shù)

10、學(xué)而導(dǎo)致的。那么，從 B 至 A 怎樣行進(jìn)才能最快到達(dá)？簡(jiǎn)析： BP 段行駛速度是AP 段的 2 倍，要求時(shí)間最短即求BP/2+AP 最小，從而考慮BP/2 如何轉(zhuǎn)化，可以構(gòu)造含30 角利用三角函數(shù)關(guān)系把BP/2 轉(zhuǎn)化6最新資料推薦為另一條線段。如下圖，作 CBD=30， PQ BD，得 PQ=1/2BP，由“垂線段最短”知當(dāng) A、 P、 Q 共線時(shí) AP+PQ AQ最小?！鞠嗨谱儞Q類】典型問(wèn)題：“阿氏圓”“阿氏圓”：知平面上兩點(diǎn)A、 B，則所有滿足PA/PB=k 且不等于1 的點(diǎn) P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿氏圓，如下圖所示，其中PO： BO AO： P

11、O PA： PB k 。例 9. 已知 A(-4 ， -4) 、 B(0, 4)、 C(0, -6)、 D(0, -1)， AB 與 x 軸交于點(diǎn)E，以點(diǎn) E 為圓心，ED長(zhǎng)為半徑作圓， 點(diǎn) M為 E 上一動(dòng)點(diǎn)，求 1/2AM+CM的最小值。7最新資料推薦簡(jiǎn)析：本題的主要問(wèn)題在于如何轉(zhuǎn)化1/2AM，注意到由條件知在M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中， EM： AE 1： 2 保持不變，從而想到構(gòu)造相似三角形，使之與AEM的相似比為1： 2，這樣便可實(shí)現(xiàn)1/2AM 的轉(zhuǎn)化，如下圖取EN： EM 1： 2，即可得 EMN EAM，再得MN=1/2AM，顯然， MN+CM的最小值就是定點(diǎn)N、C 之間的最短路徑。之后便是常規(guī)方法先求N 點(diǎn)坐標(biāo)，再求CN的長(zhǎng)?！窘夥ù笠唤y(tǒng)】萬(wàn)法歸宗：路徑成最短，折線到直線。（所求路徑在一般情況下是若干折線的組合，這些折線在同一直線上時(shí)即為最短路徑）基本圖形：動(dòng)點(diǎn)有軌跡，動(dòng)線居兩邊。8最新資料推薦（動(dòng)點(diǎn)軌跡可以是線或圓，動(dòng)線指動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)或定線、定圓的連線，動(dòng)線與折線同指）核心方法：同側(cè)變異側(cè)，分散化連