1、第二講 命題及其關(guān)系充分條件與必要條件,回歸課本,1.命題 (1)一般地,我們把用語言符號(hào)或式子表達(dá)的,可以判斷真假的陳述句叫命題,其中判斷為真的語句叫真命題,判斷為假的語句叫假命題. (2)“若p則q”是數(shù)學(xué)中常見的命題形式,其中p叫做命題的條件,q叫做命題的結(jié)論.,(3)若原命題為“若p則q”,則它的逆命題為若q則p,它的否命題為若p則 q,它的逆否命題為若 q則 p. (4)互為逆否的命題是等價(jià)的,它們同真同假,在同一個(gè)命題的四種命題中,真命題的個(gè)數(shù)可能為024個(gè).,(5)否命題與命題的否定的區(qū)別: 首先,只有“若p則q”形式的命題才有否命題,其形式為“若p則q.”其他形式的命題只有“否

2、定”,而沒有否命題,其次,命題的否定與原命題一真一假,而“若p則q”形式的命題的否命題與原命題的真假可能相同也可能相反.,2.充要條件 (1)“若p則q”為真命題是指由p通過推理可以得出q,這時(shí)我們就說由p可以推出q,記作pq,并說p是q的充分條件,q是p的必要條件. (2)若既有pq又由qp,則p是q的充分必要條件,記作pq. (3)從集合的角度認(rèn)識(shí)充分條件必要條件.,設(shè)AB為兩個(gè)集合,A=x|p(x),B=x|q(x) 則若AB,則p是q的充分條件,q是p的必要條件; 若B A,則p是q的必要條件; 若A=B,則p是q的充要條件.,3.反證法證明命題的一般步驟 (1)否定結(jié)論,(2)從假設(shè)

3、出發(fā),經(jīng)過推理論證得出矛盾,(3)斷定假設(shè)錯(cuò)誤,肯定結(jié)論成立. 反證法屬于間接證法,當(dāng)證明一個(gè)結(jié)論成立,已知條件較少,或結(jié)論的情況較多,或結(jié)論是以否定形式出現(xiàn),如某些結(jié)論中含有“至多”“至少”“惟一”“不可能”“不都”等指示性詞語時(shí)往往考慮采用反證法證明結(jié)論成立.,考點(diǎn)陪練,答案:B,2.“m2”是“方程x2-mx+m+3=0的兩根都大于1”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.不充分不必要條件,(2)m2時(shí),取m=3,此時(shí)方程為x2-3x+6=0無實(shí)根,即m2不能推出x11且x21. 由(1)(2)知m2是方程的兩根都大于1的必要不充分條件. 答案:B,3.(2

4、010陜西)對(duì)于數(shù)列an,“an+1|an|(n=1,2,)”是“an為遞增數(shù)列”的( ) A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,解析:因?yàn)閍n+1|an|an+1anan為遞增數(shù)列,但an為遞增數(shù)列an+1an推不出an+1|an|,故“an+1|an|(n=1,2,)”是“an為遞增數(shù)列”的充分不必要條件,選B. 答案:B,4.(2010山東)設(shè)an是等比數(shù)列,則“a1a2a3”是“數(shù)列an是遞增數(shù)列”的( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,解析:由題可知,若a10時(shí),解得q1,此時(shí)數(shù)列an

5、是遞增數(shù)列,當(dāng)a10時(shí),解得0q1,此時(shí)數(shù)列an是遞增數(shù)列;反之,若數(shù)列an是遞增數(shù)列,則a1a2a3成立,所以“a1a2a3”是“數(shù)列an是遞增數(shù)列”的充分必要條件,故選C. 答案:C,5.(2010深圳模擬題)若命題p的逆命題是q,命題p的否命題是r,則q是r的( ) A.逆命題 B.否命題 C.逆否命題 D.以上結(jié)論都不對(duì) 解析:設(shè)p為AB,則q為BA,r為AB.q是r的逆否命題. 答案:C,類型一判斷命題及其真假 解題準(zhǔn)備:1.判斷一個(gè)語句是否是命題的依據(jù)是命題的概念. 2.判斷命題的真假,首先分清命題的條件和結(jié)論,直接判斷.如果不易直接判斷,可根據(jù)互為逆否命題的等價(jià)關(guān)系來判斷.,【典

6、例1】 (反例法)有下列四個(gè)命題: (1)“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的逆命題; (2)“若ab,則a2b2”的逆否命題; (3)“若x-3,則x2+x-60”的否命題; (4)“若ab是無理數(shù),則ab是無理數(shù)”的逆命題. 其中真命題的個(gè)數(shù)是( ) A.0 B.1 C.2 D.3,解 (1)逆命題為“若xy互為相反數(shù),則x+y=0”是真命題. (2)原命題為假,其逆否命題為假. (3)否命題為“若x-3,則x2+x-60”,假如x=4-3,但x2+x-6=140,故為假. (4)逆命題“若ab是無理數(shù),則ab也是無理數(shù)”,假如則ab=2是有理數(shù).故為假.,答案 B,反思感悟 判斷一個(gè)命

7、題為假命題,只需舉出一個(gè)反例,無需證明.,類型二四種命題及其關(guān)系 解題準(zhǔn)備:互為逆否關(guān)系的命題是等價(jià)命題:原命題與逆否命題同真同假,逆命題與否命題同真同假.所以:當(dāng)判斷一個(gè)命題的真假有困難時(shí),可以判斷它的逆否命題的真假;原命題逆命題否命題逆否命題這四個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)可能是0個(gè)2個(gè)4個(gè).,【典例2】 分別寫出下列命題的逆命題否命題逆否命題命題的否定,并判斷它們的真假: (1)若q1,則方程x2+2x+q=0有實(shí)根; (2)若xy=0,則x=0或y=0; (3)若x2+y2=0,則x、y全為0.,解 (1)原命題是真命題; 逆命題:若方程x2+2x+q=0有實(shí)根,則q1,為真命題; 否命題:若

8、q1,則方程x2+2x+q=0無實(shí)根,為真命題; 逆否命題:若方程x2+2x+q=0無實(shí)根,則q1,為真命題; 命題的否定:若q1,則方程x2+2x+q=0無實(shí)根,為假命題.,(2)原命題為真命題; 逆命題:若x=0或y=0,則xy=0,是真命題; 否命題:若xy0,則x0且y0,是真命題; 逆否命題:若x0且y0,則xy0,是真命題; 命題的否定:若xy=0,則x0且y0,是假命題.,(3)原命題為真命題. 逆命題:若x、y全為0,則x2+y2=0,為真命題; 否命題:若x2+y20,則x、y不全為0,為真命題; 逆否命題:若x、y不全為0,則x2+y20,為真命題; 命題的否定:若x2+y

9、2=0,則x、y不全為0,是假命題.,反思感悟 (1)注意:“都是”的否定是“不都是”,而不是“都不是”,因?yàn)椤皒、y不都是奇數(shù)”包含“x是奇數(shù)y不是奇數(shù)”“x不是奇數(shù)y是奇數(shù)”“x、y都不是奇數(shù)”三種情況;“x=0或y=0”的否定是“x0且y0”,而不是“x0或y0”,因?yàn)椤皒=0或y=0”包含“x=0且y0”、“x0且y=0”“x=0且y=0”三種情況. (2)要注意區(qū)別“否命題”與“命題的否定”:否命題要對(duì)命題的條件和結(jié)論都否定,而命題的否定僅對(duì)命題的結(jié)論否定.,類型三充分必要條件的判定與證明 解題準(zhǔn)備:判斷一個(gè)命題是另一個(gè)命題的什么條件,關(guān)鍵是利用定義:如果pq,則p叫做q的充分條件,

10、原命題(或逆否命題)成立,命題中的條件是充分的,也可稱q是p的必要條件;如果qp,則p叫做q的必要條件,逆命題(或否命題)成立,命題中的條件為必要的,也可稱q是p的充分條件;如果既有pq,又有qp,記作pq,則p叫做q的充分必要條件,簡稱充要條件,原命題和逆命題(或逆否命題和否命題)都成立,命題中的條件是充要的.,【典例3】 求證方程ax2+2x+1=0有且只有一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根的充要條件是a0或a=1. 思路點(diǎn)撥 首先應(yīng)從充分性和必要性兩個(gè)方面進(jìn)行證明,其次要注意對(duì)參數(shù)a的分類討論.,證明 充分性: 當(dāng)a=0時(shí),方程變?yōu)?x+1=0,其根為x=-,方程只有一負(fù)根. 當(dāng)a=1時(shí),方程為x2+2x+1

11、=0,其根為x=-1. 方程只有一負(fù)根. 當(dāng)a0,方程有兩個(gè)不相等的根,且 ,方程有一正一負(fù)根.,必要性: 若方程ax2+2x+1=0有且僅有一負(fù)根. 當(dāng)a=0時(shí),適合條件. 當(dāng)a0時(shí),方程ax2+2x+1=0有實(shí)根, 則=4-4a0,a1, 當(dāng)a=1時(shí),方程有一負(fù)根x=-1. 若方程有且僅有一負(fù)根, 綜上方程ax2+2x+1=0有且僅有一負(fù)實(shí)數(shù)根的充要條件為a0或a=1.,反思感悟 (1)這類證明問題需要證明充分性和必要性兩個(gè)方面,因此應(yīng)分清條件和結(jié)論,由條件證明結(jié)論成立是充分性,由結(jié)論證明條件成立是必要性,不能將二者混淆;(2)涉及一元二次方程根的問題,主要利用根的判別式進(jìn)行求解,同時(shí)不能

12、忘記對(duì)x2項(xiàng)系數(shù)的分類討論.,探究 是否存在實(shí)數(shù)p,使“4x+p0”的充分條件?如果存在,求出p的取值范圍. 分析 “4x+p0”是結(jié)論,先解出這兩個(gè)不等式,再探求符合條件的p的范圍.,反思感悟 本題用集合的包含關(guān)系去理解更容易解答,注意結(jié)合數(shù)軸確定p的范圍.,錯(cuò)源一判斷充分必要條件時(shí)不注意設(shè)問方式 【典例1】 使不等式2x2-5x-30成立的一個(gè)充分不必要條件是( ) A.x0 B.x2 C.x-1,3,5 D.x-或x3,錯(cuò)解 由2x2-5x-30得x3或x-,當(dāng)x3或x - 時(shí)能推出B選項(xiàng), 但當(dāng)B選項(xiàng)成立時(shí),不一定能推出x3或x - ,所以選B. 剖析 本題錯(cuò)誤在于沒有弄清楚問題的設(shè)問

13、方式,混淆了條件和結(jié)論而導(dǎo)致的.正確的理解是所選選項(xiàng)是2x2-5x-30成立的充分不必要條件.,正解 依題意所選選項(xiàng)能使不等式2x2-5x-30成立,但當(dāng)不等式2x2-5x-30成立時(shí),卻不一定能推出所選選項(xiàng).由于不等式2x2-5x-30的解為:x3或x-,所以應(yīng)選C. 答案 C,錯(cuò)源二四種命題的結(jié)構(gòu)不明致誤 【典例2】 寫出命題“若a,b都是偶數(shù),則a+b是偶數(shù)”的逆命題,否命題,逆否命題,并判斷它們的真假. 剖析 解本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有兩個(gè):一是對(duì)一個(gè)命題的逆命題否命題逆否命題的結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)模糊出錯(cuò);二是在否定一個(gè)結(jié)論時(shí)出錯(cuò),如對(duì)“a,b都是偶數(shù)”的否定應(yīng)該是“a,b不都是偶數(shù)”,而不應(yīng)該是“a

14、,b都是奇數(shù)”.,正解 逆命題:“若a+b是偶數(shù),則a,b都是偶數(shù).”它是假命題; 否命題:“若a,b不都是偶數(shù),則a+b不是偶數(shù).”它是假命題; 逆否命題:“若a+b不是偶數(shù),則a,b不都是偶數(shù).”它是真命題.,評(píng)析四種命題的結(jié)構(gòu)與等價(jià)關(guān)系 如果原命題是“若A,則B”,則這個(gè)命題的逆命題是“若B,則A”,否命題是“若A,則B”,逆否命題是“若B,則A”.這里面有兩組等價(jià)的命題,即“原命題和它的逆否命題等價(jià),否命題與逆命題等價(jià)”.在解答由一個(gè)命題寫出該命題的其他形式的命題時(shí),一定要明確四種命題的結(jié)構(gòu)以及它們之間的等價(jià)關(guān)系.,技法一等價(jià)命題轉(zhuǎn)化法 【典例1】 若p:x+y3,q:x1或y2.則p

15、是q的什么條件? 解 直接判斷原命題“若p,則q”的真假比較難,但它的逆否命題即“若x=1且y=2,則x+y=3”顯然為真,故原命題也為真,即pq. 逆命題的真假較難判斷,但它的等價(jià)命題否命題“若x+y=3,則x=1且y=2”顯然為假,故逆命題也為假,即qp.所以p是q的充分不必要條件.,方法與技巧 當(dāng)所給命題的充要條件不好判定時(shí),可利用四種命題的關(guān)系,對(duì)命題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換.常利用“原命題逆否命題”,“否命題逆命題”.一些否定形式的命題常用這種方法判定.,技法二快速解題(列表法) 【典例2】 有6名歌手進(jìn)入決賽的電視歌曲大獎(jiǎng)賽,組委會(huì)只設(shè)一名特別獎(jiǎng).賽前觀眾A猜:不是1號(hào)就是2號(hào)能獲特別獎(jiǎng);B猜

16、:3號(hào)不可能獲特別獲:C猜:456號(hào)都不可能獲特別獎(jiǎng);D猜;能獲特別獎(jiǎng)的是456號(hào)中的一個(gè),賽后結(jié)果表明,四人中只有一人猜對(duì)了.問:誰猜對(duì)了?幾號(hào)歌手獲特別獎(jiǎng)?,快解 將所猜能獲獎(jiǎng)的記為,不能獲獎(jiǎng)記為,由題意得下表:,從表中可以看出,所猜3號(hào)的結(jié)果只有一人猜對(duì),是C猜對(duì)的,3號(hào)歌手得了特別獎(jiǎng). 解題切入點(diǎn) 可由CD所猜入手.這兩人所猜是對(duì)立的,但D與B不能都對(duì),因此,可以C猜對(duì)為前提進(jìn)行推證. 分析思維過程 可以明顯看出CD所猜是對(duì)立的.若C猜對(duì)了,則BD都沒猜對(duì).再看A,A猜1號(hào)或2號(hào),因?yàn)橹挥幸粋€(gè)猜對(duì),就不可能是1號(hào)或2號(hào),只能是3號(hào).如果是3號(hào)獲特別獎(jiǎng),那么ABD都沒有猜對(duì),只有C猜對(duì)了.,解 將ABCD四人猜的結(jié)果分別記為命題P