1、自動(dòng)化專業(yè)課程設(shè)計(jì)（二）,題目：控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì) 基于狀態(tài)觀測(cè)器的倒立擺系統(tǒng)設(shè)計(jì),1,擺,擺是進(jìn)行控制理論研究的典型實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，可以分為倒立擺和順擺。 由于倒立擺系統(tǒng)的控制策略和雜技運(yùn)動(dòng)員頂桿平衡表演的技巧有異曲同工之處，極富趣味性，而且許多抽象的控制理論概念如系統(tǒng)穩(wěn)定性、可控性和系統(tǒng)抗干擾能力等等，都可以通過倒立擺系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)直觀的表現(xiàn)出來，因此在歐美發(fā)達(dá)國(guó)家的高等院校，它已成為必備的控制理論教學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)備。 學(xué)習(xí)控制理論的學(xué)生通過倒立擺系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證所學(xué)的控制理論和算法，非常的直觀、簡(jiǎn)便，在輕松的實(shí)驗(yàn)中對(duì)所學(xué)課程加深了理解。,2,一級(jí)倒立擺,二級(jí)倒立擺,三級(jí)倒立擺,一級(jí)直線順擺,3,倒立擺不

2、僅僅是一種優(yōu)秀的教學(xué)實(shí)驗(yàn)儀器，同時(shí)也是進(jìn)行控制理論研究的理想實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。 由于倒立擺系統(tǒng)本身所具有的高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性和強(qiáng)耦合特性，許多現(xiàn)代控制理論的研究人員一直將它視為典型的研究對(duì)象，不斷從中發(fā)掘出新的控制策略和控制方法，相關(guān)的科研成果在航天科技和機(jī)器人學(xué)方面獲得了廣闊的應(yīng)用。 二十世紀(jì)九十年代以來，更加復(fù)雜多種形式的倒立擺系統(tǒng)成為控制理論研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)，每年在專業(yè)雜志上都會(huì)有大量的優(yōu)秀論文出現(xiàn)。,4,自動(dòng)化專業(yè)課程設(shè)計(jì)（二）,控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì) 基于狀態(tài)觀測(cè)器的倒立擺系統(tǒng)設(shè)計(jì) 目的和要求：加強(qiáng)學(xué)生對(duì)控制理論及控制系統(tǒng)的理解，提高學(xué)生對(duì)控制系統(tǒng)的綜合及設(shè)計(jì)技能，擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)面

3、，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立分析問題及解決問題的能力，為以后從事實(shí)際控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)工作打下基礎(chǔ)。 要求理論正確，設(shè)計(jì)合理、仿真數(shù)據(jù)準(zhǔn)確。 知識(shí)范圍及與相關(guān)課程：本綜合設(shè)計(jì)涉及的相關(guān)課程主要有自動(dòng)控制原理、現(xiàn)代控制理論、運(yùn)動(dòng)控制、MATLAB語言及應(yīng)用、系統(tǒng)仿真等。,5,設(shè)計(jì)過程,1、建立倒立擺的數(shù)學(xué)模型,動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型（非線性微分方程形式）,狀態(tài)空間表達(dá)式（非線性）,狀態(tài)空間表達(dá)式（線性）,狀態(tài)空間表達(dá)式（線性）,2、倒立擺的狀態(tài)空間分析法設(shè)計(jì),采用狀態(tài)反饋進(jìn)行極點(diǎn)配置,基于全維觀測(cè)器，用狀態(tài)反饋進(jìn)行極點(diǎn)配置,3、基于MATLAB的倒立擺系統(tǒng)仿真設(shè)計(jì)（MATLAB語言程序設(shè)計(jì)和SIMULINK模型建立）,建

4、立倒立擺的開環(huán)仿真模型，觀察輸出曲線,設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋進(jìn)行極點(diǎn)配置，分析曲線,設(shè)計(jì)觀測(cè)器和狀態(tài)反饋進(jìn)行極點(diǎn)配置，分析曲線,4、總結(jié)，寫出設(shè)計(jì)報(bào)告,6,要求和評(píng)分,平時(shí)成績(jī) 60% 書面報(bào)告 40%,出勤 40% 上機(jī)表現(xiàn) 40% 結(jié)果演示 20%,程序設(shè)計(jì) 70% 結(jié)果分析 30%,7,第一部分：相關(guān)的理論基礎(chǔ) 狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測(cè)器,無論在經(jīng)典控制理論還是現(xiàn)代控制理論中，反饋都是系統(tǒng)設(shè)計(jì)的主要方式。由于經(jīng)典控制理論的數(shù)學(xué)模型為傳遞函數(shù)，因此只能由輸出信號(hào)作為反饋量，即為輸出反饋。 現(xiàn)代控制理論是用系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)變量來全面地描述系統(tǒng)，所以常采用狀態(tài)反饋。狀態(tài)反饋能提供更豐富的狀態(tài)信息和可供選擇的自由

5、度，可以使系統(tǒng)容易獲得更為優(yōu)異的性能。采用狀態(tài)反饋不但可以實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)任意配置，還是實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)解耦和構(gòu)成線性最優(yōu)調(diào)節(jié)器的主要手段。,8,第一部分：相關(guān)的理論基礎(chǔ) 狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測(cè)器,一、狀態(tài)反饋,二、極點(diǎn)配置,三、狀態(tài)觀測(cè)器,四、帶狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng),9,一、狀態(tài)反饋 原r維輸入m維輸出的n階系統(tǒng)的狀態(tài)方程： 狀態(tài)反饋的基本結(jié)構(gòu) ： K 維狀態(tài)反饋系數(shù)陣或狀態(tài)反饋增益陣,10,狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 : 若 則 ： 通過狀態(tài)反饋陣的選擇來改變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值，從而獲得系統(tǒng)所要求的性能。 定理：狀態(tài)反饋不改變受控系統(tǒng) 的能控性，但不保證系統(tǒng)的能觀性不變。,11,因此，系統(tǒng)綜

6、合的性能指標(biāo)通常是給定一組期望極點(diǎn)，或者根據(jù)時(shí)域指標(biāo)轉(zhuǎn)換成一組等價(jià)的期望極點(diǎn)。 極點(diǎn)配置問題，就是通過選擇反饋增益矩陣，將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)恰好配置在復(fù)平面上所期望的位置，以獲得所希望的動(dòng)態(tài)性能。,二、極點(diǎn)配置,控制系統(tǒng)的性能主要取決于系統(tǒng)極點(diǎn)在復(fù)平面上的分布。,定理：采用狀態(tài)反饋對(duì)受控系統(tǒng) 任意配置極點(diǎn)的充要條件是原系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。 極點(diǎn)的配置方法： 方法1：變換成能控標(biāo)準(zhǔn)型 方法2：階數(shù)較低的控制對(duì)象，可直接計(jì)算其特征多項(xiàng)式,12,極點(diǎn)的配置方法1：變換成能控標(biāo)準(zhǔn)型 步驟： 1）將原系統(tǒng) 變換成能控標(biāo)準(zhǔn)型 ，變換矩陣為TC,2）對(duì) 加入狀態(tài)反饋增益陣 此時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)特征多項(xiàng)式為,13,3）要

7、使閉環(huán)極點(diǎn)達(dá)到期望極點(diǎn)位置，必須滿足 即： 由等式兩邊同次冪項(xiàng)系數(shù)相等得 狀態(tài)反饋增益陣 4）根據(jù)線性變換前后狀態(tài)反饋控制律的表達(dá)式得：,14,方法2：對(duì)于階數(shù)較低的控制對(duì)象， 可以直接計(jì)算其特征多項(xiàng)式 設(shè)： 系統(tǒng)的閉環(huán)特征多項(xiàng)式為 比較等式兩邊同次冪的系數(shù)即可得到K的各取值。,15,三、狀態(tài)觀測(cè)器 采用狀態(tài)反饋能實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)任意配置，還是實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)解耦和構(gòu)成線性最優(yōu)調(diào)節(jié)器的主要手段。 但系統(tǒng)的狀態(tài)變量并不都是易于直接檢測(cè)得到的，這樣就提出狀態(tài)觀測(cè)或狀態(tài)重構(gòu)的問題，需要尋求一種能產(chǎn)生系統(tǒng)狀態(tài)的方法。,16,狀態(tài)觀測(cè)器的定義 ： 設(shè)系統(tǒng) 的狀態(tài)矢量 x不能直接檢測(cè)。構(gòu)造一個(gè)動(dòng)態(tài)系 統(tǒng) ，以

8、的輸入u和輸出y為其輸入量，能產(chǎn)生一組輸出量 漸進(jìn) 于x，即： ，則稱 為 的狀態(tài)觀測(cè)器。 狀態(tài)觀測(cè)器的存在條件： 為滿足 ，系統(tǒng)必須狀態(tài)完全能觀，或者其不能 觀子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。 狀態(tài)觀測(cè)器的結(jié)構(gòu) ：,狀態(tài)觀測(cè)器的開環(huán)結(jié)構(gòu),17,漸近狀態(tài)觀測(cè)器 ： 狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)方程為： 狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)： 狀態(tài)逼近的速度取決于G的選擇和(A-GC)的配置，通過對(duì)誤差反饋陣G的設(shè)計(jì)，調(diào)節(jié) 漸近于x的速度。,18,四、帶狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng) 閉環(huán)系統(tǒng)的基本特性： 1、閉環(huán)極點(diǎn)設(shè)計(jì)的分離性 2、傳遞函數(shù)矩陣的不變性 3、觀測(cè)器反饋與直接狀態(tài)反饋的等效性,19,第二部分：系統(tǒng)設(shè)計(jì) 基于狀態(tài)觀測(cè)器的倒擺系統(tǒng)

9、設(shè)計(jì),倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的、高度非線性的、不穩(wěn)定的高階系統(tǒng)，是學(xué)習(xí)和研究現(xiàn)代控制理論最合適的實(shí)驗(yàn)裝置。倒立擺的控制是控制理論應(yīng)用的一個(gè)典型范例,一個(gè)穩(wěn)定的倒立擺系統(tǒng)對(duì)于證實(shí)狀態(tài)空間理論的實(shí)用性是非常有用的。迄今人們對(duì)倒立擺的研究已經(jīng)非常深入，我國(guó)已成功地實(shí)現(xiàn)了四級(jí)倒立擺的控制。,在此，我們首先應(yīng)用動(dòng)力學(xué)方程建立一級(jí)倒立擺的非線性數(shù)學(xué)模型；采用小偏差線性化的方法在平衡點(diǎn)附近局部線性化得到線性化的數(shù)學(xué)模型；然后應(yīng)用狀態(tài)空間分析方法，采用狀態(tài)反饋為倒立擺系統(tǒng)建立穩(wěn)定的控制律；最后應(yīng)用狀態(tài)觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。,20,系統(tǒng)建?？梢苑譃閮煞N：機(jī)理建模和實(shí)驗(yàn)建模。 實(shí)驗(yàn)建模就是通過在研究對(duì)象上

10、加上一系列的研究者事先確定的輸入信號(hào)，激勵(lì)研究對(duì)象并通過傳感器檢測(cè)其可觀測(cè)的輸出，應(yīng)用數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系。這里面包括輸入信號(hào)的設(shè)計(jì)選取，輸出信號(hào)的精確檢測(cè)，數(shù)學(xué)算法的研究等等內(nèi)容。 機(jī)理建模就是在了解研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)規(guī)律基礎(chǔ)上，通過物理、化學(xué)的知識(shí)和數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)內(nèi)部的輸入狀態(tài)關(guān)系。,對(duì)于倒立擺系統(tǒng)，由于其本身是自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)建模存在一定的困難。但是經(jīng)過假設(shè)忽略掉一些次要的因素后，倒立擺系統(tǒng)就是一個(gè)典型的運(yùn)動(dòng)的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標(biāo)系內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程關(guān)系。,21,一、一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,系統(tǒng)的組成系統(tǒng)由小 車、小球和輕質(zhì)桿組成。 倒擺通過轉(zhuǎn)動(dòng)

11、關(guān)節(jié)安裝在 驅(qū)動(dòng)小車上，桿子的一端 固定在小車上，另一端可 以自由地左右倒下。通過 對(duì)小車施加一定的外部驅(qū) 動(dòng)力，使倒擺保持一定的 姿勢(shì)。,22,小車質(zhì)量 ； 小球的質(zhì)量 ； 倒擺的桿長(zhǎng) ； 重力加速度 ； 表示倒擺偏離垂直 方向的角度； u 是小車受到的水平方向 的驅(qū)動(dòng)力；,本設(shè)計(jì)中所用到的各變量的取值及其意義：,23,假設(shè)軌道是光滑的，忽 略擺桿的質(zhì)量，系統(tǒng)所受的 外力包括小球受到的重力和 小車水平方向的驅(qū)動(dòng)力 u。 x(t)和(t)分別表示小車的 水平坐標(biāo)和倒擺偏離垂直方 向的角度。,1、運(yùn)動(dòng)分析：,24,通過受力分析，由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)滿足下面的方程： x軸方向：,小球受力

12、分析示意圖，其中 表示小球的重心坐標(biāo),小球的重心坐標(biāo)滿足,整理后得,沿水平方向運(yùn)動(dòng)（直線運(yùn)動(dòng)）,25,小球的力矩平衡方程：,整理可得：,繞軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)（旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)）,26,最后得到倒立擺系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程：,顯然該系統(tǒng)為明顯的非線性系統(tǒng)。但是對(duì)小車施 加驅(qū)動(dòng)力的目的是要保持小球在垂直方向的姿態(tài)，因 此，我們關(guān)注的是小球在垂直方向附近的動(dòng)態(tài)行為變 化，為此將系統(tǒng)在該參考位置(0)附近進(jìn)行線性化 處理。,27,2、模型轉(zhuǎn)化(微分方程狀態(tài)方程),由倒擺系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，,可得到倒擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程：,取如下狀態(tài)變量：,28,3、狀態(tài)方程的線性化：,采用Jacobian 矩陣線性化模型，最終得到系統(tǒng)的線性化狀

13、態(tài)方程為：,假定系統(tǒng)的輸出為倒擺的角度和小車的x軸坐標(biāo)，則系統(tǒng)的輸出方程為：,29,三、狀態(tài)反饋的倒擺系統(tǒng)設(shè)計(jì),1、系統(tǒng)的開環(huán)仿真,30,2、輸出反饋設(shè)計(jì)方法,通過反復(fù)的調(diào)整和研究增益k1、k2對(duì)于系統(tǒng)誤差的敏感性，最終能夠穩(wěn)定系統(tǒng)。然而系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能遠(yuǎn)不能讓人滿意，對(duì)于k1=-50,k2=-2，系統(tǒng)只是臨界穩(wěn)定，它仍在新的參考點(diǎn)附近反復(fù)震蕩。,31,輸出反饋的仿真結(jié)果：,倒擺的角度,小車的位置,32,具體設(shè)計(jì)步驟如下： (1)系統(tǒng)可控性判別。應(yīng)用可控性判別矩陣CM=ctrb(A,B) 判別. (2)閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置。根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，確定閉環(huán)系統(tǒng)期望極點(diǎn)clp。 (3)確定反饋增益。應(yīng)用

14、MATLAB的place函數(shù)Ks=place(A,B,clp),確定反饋增益Ks 。,3、狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)：,33,Simulink結(jié)構(gòu)圖：,34,仿真結(jié)果：,狀態(tài)反饋下狀態(tài)變量的時(shí)間曲線,35,具體設(shè)計(jì)步驟如下： （1）系統(tǒng)的可觀性判別。應(yīng)用可觀性判別矩陣OM=obsv(A,C)判別可觀性。 （2）閉環(huán)極點(diǎn)配置。適當(dāng)選擇觀測(cè)器的極點(diǎn)，使觀測(cè)器的動(dòng)態(tài)速度是系統(tǒng)的兩倍以上，所觀測(cè)器的極點(diǎn)op=2*clp。 （3）指定極點(diǎn)的觀測(cè)器增益G。同樣應(yīng)用place函數(shù)：G=place(A,C,op),G=G。,3、全維狀態(tài)觀測(cè)器下倒擺系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與仿真,36,系統(tǒng)方框圖：,37,線性模型與觀測(cè)器模型狀態(tài)變量的誤差曲線,38,設(shè)計(jì)過程,1、建立倒立擺的數(shù)學(xué)模型,動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型（非線性微分方程形式）,狀態(tài)空間表達(dá)式（非線性）,狀態(tài)空間表達(dá)式（線性）,狀態(tài)空間表達(dá)式（線性）,2、倒立擺的狀態(tài)空間分析法設(shè)計(jì),采用狀態(tài)反饋進(jìn)行極點(diǎn)配置,基于全維觀測(cè)器，用狀態(tài)反饋進(jìn)行極點(diǎn)配置,3、基于MATLAB的倒立擺系統(tǒng)仿真設(shè)計(jì)（MATLAB語言程序設(shè)計(jì)和SIMULINK模型建立）,建立倒立擺的開環(huán)仿真模型，觀察輸出曲線,設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋進(jìn)行極點(diǎn)