1、初中數(shù)學(xué)中的不等式萬家練,世界上沒有兩片完全相同的樹葉，可見，不等是絕對的。 不等式是研究事物之間數(shù)量關(guān)系的重要模型。 幾乎每一個(gè)經(jīng)典的初等不等式都體現(xiàn)著數(shù)學(xué)的美妙，有著很廣泛的應(yīng)用。 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）對不等式的要求降低了，但不等式仍然是初中數(shù)學(xué)重要的內(nèi)容。,初中數(shù)學(xué)中的不等式,代數(shù)不等式 幾何不等式,代數(shù)不等式(初等代數(shù)中不等式的框架）,1、不等式及其基本概念,代數(shù)不等式 超越不等式,2.不等式的性質(zhì),性質(zhì)1 ab bb , bc ac 推論 ab a+cb+c 推論1 a+bc ac-b 推論2 ab , cd a+cb+d,對稱性 傳遞性 可加性 移項(xiàng)法則 加法法則（同向不等式不能相

2、減） 注意雙向箭頭與單向箭頭,性質(zhì)4 (1) ab , c0 acbc (2) ab , cb0 , cd0 acbd 推論2 ab0 an bn (nN , n1),可乘性 乘法法則 乘方法則,性質(zhì)5 ab0 (nN , n1),開方法則,3 不等式的基本問題,解不等式 證明不等式,不等式的解法,各種類型的不等式，解法各不相同，但代數(shù)解法的思路基本相同。都是根據(jù)有關(guān)的定義、性質(zhì)或定理，把不等式同解變形為一元一次或一元二次不等式（組）后再求解。 一元一次不等式的解法 一元二次不等式的解法 簡單的高次不等式的解法 分式不等式的解法 無理不等式的解法 指數(shù)不等式、對數(shù)不等式的解法 含絕對值的不等式

3、的解法,一元一次不等式的解法,一元一次不等式axb和axb(其中a、b都是已知數(shù)）的解集是：,一元二次不等式的解法,設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的兩個(gè)根為x1 x2，（x1 0時(shí)，一元二次不等式的解集是：,簡單的高次不等式的解法,設(shè)一元高次不等式為f（x）0 (或f（x）0),如果f（x）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能分解成若干個(gè)一次因式或不可分的二次因式的積的形式，則采用列表法或數(shù)軸表根法（也叫零點(diǎn)分區(qū)間法）求解較簡便。 用數(shù)軸表根法解高次不等式時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： （1）必須將f（x）的最高次項(xiàng)的系數(shù)化為正數(shù)。 （2） 出現(xiàn)重根時(shí)，偶次重根切不可標(biāo)在數(shù)軸上，但要檢驗(yàn)是否為不等 式的解，奇次

4、重根作單根處理。 （3） 在解含“”或“”號的不等式時(shí)，要注意使等號成立的條件。,分式不等式的解法,解分式不等式一般步驟是： （1）將分式不等式轉(zhuǎn)化為f（x）/g(x)0或f（x）/g(x)0（或0（或0) g(x) 0 f（x）/g(x) 0(或0) f(x) g(x) 0 (或0) （3）解整式不等式（組）,無理不等式的解法,解無理不等式常用兩種方法： （1）把無理不等式轉(zhuǎn)化為與它同解的有理不等式組求解。 同解原理是 f (x) 0 f (x)g (x) g (x) 0 f (x)g (x) f (x) 0 f (x) 0 f (x)g (x) g (x) 0 或 g (x) g(x)2

5、f (x) 0 f (x)g (x) g (x) 0 f (x)g (x)2 （2）圖象法,證明不等式主要技巧是化簡與恒等變形以及放縮,例子講解,例1 求證： x2 +33x,例2 已知 a b 0,求證：a4 + b4 a3b + ab3,常用的重要不等式,（1）若aR，則a20，當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)等號成立 （2）若a，bR，則a2 b2 2ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab等號成立 （3）若a，b R，則（ab）/2ab ，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號成立 （4）若a，b，c R， 則a3 b3 c3 3abc，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號成立 （5）若a，b，c R ，則（abc）/33abc，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號成立 (

6、6)平均值不等式 n個(gè)（ nZ，n1）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于（即大于或等于）它們的 幾何平均數(shù) 即 （a1+a2+an ）/nn a1a2an 當(dāng)且僅當(dāng)a1 a2 an 時(shí)等號成立 (最重要的不等式，不等式理論的基石，50多種證法，很多大數(shù)學(xué)家在這里留下精彩的思想）,當(dāng)且僅當(dāng) (i=1,2,n) 或 存在一個(gè) 數(shù)k使得 (i=1,2,n) 時(shí)等號成立。 以上不等式稱為一般形式的柯西不等式。,證明柯西不等式：,分析：,(8)貝努力（Jac. Bernoulli）不等式 設(shè)x-1則 （1）當(dāng)01時(shí)， (1+x) 1+ x其中等號成立的充要條件為x=0,4 不等式的應(yīng)用,最優(yōu)化思想 一次不等式的應(yīng)用

7、； 二次函數(shù)中的最值。,幾何不等式,幾何量的大小比較（長度、角度、面積、體積等）,一些結(jié)論,定理：連結(jié)A、B兩點(diǎn)的最短線是線段AB. 推論：三角形的兩邊之和大于第三邊. 定理：直角三角形的斜邊長大于直角邊長. 推論:圓中直徑最長. 定理:直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的連線中垂線最短.,如圖,DE是三角形ABC的兩點(diǎn),問 AB+ACBD+DE+CE?,證:延長BD交AC于點(diǎn)F,延長CE交BF于點(diǎn)G. 根據(jù)三角形的三邊 關(guān)系 AB+AFBF GF+FCGC相加得 AB+ACBG+GC 又因?yàn)镈G+GEDE,所以 BG+GCBD+DE+EC 所以AB+ACBD+DE+CE,構(gòu)造三角形 找中間量,如果一個(gè)多

8、邊形恰有三個(gè)內(nèi)角是鈍角,那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)至多是多少?,解:設(shè)滿足題意的多邊形有n條邊. 180(n-2) 3180+(n-3)90 2(n-2)6+n-3 n7,關(guān)鍵:根據(jù)鈍角、銳角的范圍,將內(nèi)角和適當(dāng)放大,A,B,課本原型：（八年級上冊42頁）如圖，要在燃?xì)夤艿繪上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩站供氣。泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？,燃?xì)夤艿繪,基本圖形:兩點(diǎn)一線 基本解法:利用對稱性,這道中考題到底要考學(xué)生什么？,山西省2012年中考數(shù)學(xué)試卷第26題是一道難度較大的題當(dāng)然，作為壓軸題難度稍大點(diǎn)無可厚非，但在何處設(shè)難，到底“為難”學(xué)生什么？確是要細(xì)量和把握準(zhǔn)的問題 原題如

9、圖，在平面直角坐標(biāo)系中， 拋物線 y= -x2+2x+3 與x軸交于A、B點(diǎn)， 與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn). (1)求直線的解析式及、兩點(diǎn)的坐標(biāo). （2） 點(diǎn)P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作直線ll/AC交拋物線于Q點(diǎn)，試探究：隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A、P、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由. （3）請?jiān)谥本€AC上找一點(diǎn)M，使的BDM周長最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo). （2）拋物線上有三個(gè)這樣的點(diǎn)，分別為： ，. （7分） （3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，使，則為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn). 連接交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)為所求. （8分） 過點(diǎn)

10、作軸于點(diǎn). 和都是的余角，. . ， 由（，0），（3，0），（0，3）得 ，. ，. . . . （10分） 由可得， ，即. ，. . 點(diǎn)的坐標(biāo)為. （12分） 設(shè)直線的解析式為. 解得 （13分） 由 解得 點(diǎn)的坐標(biāo)為 （14分） 評議這道題分值為14分?jǐn)⑹龊啙?，題意易明原意在考查一次函數(shù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，相似三角形的判斷與性質(zhì)，平行四邊形的判定，勾股定理，解方程等知識第（1）問是最基本知識，有送分之情；第（2）問難度陡然提升，要求分類討論能力較高，要靠實(shí)力得分：第（3）問有“逗你玩”之嫌，在幾何上找出點(diǎn)容易，但在代數(shù)上求出點(diǎn)坐標(biāo)“算你狠”筆者認(rèn)為，這一問根本就不應(yīng)該設(shè)，其理由是：

11、（）所考的內(nèi)容常出現(xiàn)在以前的初中數(shù)學(xué)競賽中，新課程已淡化了這方面的要求因此，從命題的導(dǎo)向上來看，不利于新課標(biāo)特別是課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）的實(shí)施 （ii）考這樣的內(nèi)容通常用于判別學(xué)生的幾何能力，代數(shù)的計(jì)算就是比較麻煩，更何況解析幾何知識在初中介紹的就少，學(xué)生手中工具匱乏，本來到了高中就變得非常淺顯的基本計(jì)算，非要提前來折磨學(xué)生，不僅要求不合理，還會讓學(xué)生更加厭學(xué)坐標(biāo)（解析幾何）方面的知識也許另種解釋考這樣的內(nèi)容是為了考查能力和體現(xiàn)區(qū)分度的需要,但因考查的是超出初中生計(jì)算能力要求范圍的知識，故也不可取 （iii）題設(shè)的第（2）問難度已不小了，雖然只要求：若存在，請直接寫出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若

12、不存在，請說明理由但直接寫出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)又談何容易！需要學(xué)生熟練地運(yùn)用幾何、二次函數(shù)等知識，更要數(shù)學(xué)思維縝密與完善，稍有不慎想得全分就是奢望也就是說原有的考查目標(biāo)在這一問中就能實(shí)現(xiàn)第（3）問共分，為了這分，不知要讓考場上的多少考生留下遺憾，給今后的學(xué)生帶來多大的壓力，如果這道題后又被選編到各種中考復(fù)習(xí)資料中，而流向全國學(xué)生手中，將不知又給多少學(xué)子帶來恐懼和不安，最后，中考復(fù)習(xí)無限拔高不可避免 （iv）第（3）的標(biāo)準(zhǔn)答案也不科學(xué)，用幾何法找出M點(diǎn)并沒有證明，按課標(biāo)上的觀點(diǎn)，只有課本上的基本事實(shí)、定義、定理才能作為證明的依據(jù)，因而這種沒有證明的命題不能作為推理的依據(jù)，所以后面的計(jì)算缺乏正確的

13、前提此外，后面的解答還可簡潔些，用三角函數(shù)知識解能減少計(jì)算量 下面的解答同原解答 即便有這樣略為簡單的解法，這里的求點(diǎn)坐標(biāo)在初中意義仍然不大 由此看來，中考命題首先要考慮到這道題到底要考學(xué)生什么？是否有利學(xué)有利教即使中考需要一點(diǎn)智力挑戰(zhàn)，也應(yīng)該是那種“暮然回首”的意境，而不是索然無味的知識堆積,小結(jié),1 不等是絕對的；不等式是事物間數(shù)量關(guān)系的重要模型。 2 雖然初中只學(xué)習(xí)一元一次不等式，但也學(xué)習(xí)了不等式性質(zhì)，不等式求解等基礎(chǔ)知識，而且代數(shù)式知識，二次函數(shù)知識也為后續(xù)不等式的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。 3 樹立初步的最優(yōu)化思想，了解不等式的實(shí)際應(yīng)用。,初中數(shù)學(xué)中的函數(shù),函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容。它研究變量，

14、與數(shù)、式、方程等有密切的聯(lián)系；函數(shù)是近代數(shù)學(xué)的主要基礎(chǔ)，因此函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中占極重要的地位。,初等數(shù)學(xué)中函數(shù)內(nèi)容的框 架,1 函數(shù)的概念 2 基本初等函數(shù) 3 初等函數(shù)及其分類 4 用初等方法討論初等函數(shù) 5 初等函數(shù)圖像的作法,一、函數(shù)概念的擴(kuò)展,函數(shù)概念對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響，可以說是貫穿古今、曠日持久、作用非凡，回顧函數(shù)概念的歷史發(fā)展，看一看函數(shù)概念不斷被精煉、深化、豐富的歷史過程，是一件十分有益的事情，它不僅有助于我們提高對函數(shù)概念來龍去脈認(rèn)識的清晰度，而且更能幫助我們領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念對數(shù)學(xué)發(fā)展，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的巨大作用。,(一)馬克思曾經(jīng)認(rèn)為，函數(shù)概念來源于代數(shù)學(xué)中不定方程的研究。由于羅馬時(shí)代的

15、丟番圖對不定方程已有相當(dāng)研究，所以函數(shù)概念至少在那時(shí)已經(jīng)萌芽。 自哥白尼的天文學(xué)革命以后，運(yùn)動(dòng)就成了文藝復(fù)興時(shí)期科學(xué)家共同感興趣的問題，人們在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)，那么下降的物體為什么不發(fā)生偏斜而還要垂直下落到地球上?行星運(yùn)行的軌道是橢圓，原理是什么?還有，研究在地球表面上拋射物體的路線、射程和所能達(dá)到的高度，以及炮彈速度對于高度和射程的影響等問題，既是科學(xué)家的力圖解決的問題，也是軍事家要求解決的問題，函數(shù)概念就是從運(yùn)動(dòng)的研究中引申出的一個(gè)數(shù)學(xué)概念，這是函數(shù)概念的力學(xué)來源。,(二)早在函數(shù)概念尚未明確提出以前，數(shù)學(xué)家已經(jīng)接觸并研究了不少具體的函數(shù)，比如對數(shù)函數(shù)、三角

16、函數(shù)、雙曲函數(shù)等等。1673年前后笛卡兒在他的解析幾何中，已經(jīng)注意到了一個(gè)變量對于另一個(gè)變量的依賴關(guān)系，但由于當(dāng)時(shí)尚未意識到需要提煉一般的函數(shù)概念，因此直到17世紀(jì)后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時(shí)候，數(shù)學(xué)家還沒有明確函數(shù)的一般意義。,1673年，萊布尼茲首次使用函數(shù)一詞表示“冪”，后來他用該詞表示曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線長等曲線上點(diǎn)的有關(guān)幾何量。,萊布尼茲 GWLeibniz 16461716 德國數(shù)學(xué)家,由此可以看出，函數(shù)一詞最初的數(shù)學(xué)含義是相當(dāng)廣泛而較為模糊的，幾乎與此同時(shí)，牛頓在微積分的討論中，使用另一名詞“流量”來表示變量間的關(guān)系，直到1689年，瑞士數(shù)學(xué)家約翰伯努利才在萊布尼茲

17、函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，對函數(shù)概念進(jìn)行了明確定義，貝努里把變量x和常量按任何方式構(gòu)成的量叫“x的函數(shù)”。,約翰伯努利（Bernoulli Johan） 1667-1748 瑞士數(shù)學(xué)家,強(qiáng)調(diào)函數(shù)要用公式表示,當(dāng)時(shí)，由于連接變數(shù)與常數(shù)的運(yùn)算主要是算術(shù)運(yùn)算、三角運(yùn)算、指數(shù)運(yùn)算和對數(shù)運(yùn)算，所以后來歐拉就索性把用這些運(yùn)算連接變數(shù)x和常數(shù)c而成的式子，取名為解析函數(shù)，還將它分成了“代數(shù)函數(shù)”與“超越函數(shù)”。 就以“解析的函數(shù)”而言，法國數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾認(rèn)為只有唯一一個(gè)表達(dá)式者稱為函數(shù)而歐拉則認(rèn)為可以由多個(gè)表達(dá)式的也可稱為函數(shù)。,歐拉 LEuler 17071783 瑞士數(shù)學(xué)家,從萊布尼茲到歐拉，所有被引入的函數(shù)概

18、念都與解析表達(dá)式糾纏在一起。 在函數(shù)概念發(fā)展史上，法國數(shù)學(xué)家富里埃的工作影響最大，富里埃深刻地揭示了函數(shù)的本質(zhì)，主張函數(shù)不必局限于解析表達(dá)式。1822年，他在名著熱的解析理論中說，“通常，函數(shù)表示相接的一組值或縱坐標(biāo)，它們中的每一個(gè)都是任意的，我們不假定這些縱坐標(biāo)服從一個(gè)共同的規(guī)律；他們以任何方式一個(gè)挨一個(gè)?！?在該書中,他用一個(gè)三角級數(shù)和的形式表達(dá)了一個(gè)由不連續(xù)的“線”所給出的函數(shù)，也可以有多個(gè)表達(dá)式來表示。更確切地說就是,任意一個(gè)以2為周期函數(shù).在-，區(qū)間內(nèi)，可以由 表示出，其中 , 。 富里埃的研究，從根本上動(dòng)搖了舊的關(guān)于函數(shù)概念的傳統(tǒng)思想，在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界引起了很大的震動(dòng)。原來，在解析式

19、和曲線之間并不存在不可逾越的鴻溝，級數(shù)把解析式和曲線溝通了，那種視函數(shù)為解析式的觀點(diǎn)終于成為揭示函數(shù)關(guān)系的巨大障礙。,1837年，德國數(shù)學(xué)家狄里克萊（Dirichlet）認(rèn)為怎樣去建立x與y之間的關(guān)系無關(guān)緊要，所以他的定義是：“如果對于x的每一值，y總有完全確定的值與之對應(yīng)，則y是x的函數(shù)?！?根據(jù)這個(gè)定義，即使像如下表述的，它仍然被說成是函數(shù)（狄里克萊函數(shù)）：,狄利克雷 P.G.L.Dirichlet 18051859 德國數(shù)學(xué)家,1）沒有公式：函數(shù)概念從解析式子 中解放了出來； 2）沒有圖形：函數(shù)概念從幾何直觀 中解放了出來； 3）不連續(xù)：歷史上第一個(gè)間斷函數(shù)， 開了研究不連續(xù)函數(shù)的先河；

20、 4）沒有實(shí)際背景：函數(shù)概念從客觀 世界這一束縛中解放了出來。這表示數(shù) 學(xué)家們對數(shù)學(xué)的理解發(fā)生了深刻的變化， “人造”的特征開始展現(xiàn)出來。這種思想 也標(biāo)志著數(shù)學(xué)從研究“算”到研究“概念、 性質(zhì)、結(jié)構(gòu)”的轉(zhuǎn)變的開始。,狄里克萊的函數(shù)定義，抓住了概念的本質(zhì)屬性，變量y稱為x的函數(shù)，只須有一個(gè)法則存在，使得這個(gè)函數(shù)取值范圍中的每一個(gè)值，有一個(gè)確定的y值和它對應(yīng)就行了它出色地避免了以往函數(shù)定義中所有的關(guān)于依賴關(guān)系的描述，以完全清晰的方式為所有數(shù)學(xué)家無條件地接受。至此，我們已可以說，函數(shù)概念、函數(shù)的本質(zhì)定義已經(jīng)形成，這就是人們常說的經(jīng)典函數(shù)定義。,函數(shù)概念就在這樣的歷史條件下能動(dòng)地向前發(fā)展，產(chǎn)生了新的現(xiàn)

21、代函數(shù)定義：若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應(yīng)，則稱在集合M上定義一個(gè)函數(shù)，記為y = f（x），元素x稱為自變元，元素y稱為因變元。 函數(shù)的現(xiàn)代定義與經(jīng)典定義從形式上看雖然只相差幾個(gè)字，但卻是概念上的重大發(fā)展，是數(shù)學(xué)發(fā)展道路上的重大轉(zhuǎn)折，近代的泛函分析可以作為這種轉(zhuǎn)折的標(biāo)志，它研究的是一般集合上的函數(shù)關(guān)系。,函數(shù)概念的定義經(jīng)過二百多年來的錘煉、變革，形成了函數(shù)的現(xiàn)代定義，應(yīng)該說已經(jīng)相當(dāng)完善了。不過數(shù)學(xué)的發(fā)展是無止境的，函數(shù)現(xiàn)代定義的形式并不意味著函數(shù)概念發(fā)展的歷史終結(jié)，近二十年來，數(shù)學(xué)家們又把函數(shù)歸結(jié)為一種更廣泛的概念“關(guān)系”。 設(shè)集合X、Y，我們定義X 與Y 的積集X Y 為X Y =（x ，y ）x X ，y Y 積集X Y 中的一子集f稱為 X與 Y 的一個(gè)關(guān)系，若（x ，y ）f，則稱 x 與 y 有關(guān)系 f ，記為x f y。若（x，y）R，則稱 x 與 y 無關(guān)系。,2 基本初等函數(shù),基本初等函數(shù) 常量函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)等，稱為基本初等函數(shù)。, 3 初等函數(shù)及其分類,一、初等函數(shù)的概念, 3 初等函數(shù)及其分類