1、第六節(jié) 多元函數(shù)微分學(xué)在 幾何上的簡(jiǎn)單應(yīng)用,空間曲線的切線與法平面 弧 長(zhǎng) 曲面的切平面與法線 小 結(jié),6.1 空間曲線的切線與法平面,1.曲線的參數(shù)方程,（復(fù)習(xí)）,的直線方程為,其向量形式為,（3）螺旋線（圓柱螺線）,動(dòng)點(diǎn)M在圓柱面 上以角速度 繞,P,a,t,M,N,即為圓柱螺旋線的參數(shù)方程.,取時(shí)間t為參數(shù)，,出發(fā)，,則有,記M在xoy面的投影為N(x,y,0).,經(jīng)過t 時(shí)間，運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)，,動(dòng)點(diǎn)從P 點(diǎn),z軸旋轉(zhuǎn)，,同時(shí)又以線速度v 沿平行于z 軸的正方向,上升所形成的軌跡.,螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為,螺旋線的性質(zhì)：,上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比,上升的高度,P,a,M,N,Q,螺線

2、從點(diǎn)P Q,當(dāng) 從 0 2，,叫螺距.,方程的向量形式為,其向量形式為,一般空間曲線的參數(shù)方程為,如果 則稱 為連續(xù)曲線；,則稱 為光滑曲線;,上除去有限個(gè)點(diǎn)外是光滑的，則稱 是分段光滑曲線。,如果,如果 在,a, a,.,如星形線（圓內(nèi)旋輪線）是分段光滑曲線,o,例1,解1,其參數(shù)方程為,1,t,解2,由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系得其參數(shù)方程：,x,z,y,o,（1）若,則稱 為簡(jiǎn)單曲線。即簡(jiǎn)單曲線是自身不相交 的連續(xù)曲線；,2. 簡(jiǎn)單曲線與有向曲線,如例1中的曲線,是簡(jiǎn)單閉曲線；,的方向?yàn)?的正(負(fù))向，,（3）設(shè)曲線 的參數(shù)為 t ,規(guī)定 t 增大(減小),以下所討論的曲線均指有向曲線.,有

3、向曲線。,規(guī)定了正向的曲線叫,如螺旋線的正向?yàn)樯仙姆较颍?星形線的正,向?yàn)槟鏁r(shí)針方向.,但曲線,不是簡(jiǎn)單閉曲線；,3. 空間曲線的切線與法平面,其中 上可導(dǎo).,其導(dǎo)數(shù)記為,下面討論曲線 在點(diǎn) 處的切線方程：,取點(diǎn),則割線 的一個(gè)方向向量為,則 的方向與 的 正向相一致.,是曲線 在 點(diǎn)處 切線 的方向向量，稱它為 在 點(diǎn)的切向量。,(該向量的方向與 的正方向一致).,切線方程：,法平面： (過P0點(diǎn)且與切線垂直的平面),由此可得：,曲線 在 點(diǎn)的,解,切線方程,法平面方程,例2,例3 試求函數(shù) 沿曲線,法平面方程為：,特殊地：,1.若曲線 為兩柱面的交線,取x為參變量， 的切向量為,曲線在 點(diǎn)處的切線方程為：,2.空間曲線方程為,如果F 和G 滿足方程組的隱函數(shù)存在定理的條件，,則可惟一確定一組連續(xù)可微的函數(shù) y=y(x), z=z(x).,這表明曲面F(x,y,z)=0和曲面G(x,y,z)=0確定了一,條光滑的曲線 ，其方程為,則曲線的一個(gè)切向量為,從而曲線的切向量也可取為：,由隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，得,解1 曲線在點(diǎn) (1,-2,1) 處的切向量為,所求切線方程為,法平面方程為,例5 求曲線,在點(diǎn),處的切線及法平面方程.,類似可寫出切線與法平面方程。,解2 將所給方程的兩邊對(duì)x求導(dǎo)并移項(xiàng)，得,小 結(jié),1.曲