1、2,1. 確定性現(xiàn)象和不確定性現(xiàn)象.,2. 隨機(jī)現(xiàn)象: 在個(gè)別試驗(yàn)中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性, 在大量重復(fù)試驗(yàn)中其結(jié)果又具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.,第一章 概率論的基本概念,前 言,3. 概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的廣泛應(yīng)用.,3,1.隨機(jī)試驗(yàn),E1: 拋一枚硬幣，觀(guān)察正(H)反(T) 面 的情 況.,E2: 將一枚硬幣拋三次,觀(guān)察正反面出現(xiàn)的情況.,E3: 將一枚硬幣拋三次，觀(guān)察出現(xiàn)正面的情況.,舉例:,我們將對(duì)自然現(xiàn)象的一次觀(guān)察或進(jìn)行一次科學(xué)試驗(yàn) 稱(chēng)為試驗(yàn)。,E4: 電話(huà)交換臺(tái)一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù).,E5: 在一批燈泡中任取一只, 測(cè)試它的壽命.,4,隨機(jī)試驗(yàn): (1) 可在相同的條件下重復(fù)試驗(yàn); (2) 每次試

2、驗(yàn)的結(jié)果不止一個(gè),且能事先明確所有可能的結(jié)果; (3) 一次試驗(yàn)前不能確定會(huì)出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果.,5,2. 樣本空間與隨機(jī)事件,(一) 樣本空間: 定義 隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成的集合稱(chēng)為 E的樣本空間, 記為S. 樣本空間的元素稱(chēng)為樣本點(diǎn)，用表示.,樣本空間的分類(lèi):,1.離散樣本空間:樣本點(diǎn)為有限個(gè)或可列個(gè). 例 E1,E2等.,2.無(wú)窮樣本空間:樣本點(diǎn)在區(qū)間或區(qū)域內(nèi)取值. 例 燈泡的壽命t|t0.,6,(二) 隨機(jī)事件,定義 樣本空間S的子集稱(chēng)為隨機(jī)事件, 簡(jiǎn)稱(chēng)事件. 在一次試驗(yàn)中, 當(dāng)且僅當(dāng)這一子集中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí), 稱(chēng)這一事件發(fā)生.,基本事件:,復(fù)合事件:,必然事件:,不可能事件：,

3、由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集. 如:H,T.,由兩個(gè)或兩個(gè)以上的基本事件復(fù)合而成的事件為復(fù)合事件. 如:E3中出現(xiàn)正面次數(shù)為奇數(shù).,樣本空間S是自身的子集，在每次試驗(yàn)中總是發(fā)生的，稱(chēng)為必然事件。,空集不包含任何樣本點(diǎn), 它在每次試驗(yàn)中都不發(fā)生，稱(chēng)為不可能事件。,7,例1. 試確定試驗(yàn)E2中樣本空間, 樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù), 并給出如下事件的元素: 事件A1=“第一次出現(xiàn)正面”、事件A2=“恰好出現(xiàn)一次正面”、事件A3=“至少出現(xiàn)一次正面”.,8,（三）事件間的關(guān)系與事件的運(yùn)算,1.包含關(guān)系和相等關(guān)系:,若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生,則稱(chēng)件B包含事件A,記作AB. 若A B且A B, 即A=B, 則稱(chēng)A與

4、B相等.,9,2.和事件:,3.積事件： 事件A B=x|x A 且 x B稱(chēng)A與B的積，即事件A與B同時(shí)發(fā)生. A B 可簡(jiǎn)記為AB.,類(lèi)似地, 事件 為可列個(gè)事件A1, A2, .的積事件.,10,4.差事件: 事件A-B=x|xA且xB 稱(chēng)為A與B的差. 當(dāng)且僅當(dāng) A發(fā)生, B不發(fā)生時(shí)事件A-B發(fā)生. 即:,顯然: A-A=, A- =A, A-S= ,11,5.事件的互不相容(互斥):,12,6. 對(duì)立事件(逆事件)：,13,7.事件的運(yùn)算律:,交換律:,結(jié)合律:,對(duì)偶律:,分配律:,14,例. 甲、乙、丙三人各射擊一次，事件A1,A2,A3分別表示 甲、乙、丙射中，試說(shuō)明下列事件所表

5、示的結(jié)果：,15,3. 概率的概念,一. 古典定義：,等可能概型的兩個(gè)特點(diǎn):,例如:擲一顆骰子,觀(guān)察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).,(1) 樣本空間中的元素只有有限個(gè);,(2) 試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同.,概率的古典定義: 對(duì)于古典概型, 樣本空間S1, 2, , n, 設(shè)事件A包含S的 k 個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A的概率定義為,16,古典概型概率的計(jì)算步驟:,(1) 選取適當(dāng)?shù)臉颖究臻gS, 使它滿(mǎn)足有限等可能的要求, 且把事件A表示成S的某個(gè)子集.,(2) 計(jì)算樣本點(diǎn)總數(shù)n及事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)k.,(3) 用下列公式計(jì)算:,17,例1. 袋中裝有4只白球和2只紅球. 從袋中摸球兩次,每次任取一球.有兩種

6、式: (a)放回抽樣; (b)不放回抽樣. 求: (1)兩球顏色相同的概率; (2)兩球中至少有一只白球的概率.,例2. 設(shè)一袋中有編號(hào)為1,2,9的球共9只, 現(xiàn)從中任取3只, 試求: (1)取到1號(hào)球的概率,（事件A） (2)最小號(hào)碼為5的概率.（事件B）,18,例3. 某接待站在某一周曾接待過(guò)12次來(lái)訪(fǎng), 且都是在周二和周四來(lái)訪(fǎng). 問(wèn)是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的?,19,二、幾何定義:,定義,20,定義 當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某個(gè)區(qū)域,并且任意一點(diǎn)落在度量 (長(zhǎng)度, 面積, 體積) 相同的子區(qū)域是等可能的,則事件 A 的概率可定義為,說(shuō)明 當(dāng)古典概型的試驗(yàn)結(jié)果為連續(xù)無(wú)窮多個(gè)時(shí), 就歸結(jié)

7、為幾何概率.,21,例1 甲、乙兩人相約在 0 到 T 這段時(shí)間內(nèi), 在預(yù) 定地點(diǎn)會(huì)面. 先到的人等候另一個(gè)人, 經(jīng)過(guò)時(shí)間 t ( tT ) 后離去.設(shè)每人在0 到T 這段時(shí)間內(nèi)各時(shí)刻 到達(dá)該地是等可能的 , 且兩人到達(dá)的時(shí)刻互不相關(guān). 求甲、乙兩人能會(huì)面的概率.,會(huì)面問(wèn)題,22,蒲豐投針試驗(yàn),例21777年,法國(guó)科學(xué)家蒲豐(Buffon)提出了投針 試驗(yàn)問(wèn)題.平面上畫(huà)有等距離為a(0)的一些平行直 線(xiàn),現(xiàn)向此平面任意投擲一根長(zhǎng)為l ( a )的針,試求 針與任一平行直線(xiàn)相交的概率.,23,幾何概型的概率的性質(zhì),(1) 對(duì)任一事件A ,有,24,三. 統(tǒng)計(jì)定義:,(一) 頻率 1. 在相同的條

8、件下, 共進(jìn)行了n次試驗(yàn),事件A發(fā)生的次數(shù)nA, 稱(chēng)為A的頻數(shù), nA/n稱(chēng)為事件A發(fā)生的頻率, 記為fn(A).,3. 頻率的特性: 波動(dòng)性和穩(wěn)定性.,25,1.定義: 設(shè)S是樣本空間, E是隨機(jī)試驗(yàn). 對(duì)于E的每個(gè)事件A對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)P(A), 稱(chēng)為事件 A的概率, 其中集合函數(shù)P(.)滿(mǎn)足下列條件:,(1) 對(duì)任一事件A,有P(A)0; (非負(fù)性）,(2) P(S)=1;（規(guī)范性),(3) 設(shè)A1,A2,是兩兩互不相容的事件,則有 P(A1 A2 )=P(A1)+P(A2)+ (可列可加性),四. 概率公理化定義:,26,2.概率的性質(zhì)：,一般地有: P(B-A)=P(B)-P(AB).,

9、27,推廣,28,例4. 設(shè)P(A)=p, P(B)=q, P(AB)=r, 用p, q, r表示下列事件的概率:,29,5. 條件概率,(一)條件概率: 設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S, A, B是事件, 要考慮在A(yíng)已經(jīng)發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率, 這就是條件概率問(wèn)題.,例1.老王的妻子一胎生了3個(gè)孩子,已知老大是女孩，求另 兩個(gè)也都是女孩的概率(假設(shè)男孩、女孩出生率相同).,30,2. 性質(zhì): 條件概率符合概率定義中的三個(gè)條件, 即,此外, 條件概率具有無(wú)條件概率類(lèi)似性質(zhì).例如：,31,注,當(dāng)AS時(shí), P(BS)=P(B), 條件概率化為無(wú)條件概率, 因此無(wú)條件概率可看成條件概率.,計(jì)算條件概率有兩

10、種方法:,1. 公式法：,32,2. 縮減樣本空間法： 在A(yíng)發(fā)生的前提下, 確定B的縮減樣本空間, 并在其中計(jì)算B發(fā)生的概率, 從而得到P(B|A).,例2. 在1, 2, 3, 4, 5這5個(gè)數(shù)碼中, 每次取一個(gè)數(shù)碼, 取后不放回, 連取兩次, 求在第1次取到偶數(shù)的條件下, 第2次取到奇數(shù)的概率.,33,(二) 乘法公式:,P(AB)0, 則有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).,推廣,34,35,(三) 全概率公式和貝葉斯公式:,1. 樣本空間的劃分,注,(1) 若B1,B2,Bn是樣本空間S的一個(gè)劃分, 則每次試驗(yàn)中, 事件B1, B2, , Bn 中必有一 個(gè)且僅有一個(gè)

11、發(fā)生.,36,2. 全概率公式:,稱(chēng)為全概率公式.,3. 貝葉斯公式:,37,例4. 某電子設(shè)備廠(chǎng)所用的晶體管是由三家元件制 造廠(chǎng)提供的,數(shù)據(jù)如下: 元件制造廠(chǎng) 次品率 提供的份額 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 (1) 任取一只晶體管,求它是次品的概率. (2) 任取一只,若它是次品,則由三家工廠(chǎng) 生產(chǎn)的概 率分別是多少?,38,例5. 對(duì)以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明, 當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好 時(shí), 產(chǎn)品的合格率為90%,而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某一故障時(shí), 其合格率為30%, 每天早晨機(jī)器開(kāi)動(dòng)時(shí)機(jī)器調(diào)整良 好的概率為75%, 試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是 合格品時(shí), 機(jī)器調(diào)整

12、得良好的概率是多少?,39,1.6 獨(dú)立性,設(shè)A,B是試驗(yàn)E的兩事件,當(dāng)P(A)0, 可以定義P(B|A).,一般地, P(B|A)P(B), 但當(dāng)A的發(fā)生對(duì)B的發(fā)生的概 率沒(méi)有影響時(shí),有P(B|A)=P(B),由乘法公式有 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).,例如 設(shè)試驗(yàn)E為擲甲、乙兩枚硬幣，觀(guān)察正反面出現(xiàn)情況. 設(shè)A“甲幣出現(xiàn)H”, B“乙?guī)懦霈F(xiàn)H”, 試求: B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率；A發(fā)生的概率.,1. 定義: 設(shè)A,B是兩事件,如果滿(mǎn)足等式 P(AB)=P(A)P(B), 則稱(chēng)事件A與事件B是相互獨(dú)立的事件.,40,由定義可知:,1) 零概率事件與任何事件都是相

13、互獨(dú)立的.,2) 由對(duì)稱(chēng)性, A,B相互獨(dú)立, 必有B, A 相互獨(dú)立.,如果對(duì)于任意的k(kn), 任意的1i1i2ikn 都有: P(Ai1Ai2Aik)=P(Ai1)P(Ai2)P(Aik), 則稱(chēng)這 n個(gè)事件相互獨(dú)立.,41,3. 定理: 設(shè)A,B是兩事件,且P(A)0,則A,B相互獨(dú)立 的充要條件是: P(B|A)=P(B).,有關(guān)結(jié)論:,42,三. 利用獨(dú)立性計(jì)算古典概率:,1. 計(jì)算相互獨(dú)立的積事件的概率： 若已知n個(gè)事件A1, A2, , An相互獨(dú)立，則 P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An),2. 計(jì)算相互獨(dú)立事件的和的概率： 若已知n個(gè)事件A1, A2, ,

14、An相互獨(dú)立，則,例1. 兩架飛機(jī)依次輪番對(duì)同一目標(biāo)投彈, 每次投下一顆炸彈, 每架飛機(jī)各帶3顆炸彈, 第1架扔一顆炸彈擊中目標(biāo)的概率為0.3, 第2架的概率為0.4, 求炸彈未完全耗盡而擊中目標(biāo)的概率。,43,44,45,第一章 習(xí)題課,一、主要內(nèi)容:,樣本空間,隨機(jī)事件,概率定義及性質(zhì),古典概型,條件概率,全概率公式,Bayes公式,事件的獨(dú)立性,46,二、課堂練習(xí):,1.選擇題: (1)當(dāng)事件A與B同時(shí)發(fā)生,事件C必發(fā)生,則有( ) (A) P(C)=P(AB) (B) P(C)=P(AB) (C) P(C)P(A)+P(B)-1 (D) P(C)P(A)+P(B)-1,47,2. 填空

15、題：,(2) 設(shè)兩個(gè)事件A, B相互獨(dú)立, A, B都不發(fā)生的概率 為1/9, A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生的概率與B發(fā)生而A不發(fā)生 的概率相等, 則P(A)=_.,3.計(jì)算題：,48,設(shè)甲箱中有a只白球，b只黑球，乙箱中有c只白球，d只黑球，從甲箱中任取一球放入乙箱中，然后從乙箱中任取一球，試求從乙箱中取得白球的概率。 有n個(gè)不同(可辨別)的球，每個(gè)球都以同樣的概率1/N被投到N (nN)個(gè)箱子中的每一箱中，試求下列事件的概率： (1) 某指定的n個(gè)箱子中各一球(A) (2) 恰有n個(gè)箱，其中各有一球(B) (3) 某指定箱中恰有m(m n)個(gè)球(C) (4) 恰有k個(gè)箱子，其中有m個(gè)球(D). 3.

16、在一個(gè)盒子中混有新舊兩種乒乓球，新的有白球40個(gè)，紅球30個(gè)，舊球中有白球20個(gè)，紅球10個(gè)，在這個(gè)盒子中任取一球，發(fā)現(xiàn)是新的，求這個(gè)球是白球的概率.,49,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2.1 隨機(jī)變量,即X(e)是定義在樣本空間S上的一個(gè)實(shí)函數(shù),對(duì)于不同的試驗(yàn)結(jié)果e, X取不同的值, 由于試驗(yàn)前不能預(yù)料e的取值, 因而X取1還是取0也是隨機(jī)的, 故稱(chēng)X(e)為隨機(jī)變量。,50,1. 定義: 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間是S=e, 若對(duì)于每一個(gè) eS, 有一個(gè)實(shí)數(shù)X(e)與之對(duì)應(yīng), 即X(e)是定義在S上的單 值實(shí)函數(shù)，稱(chēng)為隨機(jī)變量。簡(jiǎn)記為r.v.,注,(1) 可用隨機(jī)變量X描述事件.,反過(guò)來(lái), X的

17、一個(gè)變化范圍表示一個(gè)隨機(jī)事件: “2X5”表示事件“擲出的點(diǎn)數(shù)大于2且小于5”.,51,2. 分類(lèi)：,(2) 隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)的結(jié)果而取不同的值,在試驗(yàn)之前不能確切知道它取什么值, 但是隨機(jī)變量的取值有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性概率分布.,(1) 離散型隨機(jī)變量;,(2) 非離散型隨機(jī)變量,10 連續(xù)型隨機(jī)變量,20 奇異型隨機(jī)變量,若隨機(jī)變量全部可能取到 的值是有限多個(gè)或可列無(wú) 限多個(gè)。,52,2.2 離散型隨機(jī)變量的概率分布,53,2. 求分布律的步驟: (1) 明確X的一切可能取值; (2) 利用概率的計(jì)算方法計(jì)算X取各個(gè)確定值的概率, 即可寫(xiě)出X的分布律.,例1. 設(shè)一汽車(chē)在開(kāi)往目的地的道路上需

18、經(jīng)過(guò)四盞信號(hào)燈,每盞信號(hào)燈以概率p禁止汽車(chē)通過(guò), 以X表示汽車(chē)首次停下時(shí)已通過(guò)信號(hào)燈的盞數(shù), 求X的分布律.(設(shè)各信號(hào)燈的工作是相互獨(dú)立的).,例2. 袋中裝有4只紅球和2只白球,從袋中不放回地逐一地摸球, 直到第一次摸出紅球?yàn)橹?設(shè)X表示到第一次摸出紅球時(shí)所摸的次數(shù), 求X的分布律.,54,3.幾種重要的離散型r.v.的分布律：,(一) 0-1分布,(二) 貝努利試驗(yàn) (二項(xiàng)分布),55,例1. 設(shè)X是n重貝努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù), 成功的概率為p,則X是一個(gè)隨機(jī)變量, 我們來(lái)求它的分布律. 若n=4, 求:PX=k，k=0, 1, 2, 3, 4.,當(dāng)n=1時(shí), PX=k=pk(1-p

19、)1-k, k=0, 1, 即為0-1分布.,注,56,例2.某種電子元件的使用壽命超過(guò)1500小時(shí)為一級(jí)品, 已知一大批該產(chǎn)品的一級(jí)品率為0.2, 從中隨機(jī)抽查20只, 求這20只元件中一級(jí)品只數(shù)X的分布律.,例3. 某人進(jìn)行射擊, 每次命中率為0.02, 獨(dú)立射擊400次, 試求至少擊中兩次的概率.,57,(三) 泊松分布(Poisson),(2)泊松分布有很多應(yīng)用.,注,(3)二項(xiàng)分布與泊松分布之間的關(guān)系.,58,泊松(Poisson)定理：,泊松定理的意義：,1. 在定理的條件下, 二項(xiàng)分布的極限分布是泊松分布.,2. 當(dāng)n很大且 p又較小時(shí),59,例5. 設(shè)有同類(lèi)型設(shè)備300臺(tái), 各

20、臺(tái)工作是相互獨(dú)立的, 發(fā)生故障的概率都是0.01, 設(shè)一臺(tái)設(shè)備的故障由一個(gè)人處理, 問(wèn)至少需配備多少工人, 才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于0.01?,60,(四) 幾何分布,例 設(shè)某種社會(huì)定期發(fā)行的獎(jiǎng)券,每券1元,中獎(jiǎng)率為p, 某人每次購(gòu)買(mǎi)1張獎(jiǎng)券, 如果沒(méi)有中獎(jiǎng)下次繼續(xù)再買(mǎi)1張, 直到中獎(jiǎng)止, 求購(gòu)買(mǎi)次數(shù)X的分布律.,若該人共準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)10次共10元錢(qián), 即如果中獎(jiǎng)就停止, 否則下次再購(gòu)買(mǎi)1張, 直到10元共花完為止, 求購(gòu)買(mǎi)次數(shù)Y的分布律.,61,3 隨機(jī)變量的分布函數(shù),1. 定義：設(shè)r.v. X, xR1, 則 F(x)=P Xx 稱(chēng)為X的分布函數(shù).,(2) 無(wú)論是離散型r

21、.v.還是非離散型r.v. ,分布函數(shù)都可以描述其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.,注,2. 性質(zhì):,(1) F(x)是單調(diào)不減函數(shù).,x2x1, F(x2)-F(x1)=Px1Xx2 0.,(2) 0F(x)1, F(-)=0, F(+ )=1.,(3) F(x)至多有可列個(gè)間斷點(diǎn), 而在其間斷點(diǎn) 上也是右連續(xù)的,F(x+0)=F(x).,62,結(jié)論,反之，若已知分布函數(shù)求分布律用如下公式求解：,63,64,4. 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度,則稱(chēng)X為連續(xù)型r.v. f(x)稱(chēng)為X概率密度函數(shù), 簡(jiǎn)稱(chēng)概率密度.,65,例1. 一個(gè)靶子是半徑為2米的圓盤(pán),設(shè)擊中靶上任一同心圓盤(pán)上的點(diǎn)的概率與該圓盤(pán)的面積成正比, 并設(shè)

22、射擊都能擊中靶, 以X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離. 試求X的分布函數(shù).,66,定義,3. 關(guān)于連續(xù)型r.v.的一個(gè)重要結(jié)論:,定理: 設(shè)X為連續(xù)型r.v. 它取任一指定的實(shí)數(shù)值a的概率均為0. 即PX=a=0.,67,4.幾個(gè)常用的連續(xù)型r.v.分布,(一)均勻分布:,則稱(chēng)隨機(jī)變量X在(a,b)上服從均勻分布,記作XU(a,b).,分布函數(shù)為:,68,(二) 正態(tài)分布:,69,性質(zhì):,(2)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布:,70,引理:,結(jié)論,71,例 設(shè)某商店出售的白糖每包的標(biāo)準(zhǔn)全是500克,設(shè)每包重量X(以克計(jì))是隨機(jī)變量,XN(500,25),求: (1) 隨機(jī)抽查一包, 其重量大于510克的概率; (2)

23、隨機(jī)抽查一包, 其重量與標(biāo)準(zhǔn)重量之差的絕對(duì)值在8克之內(nèi)的概率; (3 求常數(shù)c,使每包的重量小于c的概率為0.05.,注,(1) 由(x)=0.05怎樣查表求x的值?,(2) 服從正態(tài)分布N(,2)的r.v. X之值基本上落入-2, +2之內(nèi), 幾乎全部落入-3, +3內(nèi). 特別強(qiáng)調(diào)N(0,1)的情況在計(jì)算中的應(yīng)用.,72,(3) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn):,73,(三) 負(fù)指數(shù)分布:,74,(四) 伽瑪分布:,75,5. 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,一、 X為離散型r.v.,76,(2) 若g(x1),g(x2), 中不是互不相等的, 則應(yīng)將那些相等的值分別合并, 并根據(jù)概率加法公式把相應(yīng)的pi相加

24、, 就得到了Y的概率分布律.,77,二、X為連續(xù)型r.v.,78,79,(1) 若f(x)在有限區(qū)間a, b以外等于零, 則只需假 設(shè)在a, b上g(x)嚴(yán)格單調(diào), 選取 =min(g(a), g(b), =max(g(a), g(b).,2.公式法： 定理:設(shè)X是連續(xù)型r.v., 具有概率密度f(wàn)(x),設(shè)y=g(x)是x的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù), 且反函數(shù)x=h(y)具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù). 當(dāng)g(x)嚴(yán)格增加時(shí), 記 =g(-), =g(+); 當(dāng)g(x)嚴(yán)格減少時(shí), 記 =g(+), =g(-), 則Y的概率密度為:,說(shuō)明,(2) 定理中條件y=g(x)是X的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)是相當(dāng) 苛刻的,許多常見(jiàn)的函數(shù)都

25、不能滿(mǎn)足, 因此,求隨機(jī) 變量的函數(shù)的分布時(shí), 只能按“分布函數(shù)法”直接 求解.,80,例4. r.v.XN(, 2), 證明X的線(xiàn)性函數(shù)Y=aX+b (a0)也服從正態(tài)分布.,81,第二章 習(xí)題課,一. 主要內(nèi)容,二. 課堂練習(xí),1. 甲，乙兩名籃球隊(duì)員獨(dú)立地輪流投籃，直到某人投中為止，今設(shè)甲投中的概率為0.4,乙投中的概率為0.6, 求甲隊(duì)員投籃次數(shù)的分布律(設(shè)甲先投).,82,83,第三章 多維隨機(jī)變量及其分布,1 二維隨機(jī)變量,1. 二維r.v.定義: 設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn), 樣本空間是 S=e,設(shè)X=X(e)和Y=Y(e)是定義在S上的r.v., 由它們構(gòu)成的一個(gè)向量(X, Y), 叫

26、做二維r.v.,2. 二維r.v.(聯(lián)合)分布函數(shù):,84,若將(X, Y)看成平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo), 則分布函數(shù)F(x,y)的值為(X,Y)落在陰影部分的概率(如圖1),圖1,圖2,二維r.v.的分布函數(shù)的基本性質(zhì)與一維r.v.的分布函 數(shù)F(x)的性質(zhì)類(lèi)似, 此處從略.,85,3. 下面分別討論二維離散型和連續(xù)型r.v.,(一) 二維離散型r.v.,86,例1. 設(shè)r.v. X在1, 2, 3, 4四個(gè)整數(shù)中等可能地取值, r.v. Y則在1X中等可能地取一整數(shù), 試求(X, Y)的分布律.,結(jié)論,87,(二) 二維連續(xù)型r.v.,88,二維連續(xù)型r.v. (X, Y)落在平面G上概率, 就

27、等于密度函數(shù)f(x, y)在G上的積分, 這就將概率的計(jì)算轉(zhuǎn)化為一個(gè)二重積分的計(jì)算了.,注,89,2. 邊緣分布,一、邊緣分布函數(shù)：,二、邊緣分布律：,90,91,三、邊緣概率密度:,92,93,3. 條件分布,一、二維離散型r.v.的情況:,94,95,例2 一射擊手進(jìn)行射擊, 擊中目標(biāo)的概率為p(0p1), 射擊到擊中目標(biāo)兩次為止, 設(shè)以X表示首次擊中目標(biāo)進(jìn)行的射擊次數(shù),以Y表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù),試求X和Y的聯(lián)合分布律和條件分布律.,96,二、二維連續(xù)型r.v.,首先引入條件分布函數(shù),然后得到條件概率密度.,97,進(jìn)一步可以化為:,98,例3. 設(shè)數(shù)X在區(qū)間(0, 1)上隨機(jī)地取值, 當(dāng)

28、觀(guān)察到X=x (0x1)時(shí), 數(shù)Y在區(qū)間(x, 1)上隨機(jī)地取值, 求Y的概率密度.,99,4. 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,1.定義:,2.等價(jià)定義:,100,例: 設(shè)X和Y都服從參數(shù)=1的指數(shù)分布且相互獨(dú)立, 試求PX+Y1.,3.命題：設(shè)(X, Y)服從二維正態(tài)分布, 則X, Y相互獨(dú)立的充要條件是 =0.,4. 一個(gè)重要定理:,設(shè)(X1, X2, , Xm)和(Y1, Y2, Yn)相互獨(dú)立, 則Xi (i=1,2, m)和Yj(j=1,2, n)相互獨(dú)立,又若h, g是連續(xù)函數(shù), 則h(x)和g(y)相互獨(dú)立.,101,5. 兩個(gè)r.v.的函數(shù)的分布,(一) 和(Z=X+Y)的分布:,已知(

29、X,Y)的聯(lián)合密度是f(x, y), 求Z=X+Y的分布密度.,結(jié)論,102,例1. 設(shè)X和Y相互獨(dú)立, 且都服從N(0, 1), 求: Z=X+Y的分布密度.,注,結(jié)論:,103,(二) M=max(X,Y)及m=min(X, Y)的分布:,設(shè)X,Y相互獨(dú)立, 分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y). 求M=max(X,Y)的分布:,104,(三) 利用“分布函數(shù)法”導(dǎo)出兩r.v. 和的分布函數(shù)或密度函數(shù)的公式, 其要點(diǎn)為:,105,(四) 對(duì)于離散型r.v. 的函數(shù)的分布:,設(shè)X,Y是離散型r.v.且相互獨(dú)立, 其分布律分別為: PX=i=pi,i=0,1,2,3, PY=j=qj,j=0,

30、1,2,3, 求Z=X+Y的分布律.,例 設(shè)X,Y是相互獨(dú)立的r.v., 分別服從參數(shù)為1,2的泊松分布, 試證明Z=X+Y也服從泊松分布.,106,第三章 習(xí)題課,一. 主要內(nèi)容：,(1) 二維r.v.的分布函數(shù), 離散型r.v.的聯(lián)合 分布, 連續(xù)型r.v.的聯(lián)合概率密度.,(2) 邊緣分布函數(shù);邊緣分布律;邊緣概率密度.,(3) 條件分布律; 條件概率密度.,(4) 隨機(jī)變量的相互獨(dú)立.,(5) 兩個(gè)r.v.函數(shù)的分布.,二. 課堂練習(xí)：,107,1.設(shè)某人從1, 2, 3, 4四個(gè)數(shù)中依次取出兩個(gè)數(shù),記X為第一次所取出的數(shù), Y為第二次所取出的數(shù), 若第一次取后不放回, 求X和Y的聯(lián)合

31、分布律.,108,109,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,1. 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,一. 問(wèn)題引入：,例：某車(chē)間生產(chǎn)某種產(chǎn)品，檢驗(yàn)員每天隨機(jī)地抽取n件產(chǎn)品作檢驗(yàn)，查出的廢品數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，它的可能取值為0,1,n. 設(shè)檢驗(yàn)員共查了N天，出現(xiàn)廢品為0, 1, 2, , n的天數(shù)分別為m0,m1,mn,問(wèn)天出現(xiàn)的廢品的平均值為多少？,110,111,112,3. 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望公式:,113,1. 在已知Y是X的連續(xù)函數(shù)前提下, 當(dāng)我們求E(Y)時(shí)不必知道Y的分布, 只需知道X的分布就可以了.,2. 上述定理可以推廣到多維r.v.函數(shù).,說(shuō)明,114,4.均值的性質(zhì):,(1) E(c)=c;

32、 (c為常數(shù)),(2) E(cX)=cE(X); ( c為常數(shù)),(3) E(X+Y)=E(X)+E(Y);,(4) 設(shè)X,Y相互獨(dú)立, 則E(XY)=E(X)E(Y);,(5) |E(XY)|2E(X2)E(Y2). (許瓦爾茲不等式),例3. 設(shè)商店經(jīng)銷(xiāo)某種商品的每周需求量X服從區(qū)間10，30上的均勻分布，而進(jìn)貨量為區(qū)間10，30中的某一個(gè)整數(shù)，商店每售一單位商品可獲利500元，若供大于求，則削價(jià)處理，每處理一單位商品虧損100元，若供不應(yīng)求，則從外部調(diào)劑供應(yīng)，此時(shí)每售出一單位商品僅獲利300元，求此商店經(jīng)銷(xiāo)這種商品每周進(jìn)貨量為多少，可使獲利的期望不少于9280元,115,例. 二項(xiàng)分布的

33、均值的計(jì)算.,將X分解成數(shù)個(gè)r. v. 之和, 然后利用r. v. 和的數(shù)學(xué)期望等于r. v.的數(shù)學(xué)期望之和來(lái)求解. 這個(gè)方法具有一定的普遍意義.,說(shuō)明,116,2. 方差,一. 定義：,117,若X為離散型r.v.其分布律為PX=xk=pk, k=1,2, 則,118,例1. 設(shè)隨機(jī)變量X具有(0-1)分布, 其分布律 為 PX=0=1-p, PX=1=p, 求: D(X).,119,二、方差的性質(zhì)及切比雪夫不等式：,1. 性質(zhì):,10 設(shè)C是常數(shù), 則D(C)=0;,20 設(shè)X是r.v., C是常數(shù), 則有 D(CX)=C2D(X);,30 設(shè)X, Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, 則有 D(

34、X+Y)=D(X)+D(Y);,40 D(X)=0的充要條件是X以概率1取常數(shù)C, 即 PX=C=1.,120,2. 切比雪夫不等式:,121,3. 幾種重要r.v.的數(shù)學(xué)期望及方差,1. 一些常用的離散型r.v.的均值及方差的計(jì)算:,10 0-1分布: (參見(jiàn)例1).,122,2. 一些常用的連續(xù)型r.v.的均值及方差的計(jì)算:,123,4. 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù),124,(i) XY是一個(gè)無(wú)量綱的量.,(ii) Var(X)=XX.,(iii) 對(duì)于任意的兩個(gè)r.v.X和Y, 有 D(XY)=D(X)+D(Y) 2Cov(X,Y).,(iv) Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y).,

35、注,125,(二) 協(xié)方差的性質(zhì):,10 Cov(X, Y)=Cov(Y, X);,20 Cov(a1X+b1, a2Y+b2)=a1a2Cov(X,Y), 其 中a1, a2, b1, b2是常數(shù);,30 Cov(X1+X2, Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2, Y);,40 |Cov(X, Y)|2D(X)D(Y);,50 若X, Y相互獨(dú)立, 則Cov(X, Y)=0.,126,(三) 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì):,127,定義: 若隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù)XY=0,則稱(chēng)X與Y 不相關(guān).,對(duì)于隨機(jī)變量X和Y, 下列事實(shí)等價(jià): (1) Cov(X, Y)=0; X與Y不相關(guān); E(XY)=E(X

36、)E(Y); D(X+Y)=DX+DY.,128,相關(guān)系數(shù)XY刻劃了X, Y之間的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系, 當(dāng)XY=0時(shí), X,Y不相關(guān)指它們之間沒(méi)有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系, 而不是說(shuō)它們之間沒(méi)有任何關(guān)系.,說(shuō)明,129,設(shè)(X, Y)服從二維正態(tài)分布, 則X, Y相互獨(dú)立的充要條件是=0. 知X與Y不相關(guān)與X和Y相互獨(dú)立是等價(jià)的.,結(jié)論,130,5. 矩、協(xié)方差矩陣,一. 定義: 設(shè)X和Y是隨機(jī)變量,顯然, E(X),E(Y)為一階原點(diǎn)矩, D(X),D(Y)為二階中心矩, XY為二階中心混合矩.,(1) 若E(Xk), k=1, 2, 存在, 則稱(chēng)它為X的k階原點(diǎn)矩.,(2) 若EX-E(X)k, k=1,

37、2, 存在,則稱(chēng)它為X的k階中心矩.,(3) 若EXkYl, k, l=1, 2, 存在, 則稱(chēng)它為X和Y的k+l階混合矩.,(4) 若EX-E(X)kY-E(Y)l, k, l=1, 2,存在, 則稱(chēng)它為X和Y的k+l階中心混合矩.,131,132,三. 協(xié)方差陣的性質(zhì):,10 C是對(duì)稱(chēng)的; (由協(xié)方差的性質(zhì)Cov(X,Y) =Cov(Y,X), ij= ji可得),20 ii=D(Xi), i=1, 2, 3, , n.,30 ij2 ii jj, i,j=1, 2, , n.(由許瓦爾茲不等式可得),40 C是非負(fù)定的, 即對(duì)任意的n維向量 a=(a1, a2, , an)T, 都有aT

38、Ca0.,|E(XY)|2E(X2)E(Y2).(許瓦爾茲不等式),133,四. n維正態(tài)變量:,134,2. 性質(zhì):,20 n維r.v. (X1, X2, , Xn)服從n維正態(tài)分布的的充要條件是X1, X2, , Xn的任一線(xiàn)性組合l1X1+l2X2+ +ln Xn服從一維正態(tài)分布.,30若(X1, X2, , Xn)服從n維正態(tài)分布, 設(shè)Y1,Y2, , Yn是Xj(j=1, 2, , n)的線(xiàn)性函數(shù), 則(Y1, Y2, Yn)也服從多維正態(tài)分布.,40 若(X1, X2, , Xn)服從n維正態(tài)分布, 則“X1, X2, , Xn”相互獨(dú)立與“X1, X2, , Xn”兩兩不相關(guān)是等

39、價(jià)的.,10 n維r.v. (X1, X2, , Xn)的每一個(gè)分量Xi,i=1,2,n都是正態(tài)分布；反之，若X1, X2, , Xn的都是正態(tài)分量,且相互獨(dú)立，則(X1, X2 , , Xn)服從n維正態(tài)分布.,135,136,第四章 習(xí)題課,一. 主要內(nèi)容:,1. 隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望；函數(shù)的數(shù)學(xué)期望；性質(zhì).,2. 方差定義; 性質(zhì);,3. 幾類(lèi)常見(jiàn)分布的數(shù)學(xué)期望，方差.,5. 相關(guān)系數(shù)的定義; 性質(zhì).,4. 協(xié)方差定義; 性質(zhì).,6. 幾類(lèi)矩的定義.,二. 課堂練習(xí):,137,1. 一臺(tái)設(shè)備由三大部件構(gòu)成, 在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)中各部件需要調(diào)整的概率分別為0.1, 0.2和0.3, 假設(shè)各部件的狀

40、態(tài)相互獨(dú)立, 以X表示同時(shí)需要調(diào)整的部件數(shù), 試求X的數(shù)學(xué)期望和方差.,138,139,第五章 大數(shù)定律及中心極限定理,1. 大數(shù)定律,一. 問(wèn)題的提出:,提法一: 當(dāng)n足夠大時(shí), 頻率 與概率p有較大偏差的概率很小. 用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)講, 就是要證明:對(duì)于任意0,140,提法二: 強(qiáng)大數(shù)定律, 即證明：,1. 切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況,設(shè)r.v.X1, X2, , Xn, 相互獨(dú)立, 且具有相同的數(shù)學(xué)期 望和方差:,141,性質(zhì):,142,143,2. 中心極限定理,一. 問(wèn)題提出:,對(duì)于獨(dú)立隨機(jī)變量序列1, 2, , n, ,假定Ei, Di存在, 令,144,1. 獨(dú)立同分布的中心極限定理

41、:,設(shè) r.v. Xk(k=1, 2, )相互獨(dú)立, 服從同一分布(i.i.d.) 且具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差:,145,2. 李雅普諾夫定理:,146,3. 德莫佛-拉普拉斯定理:,147,例2. 設(shè)某車(chē)間有200臺(tái)車(chē)床, 每臺(tái)車(chē)床由于種種原因出現(xiàn)停車(chē), 且每臺(tái)車(chē)床開(kāi)車(chē)的概率為0.6, 假定每臺(tái)車(chē)床停或開(kāi)車(chē)是相互獨(dú)立的. 若每臺(tái)車(chē)床開(kāi)車(chē)時(shí)需消耗1000W電能, 問(wèn)要以99.9%的概率保證這個(gè)車(chē)間不致因供電不足而影響生產(chǎn)，需供應(yīng)多少電能？,148,練習(xí): 1. 抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個(gè)，則認(rèn)為這批產(chǎn)品不能接受，問(wèn)應(yīng)檢查多少個(gè)產(chǎn)品，可使次品率為10%的一批產(chǎn)品不能被接受的概率達(dá)

42、到0.9? (147個(gè)) 2. 一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)，由n個(gè)相互獨(dú)立起作用的部件組成，每個(gè)部件的可靠度為0.9，且必須至少有80%的部件工作才能使整個(gè)系統(tǒng)工作，問(wèn)n至少為多少才能使系統(tǒng)的可靠度為0.95? (25個(gè)) 3. 設(shè)某電話(huà)總機(jī)要為2000個(gè)用戶(hù)服務(wù)，在最忙時(shí)，平均每戶(hù)有3%的時(shí)間占線(xiàn)，假設(shè)各戶(hù)是否打電話(huà)是相互獨(dú)立的，問(wèn)若想以99%的可能性滿(mǎn)足用戶(hù)的要求，最少需要多少條線(xiàn)路？(79條),149,第六章 樣本及抽樣分布,1. 隨機(jī)樣本,一. 定義:在統(tǒng)計(jì)學(xué)中, 我們把所研究的全部元素組成的集 合稱(chēng)作母體或總體, 總體中的每一個(gè)元素稱(chēng)為個(gè)體. (可分 為有限總體和無(wú)限總體).,二. 定義:設(shè)X是

43、具有分布函數(shù)F的r.v.,若X1, X2,Xn是具 有同一分布函數(shù)F的相互獨(dú)立的r.v.,則稱(chēng)為從分布函數(shù)F (或總體F或總體X)得到的容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本, 簡(jiǎn)稱(chēng) 樣本, 它們的觀(guān)察值x1,x2, , xn稱(chēng)為樣本值, 又稱(chēng)為X的n 個(gè)獨(dú)立的觀(guān)察值.,150,結(jié)論,151,2. 抽樣分布,一. 定義: 設(shè)X1, X2, , Xn是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本, 又設(shè) g(X1, X2, , Xn)是一個(gè)連續(xù)函數(shù), 如果g中不含有未知參 數(shù), 則稱(chēng)g(X1, X2, , Xn)為統(tǒng)計(jì)量.,152,二. 常用的統(tǒng)計(jì)量:,153,定義：統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù), 它是一個(gè)隨機(jī)變量. 統(tǒng)計(jì)量的分布稱(chēng)為抽樣分布.

44、,注,結(jié)論,154,三. 幾種常用的統(tǒng)計(jì)分布:,2. 分布與2(n)分布的關(guān)系：,155,注,3. 2(n)分布的性質(zhì)：,156,157,(二) t-分布:,說(shuō)明,158,注,159,(四) F分布:,160,161,例題,0.1,162,四. 正態(tài)總體樣本的均值與樣本方差的分布:,結(jié)論,重要定理,163,164,第七章 參數(shù)估計(jì),1. 點(diǎn)估計(jì),一. 問(wèn)題的提法:,165,二. 矩估計(jì)法:,166,樣本矩Ak依概率收斂于相應(yīng)的總體矩, 而樣本矩的連續(xù)函數(shù)依概率收斂于相應(yīng)的總體矩的連續(xù)函數(shù).,依據(jù),167,三. 極大似然估計(jì)方法:,說(shuō)明,168,理論依據(jù),169,極大似然估計(jì)的求解方法:,170

45、,例2. 設(shè)X服從a, b區(qū)間上的均勻分布, 求a和 b的極大似然 估計(jì)和矩估計(jì)量.,極大似然估計(jì)的性質(zhì):,171,2. 估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn),1 無(wú)偏性:,(2)例子,S2是D(X)的無(wú)偏估計(jì)量.,(3) 有偏估計(jì)向無(wú)偏估計(jì)的轉(zhuǎn)化：-一般化方法。,172,2有效性:,173,3一致性:,結(jié)論,切比雪夫不等式，大數(shù)定律,174,3. 區(qū)間估計(jì),一. 問(wèn)題引入:,1. 定義:,175,說(shuō)明,1.置信區(qū)間的直觀(guān)含義.,176,二. 求置信區(qū)間的一般思路:,1. 設(shè)法構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量Z=Z(X1, X2, , Xn;),除參數(shù) 外, Z不包含其他任何未知參數(shù), Z的分布 已知(或可求 出),并且不依賴(lài)于

46、參數(shù), 也不依賴(lài)于 其他任何未知參 數(shù).,177,4.正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì),一. 單個(gè)正態(tài)總體的均值與方差的區(qū)間估計(jì):,178,二. 兩個(gè)正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì):,179,180,三. 兩個(gè)總體方差比的置信區(qū)間:,181,5. (0-1)分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì),例 設(shè)自一大批產(chǎn)品的100個(gè)樣品中, 得一級(jí)品60個(gè), 求這批產(chǎn)品的一級(jí)品率p的置信度為0.95的置信區(qū)間.,182,6. 單側(cè)置信區(qū)間,1. 定義:,183,第八章 假設(shè)檢驗(yàn),1. 假設(shè)檢驗(yàn),一. 基本思想:,例1. 某車(chē)間用一臺(tái)包裝機(jī)包裝葡萄糖,包得的袋裝糖重是 一個(gè)隨機(jī)變量, 它服從正態(tài)分布. 當(dāng)機(jī)器正常時(shí),其均值為 0.5公斤,

47、標(biāo)準(zhǔn)差為0.015公斤. 某日開(kāi)工后為檢驗(yàn)包裝機(jī)是 否正常,隨機(jī)地抽取它所包裝的9袋,稱(chēng)得凈重為(公斤) 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512 問(wèn)機(jī)器是否正常?,184,假設(shè)檢驗(yàn)所采用的方法是一種反正法: 先假設(shè)結(jié)論成立, 然后在這個(gè)結(jié)論成立的條件下進(jìn)行推導(dǎo)和運(yùn)算, 如果得到矛盾, 則推翻原來(lái)的假設(shè), 結(jié)論不成立, 這 里的矛盾是與實(shí)際推斷原理的矛盾, 即如果 “ 小概率事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生了”, 則認(rèn)為原假設(shè)不成立, 因此, 假設(shè)檢驗(yàn)是一種帶有概率性質(zhì)的反證法.,基本思想,二. 基本概念與術(shù)語(yǔ):,1. 稱(chēng)給定的(0 1)為顯著性水平.,185,說(shuō)明,186,5. 假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟：,187,三. 假設(shè)檢驗(yàn)的兩類(lèi)錯(cuò)誤:,1. 第一類(lèi)錯(cuò)誤: 如果原假設(shè)H0成立,而觀(guān)察值落入拒絕域,從而作出拒絕H0的結(jié)論,稱(chēng)作第一類(lèi)錯(cuò)誤,又稱(chēng)“棄真”的錯(cuò)誤.由定義知, 顯著性水平恰好是犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率.,2. 第二類(lèi)錯(cuò)誤: 如果原假設(shè)H0不成立, 而觀(guān)察值未落入拒絕域,從而作出接受H0的結(jié)論,稱(chēng)作第二類(lèi)錯(cuò)誤, 又稱(chēng)“取偽”的錯(cuò)誤,通常記作.,188,四. 雙邊假設(shè)檢驗(yàn)和單邊假設(shè)檢驗(yàn):,189,190,2 正態(tài)總體