1、惠州市2014屆高三第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題(理科） （本試卷共4頁(yè)，21小題，滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘）注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。2選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。3非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小

2、題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知集合，則 （ ）A. B. C. D.2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.已知平面向量，且，則向量( )A. B. C. D.4.已知直線與直線平行且與圓：相切,則直線的方程是( ) A. B. 或 C. D. 或5.對(duì)于平面、和直線、,下列命題中真命題是( )A.若,則 B.若,則C.若則 D.若,則6.不等式組表示的平面區(qū)域的面積是( ) A. B. 0 C. D. 7.已知函數(shù)，若過點(diǎn)且與曲線相切的切線方程為，則實(shí)數(shù)的值是( ) A. B. C.6 D.98.對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù),定義某

3、種運(yùn)算“”如下:當(dāng)都為正偶數(shù)或正奇數(shù)時(shí),=;當(dāng)中一個(gè)為正偶數(shù),另一個(gè)為正奇數(shù)時(shí),=.則在此定義下,集合中的元素個(gè)數(shù)是( )A.10個(gè) B.15個(gè) C.16個(gè) D.18個(gè)二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，滿分30分其中1415題是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計(jì)算前一題得分（一）必做題：第9至13題為必做題，每道試題考生都必須作答7 98 6 3 89 3 9 8 8 4 1 510 3 111 49.右圖是某高三學(xué)生進(jìn)入高中三年來第次到次的數(shù)學(xué)考試成績(jī)莖葉圖, 根據(jù)莖葉圖計(jì)算數(shù)據(jù)的中位數(shù)為 .10.已知等差數(shù)列,滿足,則此數(shù)列的前項(xiàng)的和 .11.已知直線與直線垂直，則直線的傾斜

4、角 . 12.設(shè)是上的奇函數(shù),. 當(dāng)時(shí)有,則 .13.一物體在力(單位：)的作用下沿與力相同的方向,從處運(yùn)動(dòng)到 (單位：)處,則力做的功為 焦.14.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中,圓的圓心到直線 的距離是 .15.（幾何證明選講選做題）如圖,為圓直徑,切圓于點(diǎn), , ,則等于 .三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟16.（本小題滿分12分）已知函數(shù).(1)求的最大值和最小正周期；(2)若，是第二象限的角，求.17.（本小題滿分12分）某社團(tuán)組織名志愿者利用周末和節(jié)假日參加社會(huì)公益活動(dòng),活動(dòng)內(nèi)容是：1、到各社區(qū)宣傳慰問,倡導(dǎo)文明新風(fēng)；2、到指定的

5、醫(yī)院、福利院做義工,幫助那些需要幫助的人.各位志愿者根據(jù)各自的實(shí)際情況,選擇了不同的活動(dòng)項(xiàng)目,相關(guān)的數(shù)據(jù)如下表所示：宣傳慰問義工總計(jì)20至40歲111627大于40歲15823總計(jì)262450(1) 分層抽樣方法在做義工的志愿者中隨機(jī)抽取6名,年齡大于40歲的應(yīng)該抽取幾名?ABACAEAOA(2) 上述抽取的6名志愿者中任取2名,求選到的志愿者年齡大于40歲的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望.18.（本小題滿分14分）如圖,已知三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直,且,是的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)到面的距離；(2)求二面角的正弦值.19.（本小題滿分14分）已知等差數(shù)列的公差，它的前項(xiàng)和為，若，且成等比數(shù)列.（1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

6、（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.20.（本小題滿分14分）BOxyF1F2PAM在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)已知為等腰三角形（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，是直線上的點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)的軌跡方程21.（本小題滿分14分）已知二次函數(shù),且不等式的解集為.(1) 方程有兩個(gè)相等的實(shí)根,求的解析式.(2) 的最小值不大于,求實(shí)數(shù)的取值范圍.(3) 如何取值時(shí),函數(shù)()存在零點(diǎn),并求出零點(diǎn).惠州市2014屆高三第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué) (理科）參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一選擇題：共8小題，每小題5分，滿分40分題號(hào)12345678答案CBADCADB1.【解析】，故，故選C.2

7、.【解析】，所以點(diǎn)（位于第二象限.故選B.3.【解析】,.故選A.4.【解析】圓的圓心為,半徑為,因?yàn)橹本€,所以,設(shè)直線 的方程為,由題意得或.所以,直線的方程或.故選D.(2） 【解析】對(duì)于平面、和直線、,真命題是“若, 則”.故選C6.【解析】不等式組表示的可行域如圖所示，故面積為.故選A.7.【解析】設(shè)切點(diǎn)為，則 ，又切線l過A、M兩點(diǎn)，則 聯(lián)立、可解得，從而實(shí)數(shù)的值為故選D.8.【解析】從定義出發(fā),抓住的奇偶性對(duì)12實(shí)行分拆是解決本題的關(guān)鍵,當(dāng)同奇偶時(shí),根據(jù)=將12分拆兩個(gè)同奇偶數(shù)的和,當(dāng)一奇一偶時(shí),根據(jù)=將12分拆一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)的積,再算其組數(shù)即可.若同奇偶,有,前面的每種可以交

8、換位置,最后一種只有1個(gè)點(diǎn),這時(shí)有;若一奇一偶,有,每種可以交換位置,這時(shí)有;共有個(gè).故選B二填空題：共7小題，每小題5分，滿分30分其中1415題是選做題，考生只能選做一題994.5 1035 11 （或） 12 1336 14 15 59.【解析】從莖葉圖中可知14個(gè)數(shù)據(jù)排序?yàn)椋?9 83 86 88 91 93 94 95 98 98 99 101 103 114中位數(shù)為94與95的平均數(shù)94.5 .10.【解析】.11.【解析】直線與直線垂直得，.12.【解析】.13.【解析】14.【解析】由得圓為,圓的圓心直線的直角坐標(biāo)方程為，所以點(diǎn)到直線的距離是.15.【解析】連接,切圓于點(diǎn),.又

9、，是中點(diǎn)，.三、解答題：16.解(1) 4分 的最大值為2,5分，最小正周期為 6分(2)由(1)知,所以,即 8分又是第二象限的角,所以10分所以 12分17解：(1)若在做義工的志愿者中隨機(jī)抽取6名,則抽取比例為2分 年齡大于40歲的應(yīng)該抽取人. 4分 (2)在上述抽取的6名志愿者中任取2名,假設(shè)選到年齡大于40歲的人數(shù)為, 6名志愿者中有2人的年齡大于40歲,其余4人的年齡在20到40歲之間, 可能的取值為. 5分則, 8分的分布列為10分 的數(shù)學(xué)期望為 12分18（本小題滿分14分）解: (1)取的中點(diǎn),連、則面,的長(zhǎng)就是所要求的距離. 3分 、,在直角三角形中,有6分（另解:由 (2

10、)連結(jié)并延長(zhǎng)交于,連結(jié)、.則就是所求二面角的平面角. 9分 作于,則在直角三角形中,在直角三角形中,12分 ,故所求的正弦值是 14分 方法二: (1)以為原點(diǎn),、分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系.則有、2分 設(shè)平面的法向量為則由由,4分 則點(diǎn)到面的距離為6分 (2) 8分 設(shè)平面的法向量為則由知:由知:取 10分 由(1)知平面的法向量為 11分 則. 13分 結(jié)合圖形可知,二面角的正弦值是 14分 19.（本題滿分14分）解：（1）數(shù)列是等差數(shù)列且，. 2分 成等比數(shù)列，即4分 由，解得或5分 6分（2）證明;由（1）可得， 7分所以. 8分所以. 10分 ，. 11分，數(shù)列是遞增數(shù)列，.13

11、分. 14分20解：（1）設(shè)，由題意,可得,即， 2分 整理得，得(舍)或，所以. 4分 （2）由（1）知,可得橢圓方程為. 直線方程為 5分 兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組,消去y并整理得6分 解得得方程組的解 8分 不妨設(shè),設(shè)的坐標(biāo)為則， 10分 由得.于是 11分 由得，化簡(jiǎn)得， 13分 將代入得，由得.因此,點(diǎn)的軌跡方程是. 14分 21解：的解集為,的解集為, 1分 ,且方程的兩根為 即， 2分 （1）方程有兩個(gè)相等的實(shí)根,即有兩個(gè)相等的實(shí)根 , 或 3分 , 4分 （2）,的最小值為, 5分 則,解得, 7分 , 8分 （3）由,得 ()當(dāng)時(shí),方程() 有一解,函數(shù)有一零點(diǎn)； 9分 當(dāng)時(shí), 方