1、3 線性方程組的解,1,一、線性方程組的表達式,一般形式 向量方程的形式 方程組可簡化為 AX = b ,增廣矩陣的形式 向量組線性組合的形式,2,二、線性方程組的解的判定,設有 n 個未知數 m 個方程的線性方程組,定義：線性方程組如果有解，就稱它是相容的；如果無解， 就稱它是不相容的,問題1：方程組是否有解？ 問題2：若方程組有解，則解是否唯一？ 問題3：若方程組有解且不唯一，則如何掌握解的全體？,m、n 不一定相等！,3,定理：n 元線性方程組 Ax = b 無解的充分必要條件是 R(A) R(A, b)； 有唯一解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) = n ； 有無限多解的

2、充分必要條件是 R(A) = R(A, b) n ,分析：只需證明條件的充分性，即 R(A) R(A, b) 無解； R(A) = R(A, b) = n 唯一解； R(A) = R(A, b) n 無窮多解 那么 無解 R(A) R(A, b) ； 唯一解 R(A) = R(A, b) = n ； 無窮多解 R(A) = R(A, b) n ,4,證明：設 R(A) = r ，為敘述方便，不妨設 B = (A, b) 的行最 簡形矩陣為 第一步：往證 R(A) R(A, b) 無解 若 R(A) R(A, b) ，即 R(A, b) = R(A)1，則 dr+1 = 1 于是 第 r +1

3、行對應矛盾方程 0 = 1，故原線性方程組無解,R(A) R(A, b) R(A)1,前 r 列,后 n - r 列,5,前 n 列,前 r 列,第二步：往證 R(A) = R(A, b) = n 唯一解 若 R(A) = R(A, b) = n， 故原線性方程組有唯一解,后 n - r 列,則 dr+1 = 0 且 r = n，,對應的線性方程組為,從而 bij 都不出現.,6,前 r 列,n 列,第二步：往證 R(A) = R(A, b) = n 唯一解 若 R(A) = R(A, b) = n， 故原線性方程組有唯一解,則 dr+1 = 0 且 bij 都不出現.,即 r = n，,前

4、r 行,后 mr 行,后 n - r 列,n 行,對應的線性方程組為,后 mn 行,7,第三步：往證 R(A) = R(A, b) n 無窮多解 若 R(A) = R(A, b) n ， 對應的線性方程組為,前 r 列,則 dr+1 = 0 .,后 n - r 列,即 r n ，,8,令 xr+1, , xn 作自由變量，則,再令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, , xn = cn-r ，則,線性方程組的通解,9,例：求解非齊次線性方程組,解：,R(A) = R(A, b) = 3 4，故原線性方程組有無窮多解,10,備注：,有無限多解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b)

5、 = r n ，這時,還能根據 R(A) = R(A, b) = r n 判斷該線性方程組有無限多解嗎？,11,同解,返回,12,解（續(xù)）： 即得與原方程組同解的方程組 令 x3 做自由變量，則 方程組的通解可表示為 ,13,例：求解非齊次線性方程組,解：,R(A) = 2，R(A, b) = 3 ，故原線性方程組無解,14,例：求解齊次線性方程組,提問：為什么只對系數矩陣 A 進行初等行變換變?yōu)樾凶詈喰?矩陣？,答：因為齊次線性方程組 Ax = 0 的常數項都等于零，于是 必有 R(A, 0) = R(A) ，所以可從 R(A) 判斷齊次線性方程組 的解的情況,15,例：設有線性方程組,問

6、l 取何值時，此方程組有(1) 唯一解；(2) 無解；(3) 有無 限多個解？并在有無限多解時求其通解,定理：n 元線性方程組 Ax = b 無解的充分必要條件是 R(A) R(A, b)； 有唯一解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) = n ； 有無限多解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) n ,16,解法1：對增廣矩陣作初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣,17,附注： 對含參數的矩陣作初等變換時，由于 l +1， l +3 等因式可能等于零，故不宜進行下列的變換： 如果作了這樣的變換，則需對 l +1 = 0（或 l +3 = 0）的情況另作討論,18,分析： 討論方程

7、組的解的情況，就是討論參數 l 取何值時，r2 、r3 是非零行 在 r2 、r3 中，有 5 處地方出現了l ，要使這 5 個元素等于零， l = 0，3，3，1 實際上沒有必要對這 4 個可能取值逐一進行討論，先從方程組有唯一解入手,19,于是 當 l 0 且 l 3 時，R(A) = R(B) = 3 ，有唯一解 當 l = 0 時，R(A) = 1， R(B) = 2 ，無解 當 l = 3 時，R(A) = R(B) = 2 ，有無限多解,20,解法2：因為系數矩陣 A 是方陣，所以方程組有唯一解的充 分必要條件是 |A| 0 ,于是當 l 0 且 l 3 時，方程組有唯一解,21,

8、當 l = 0 時， R(A) = 1， R(B) = 2 ，方程組無解,當 l = 3 時， R(A) = R(B) = 2 ，方程組有無限多個解，其通解為,22,定理：n 元線性方程組 Ax = b 無解的充分必要條件是 R(A) R(A, b)； 有唯一解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) = n ； 有無限多解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) n ,分析：因為對于 Ax = 0 必有 R(A, 0) = R(A) ，所以可從 R(A) 判斷齊次線性方程組的解的情況,定理：n 元齊次線性方程組 Ax = 0 有非零解的充分必要條件 是 R(A) n ,定理：線性

9、方程組 Ax = b 有解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) ,定理：矩陣方程 AX = B 有解的充分必要條件是 R(A) = R(A, B) ,23,定理：矩陣方程 AX = B 有解的充分必要條件是 R(A) = R(A, B) ,證明：設 A 是 mn 矩陣， B 是 ml 矩陣， X 是 nl 矩陣. 把 X 和 B 按列分塊，記作 X = ( x1, x2, , xl ) ，B = ( b1, b2, , bl ) 則 即矩陣方程 AX = B 有解 線性方程組 Axi = bi 有解 R(A) = R( A, bi ),24,設 R(A) = r ，A 的行最簡形矩陣

10、為 ，則 有 r 個非零行， 且 的后 mr 行全是零 再設 從而 ,矩陣方程 AX = B 有解 線性方程組 Axi = bi 有解 R(A) = R( A, bi ) 的后 mr 個元素全是零 的后 mr 行全是零 R(A) = R(A, B) ,25,定理：矩陣方程 AX = B 有解的充分必要條件是 R(A) = R(A, B) ,定理：設 AB = C ，則 R(C) minR(A), R(B) ,證明：因為 AB = C ，所以矩陣方程 AX = C 有解 X = B， 于是 R(A) = R(A, C) R(C) R(A, C) ，故 R(C) R(A) 又 (AB)T = CT，即 BTAT = CT，所以矩陣方程 BTX = CT 有解 X = AT ，同理可得，R(C) R(B) 綜上所述，可知 R(C) minR(A), R(B) ,26,非齊次線性方程組,無解,否