1、抽象函數(shù)單調(diào)性和奇偶性1. 抽象函數(shù)的圖像判斷單調(diào)性例1如果奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)且有最小值為5，那么在區(qū)間上是( )A. 增函數(shù)且最小值為B. 增函數(shù)且最大值為C. 減函數(shù)且最小值為D. 減函數(shù)且最大值為分析：畫出滿足題意的示意圖，易知選B。2、抽象函數(shù)的圖像求不等式的解集例2、已知定義在上的偶函數(shù)滿足，并且在上為增函數(shù)。若，則實(shí)數(shù)的取值范圍 .二、抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性1.證明單調(diào)性例3已知函數(shù)f(x)= ,且f(x),g(x)定義域都是R,且g(x)0, g(1) =2,g(x) 是增函數(shù). .求證： f(x)是R上的增函數(shù).解:設(shè)x1x2因?yàn)?，g(x)是R上的增函數(shù), 且g(x)0。

2、故g(x1) g(x2) 0。 g(x1)+1 g(x2)+1 0， 0 - 0。f(x1)- f(x2)=- =1-(1-) =-0?？梢酝瞥觯篺(x1) f(x2)，所以f(x)是R上的增函數(shù)。例4已知對(duì)一切，滿足，且當(dāng)時(shí)，求證：（1）時(shí)，（2）在R上為減函數(shù)。證明：對(duì)一切有。且，令，得， 現(xiàn)設(shè)，則，而 ，設(shè)且， 則 ，即為減函數(shù)。 2.證明奇偶性例5已知的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y滿足，求證：是偶函數(shù)。分析：在中，令，得 令，得于是，故是偶函數(shù)。三、求參數(shù)范圍 這類參數(shù)隱含在抽象函數(shù)給出的運(yùn)算式中，關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性和它在定義域內(nèi)的增減性，去掉“”符號(hào)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式組求解，但

3、要特別注意函數(shù)定義域的作用。例6已知是定義在（）上的偶函數(shù)，且在（0，1）上為增函數(shù)，滿足，試確定的取值范圍。解：是偶函數(shù)，且在（0，1）上是增函數(shù)， 在上是減函數(shù)， 由得。 （1）當(dāng)時(shí)，不等式不成立。（2）當(dāng)時(shí)， （3）當(dāng)時(shí)， ，綜上所述，所求的取值范圍是四、不等式這類不等式一般需要將常數(shù)表示為函數(shù)在某點(diǎn)處的函數(shù)值，再通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào)“”，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式求解。例7已知函數(shù)對(duì)任意有，當(dāng)時(shí)，求不等式的解集。解：設(shè)且， 則， ，則 ， ， 故為增函數(shù)， 又 因此不等式的解集為。五、綜合問(wèn)題求解解題時(shí)需把握好如下三點(diǎn)：一是注意函數(shù)定義域的應(yīng)用，二是利用函數(shù)的奇偶性去掉函數(shù)符號(hào)“”前的“

4、負(fù)號(hào)”，三是利用函數(shù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào)“”。例8.設(shè)函數(shù)定義在R上，當(dāng)時(shí)，且對(duì)任意，有，當(dāng)時(shí)。（1）證明；（2）證明：在R上是增函數(shù)；（3）設(shè)， ，若，求滿足的條件。解：（1）令得， 或。 若，當(dāng)時(shí)，有，這與當(dāng)時(shí)，矛盾， 。 （2）設(shè)，則，由已知得，因?yàn)?，若時(shí)，由，（3）由得得（2）從（1）、（2）中消去得，因?yàn)?即。例9. 已知是定義在上的奇函數(shù)，且,若時(shí)，有.（1）判斷函數(shù)在上是增函數(shù)，還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論；（2）解不等式：f(x+)f().解：（1）設(shè)任意x1,x21,1,且x1x2.由于f(x)是定義在上的奇函數(shù)，f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1).因?yàn)閤10f(x2)+f(x1)0,即f(x2)f(x1),所以函數(shù)f(x)在1，1上是增函數(shù).（2）由不等式f(x+)f()得,解得1x