1、9.7拋物線,基礎(chǔ)知識自主學習,課時作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識自主學習,1.拋物線的概念 平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離 的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的 ，直線l叫做拋物線的 .,知識梳理,焦點,相等,準線,2.拋物線的標準方程與幾何性質(zhì),1.拋物線y22px (p0)上一點P(x0，y0)到焦點F 的距離|PF|x0 ，也稱為拋物線的焦半徑. 2.y2ax的焦點坐標為 ，準線方程為x . 3.設(shè)AB是過拋物線y22px(p0)焦點F的弦， 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 (1)x1x2 ，y1y2p2. (2)弦長|AB|x1x2p

2、(為弦AB的傾斜角). (3)以弦AB為直徑的圓與準線相切. (4)通徑：過焦點垂直于對稱軸的弦，長等于2p，通徑是過焦點最短的弦.,判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線.() (2)方程yax2(a0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線，且其焦點坐標是( ，0)，準線方程是x .() (3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.() (4)AB為拋物線y22px(p0)的過焦點F( ，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2 ，y1y2p2，弦長|AB|x1x2p.(),考點自測,A.(0,2

3、) B.(0,1) C.(2,0) D.(1,0),答案,解析,1.(2016四川)拋物線y24x的焦點坐標是,對于拋物線y2ax，其焦點坐標為 ， 對于y24x，焦點坐標為(1,0).,A.9 B.8 C.7 D.6,答案,解析,2.(2016甘肅張掖一診)過拋物線y24x的焦點的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，如果x1x26，則|PQ|等于,3.設(shè)拋物線y28x的準線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是,Q(2,0)，設(shè)直線l的方程為yk(x2)，代入拋物線方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20， 由(4k28)24

4、k24k264(1k2)0， 解得1k1.,答案,解析,A. B.2,2 C.1,1 D.4,4,幾何畫板展示,4.(教材改編)已知拋物線的頂點是原點，對稱軸為坐標軸，并且經(jīng)過點P(2，4)，則該拋物線的標準方程為_.,設(shè)拋物線方程為y22px(p0)或x22py(p0).將P(2，4)代入，分別得方程為y28x或x2y.,答案,解析,y28x或x2y,5.(2017合肥調(diào)研)已知拋物線y22px(p0)的準線與圓x2y26x70相切，則p的值為_.,2,答案,解析,題型分類深度剖析,題型一拋物線的定義及應(yīng)用,例1設(shè)P是拋物線y24x上的一個動點，若B(3,2)，則|PB|PF|的最小值為_.

5、,答案,解析,4,如圖，過點B作BQ垂直準線于點Q， 交拋物線于點P1， 則|P1Q|P1F|.則有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4. 即|PB|PF|的最小值為4.,幾何畫板展示,引申探究 1.若將本例中的B點坐標改為(3,4)，試求|PB|PF|的最小值.,解答,由題意可知點(3,4)在拋物線的外部. |PB|PF|的最小值即為B，F(xiàn)兩點間的距離，,幾何畫板展示,2.若將本例中的條件改為：已知拋物線方程為y24x，直線l的方程為xy50，在拋物線上有一動點P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l的距離為d2，求d1d2的最小值.,解答,由題意知，拋物線的焦點為F(1,0). 點P到y(tǒng)軸的距離d

6、1|PF|1， 所以d1d2d2|PF|1. 易知d2|PF|的最小值為點F到直線l的距離， 所以d1d2的最小值為3 1.,幾何畫板展示,與拋物線有關(guān)的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān).由于拋物線的定義在運用上有較大的靈活性，因此此類問題也有一定的難度.“看到準線想焦點，看到焦點想準線”，這是解決拋物線焦點弦有關(guān)問題的重要途徑.,思維升華,跟蹤訓練1設(shè)P是拋物線y24x上的一個動點，則點P到點A(1,1)的距離與點P到直線x1的距離之和的最小值為_.,答案,解析,如圖，易知拋物線的焦點為F(1,0)，準線是x1， 由拋物線的定義知：點P到直線x1的距離等于點P 到F的距離.于是，問題

7、轉(zhuǎn)化為在拋物線上求一點P， 使點P到點A(1,1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和最小， 顯然，連接AF與拋物線相交的點即為滿足題意的點， 此時最小值為 .,幾何畫板展示,題型二拋物線的標準方程和幾何性質(zhì),命題點1求拋物線的標準方程 例2已知雙曲線C1： (a0，b0)的離心率為2.若拋物線C2：x22py(p0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為,C.x28y D.x216y,答案,解析,命題點2拋物線的幾何性質(zhì) 例3已知拋物線y22px(p0)的焦點為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是過F的直線與拋物線的兩個交點，求證： (1)y1y2p2，x1x2 ；,

8、證明,證明,證明,(3)以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切.,(1)求拋物線標準方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標準方程只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程. (2)在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問題時，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點來解題，特別是涉及焦點、頂點、準線的問題更是如此.,思維升華,跟蹤訓練2(1)(2016全國乙卷)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點.已知|AB|4 ，|DE|2 ，則C的焦點到準線的距離為 A.2 B.4 C.6 D.8,答案,解析,(2)(2016

9、昆明三中、玉溪一中統(tǒng)考)拋物線y22px(p0)的焦點為F，已知點A、B為拋物線上的兩個動點，且滿足AFB120.過弦AB的中點M作拋物線準線的垂線MN，垂足為N，則 的最大值為,答案,解析,A. B.1 C. D.2,設(shè)|AF|a，|BF|b，分別過A、B作準線的垂線，垂足分別為Q、P， 由拋物線的定義知，|AF|AQ|，|BF|BP|，,在梯形ABPQ中，2|MN|AQ|BP|ab.,|AB|2a2b22abcos 120a2b2ab(ab)2ab.,題型三直線與拋物線的綜合問題,命題點1直線與拋物線的交點問題 例4已知拋物線C：y28x與點M(2,2)，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于

10、A、B兩點.若 0，則k_.,答案,解析,2,命題點2與拋物線弦的中點有關(guān)的問題 例5(2016全國丙卷)已知拋物線C：y22x的焦點為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點，交C的準線于P，Q兩點. (1)若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明：ARFQ；,證明,幾何畫板展示,(2)若PQF的面積是ABF的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程.,解答,幾何畫板展示,設(shè)過AB的直線為l，設(shè)l與x軸的交點為D(x1,0)， 所以x11，x10(舍去). 設(shè)滿足條件的AB的中點為E(x，y).,(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系.

11、(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點.若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式. (3)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”、“整體代入”等解法. 提醒：涉及弦的中點、斜率時一般用“點差法”求解.,思維升華,跟蹤訓練3(2017北京東城區(qū)質(zhì)檢)已知拋物線C：y22px(p0)的焦點為F，直線y4與y軸的交點為P，與C的交點為Q，且|QF| |PQ|. (1)求C的方程；,解答,設(shè)Q(x0,4)，代入y22px，得x0 . 所以|PQ| ，|QF| x0 . 由題設(shè)得 ， 解得p2(

12、舍去)或p2.所以C的方程為y24x.,(2)過F的直線l與C相交于A、B兩點，若AB的垂直平分線l與C相交于M、N兩點，且A、M、B、N四點在同一圓上，求l的方程.,解答,典例(12分)已知拋物線C：ymx2(m0)，焦點為F，直線2xy20交拋物線C于A，B兩點，P是線段AB的中點，過P作x軸的垂線交拋物線C于點Q. (1)求拋物線C的焦點坐標；,答案模板系列7,(2)若拋物線C上有一點R(xR,2)到焦點F的距離為3，求此時m的值；,(3)是否存在實數(shù)m，使ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.,答題模板,思維點撥,直線與圓錐曲線問題的求解策略,規(guī)

13、范解答,返回,返回,課時作業(yè),1.(2017昆明調(diào)研)已知拋物線C的頂點是原點O，焦點F在x軸的正半軸上，經(jīng)過F的直線與拋物線C交于A、B兩點，如果 12，那么拋物線C的方程為 A.x28y B.x24yC.y28x D.y24x,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.已知拋物線y22px(p0)，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點，若線段AB的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,A.x1 B.x1 C.x2

14、D.x2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.(2016上饒四校聯(lián)考)設(shè)拋物線C：y23px(p0)的焦點為F，點M在C上，|MF|5，若以MF為直徑的圓過點(0,2)，則拋物線C的方程為 A.y24x或y28x B.y22x或y28x C.y24x或y216x D.y22x或y216x,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.已知拋物線y22px(p0)的焦點弦AB的兩端點坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，

15、y2)，則 的值一定等于 A.4 B.4 C.p2 D.p2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,若焦點弦ABx軸， 則x1x2 ，x1x2 ； y1p，y2p，y1y2p2， 4. 若焦點弦AB不垂直于x軸， 可設(shè)AB的直線方程為yk(x )， 聯(lián)立y22px，得k2x2(k2p2p)x 0，,5.如圖，過拋物線y22px(p0)的焦點F的直線交拋物線于點A、B，交其準線l于點C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，則此拋物線的方程為,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答

16、案,解析,A.y29xB.y26xC.y23xD.y2 x,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,如圖，分別過A、B作AA1l于A1，BB1l于B1， 由拋物線的定義知：|AF|AA1|，|BF|BB1|， |BC|2|BF|， |BC|2|BB1|，BCB130，AFx60， 連接A1F，則AA1F為等邊三角形，過F作FF1AA1于F1， 則F1為AA1的中點，設(shè)l交x軸于K， 則|KF|A1F1| |AA1| |AF|，即p ， 拋物線方程為y23x.故選C.,6.拋物線y24x的焦點為F，點P(x，y)為該拋物線上的動點，若點A (1,0)，則 的最小值是,答案,解

17、析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.設(shè)F為拋物線C：y23x的焦點，過F且傾斜角為30的直線交C于A，B兩點，則|AB|_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,12,方法二由拋物線焦點弦的性質(zhì)可得,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.已知拋物線C：y22px(p0)的準線為l，過M(1,0)且斜率為 的直線與l相交于點A，與C的一個交點為B，若 ，則p_.,1,2,3,4,5,6

18、,7,8,9,10,11,12,13,2,如圖，由AB的斜率為 ， 知60，又 ， M為AB的中點. 過點B作BP垂直準線l于點P， 則ABP60，BAP30， |BP| |AB|BM|. M為焦點，即 1，p2.,答案,解析,9.已知橢圓E的中心在坐標原點，離心率為 ，E的右焦點與拋物線C：y28x的焦點重合，A，B是C的準線與E的兩個交點，則|AB|_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,6,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*10.設(shè)直線l與拋物線y24x相交于A，

19、B兩點，與圓(x5)2y2r2(r0)相切于點M，且M為線段AB的中點.若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是_.,(2,4),答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.(2016沈陽模擬)已知過拋物線y22px(p0)的焦點，斜率為2 的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)兩點，且|AB|9.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,(1)求該拋物線的方程；,直線AB的方程是y2 (x )，與y22px聯(lián)立， 從而有4x25pxp20. 所以x1x2 ，由拋物線定義得 |AB|x1x2p p9， 所以p4，從而拋物線方程為y28x.,(2)O為坐標原點，C為拋物線上一點，若 ，求的值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,12.設(shè)P，Q是拋物線y22px(p0)上相異兩點，P，Q到y(tǒng)軸的距離的積為4，且 0.,(1)求該拋物線的標準方程；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,y1y24p2，|x1x2| 4p2. 又