1、北師大版 九年級(jí)（下）,2 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（圖像的平移）,二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì),.頂點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸,.位置與開口方向,.增減性與最值,拋物線,頂點(diǎn)坐標(biāo),對(duì)稱軸,位置,開口方向,增減性,最值,y=ax2 (a0),y= ax2 (a0),（0，0）,（0，0）,y軸,y軸,在x軸的上方(除頂點(diǎn)外),在x軸的下方( 除頂點(diǎn)外),向上,向下,當(dāng)x=0時(shí),最小值為0.,當(dāng)x=0時(shí),最大值為0.,在對(duì)稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而減小. 在對(duì)稱軸的右側(cè), y隨著x的增大而增大.,在對(duì)稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而增大. 在對(duì)稱軸的右側(cè), y隨著x的增大而減小.,根據(jù)圖形填表：,我思，我進(jìn)步,在同一

2、坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=2x+1的圖象與二次函數(shù)y=2x的圖象.,二次函數(shù)y=2x+1的圖象與二次函數(shù)y=2x的圖象有什么關(guān)系?它們是軸對(duì)稱圖形嗎?它的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?作圖看一看,二次項(xiàng)系數(shù)為2,開口向上; 開口大小相同;對(duì)稱軸都是 y軸;增減性與也相同.,頂點(diǎn)不同,分別是 原點(diǎn)(0,0)和(0,1).,二次函數(shù)y=2x2+1的 圖象形狀與y=2x2 一樣,仍是拋物線.,二次函數(shù)y=2x2+1的圖象是什么形狀?它與二次函數(shù)y=2x2的圖象有什么相同和不同?它的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?,位置不同; 最小值不同: 分別是1和0.,想一想,在同一坐標(biāo)系中作二次函數(shù)

3、y=-2x2+1和y=-2x2的圖象,會(huì)是什么樣?,二次項(xiàng)系數(shù)為-2,開口向下; 開口大小相同;對(duì)稱軸都是 y軸;增減性與也相同.,頂點(diǎn)不同,分別是 原點(diǎn)(0,0)和(0,1).,二次函數(shù)y=-2x2+1的 圖象形狀與y=-2x2 一樣,仍是拋物線.,二次函數(shù)y=-2x2+1的圖象是什么形狀?它與二次函數(shù)y=-2x2的圖象有什么相同和不同?它的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?,位置不同; 最大值不同: 分別是1和0.,想一想,二次函數(shù)y=ax2+c和y=ax2的圖象和性質(zhì)?,我思，我進(jìn)步,在同一坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=3x-1的圖象與二次函數(shù)y=3x的圖象.,二次函數(shù)y=3x一l的圖象與

4、二次函數(shù)y=3x的圖象有什么關(guān)系?它們是軸對(duì)稱圖形嗎?它的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?,二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)3,開口 向上;開口大小相同;對(duì)稱 軸都是y軸;增減性與也相同.,頂點(diǎn)不同,分別是 原點(diǎn)(0,0)和(0,-1).,二次函數(shù)y=3x2+1的 圖象形狀與y=3x2 一樣,仍是拋物線.,二次函數(shù)y=3x2-1的圖象是什么形狀?它與二次函數(shù)y=3x2的圖象有什么相同和不同?它的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?,位置不同; 最大值不同: 分別是1和0.,想一想,在同一坐標(biāo)系中作二次函數(shù)y=-3x2-1和y=-3x2的圖象,會(huì)是什么樣?,二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)-3,開口 向下;開口大小相同

5、;對(duì)稱 軸都是y軸;增減性與也相同.,頂點(diǎn)不同,分別是 原點(diǎn)(0,0)和(0,-1).,二次函數(shù)y=3x2+1的 圖象形狀與y=3x2 一樣,仍是拋物線.,二次函數(shù)y=-3x2-1的圖象是什么形狀?它與二次函數(shù)y=-3x2的圖象有什么相同和不同?它的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?,位置不同; 最大值不同: 分別是0和-1.,請(qǐng)你總結(jié)二次函數(shù)y=ax2+c的圖象和性質(zhì).,二次函數(shù)y=ax2+c的圖象和性質(zhì),.頂點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸,.位置與開口方向,.增減性與最值,拋物線,頂點(diǎn)坐標(biāo),對(duì)稱軸,位置,開口方向,增減性,最值,y=ax2 +c(a0),y=ax2 +c(a0),（0，c）,（0，c）

6、,y軸,y軸,當(dāng)c0時(shí),在x軸的上方(經(jīng)過一,二象限); 當(dāng)c0時(shí),與x軸相交(經(jīng)過一,二三四象限).,當(dāng)c0時(shí),與x軸相交(經(jīng)過一,二三四象限).,向上,向下,當(dāng)x=0時(shí),最小值為c.,當(dāng)x=0時(shí),最大值為c.,在對(duì)稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而減小. 在對(duì)稱軸的右側(cè), y隨著x的增大而增大.,在對(duì)稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而增大. 在對(duì)稱軸的右側(cè), y隨著x的增大而減小.,根據(jù)圖形填表：,二次函數(shù)y=ax+c與y=ax的關(guān)系,1.相同點(diǎn): (1)圖像都是拋物線, 形狀相同, 開口方向相同. (2)都是軸對(duì)稱圖形, 對(duì)稱軸都是y軸. (3)都有最(大或小)值. (4)a0時(shí), 開口向上,在y軸

7、左側(cè),y都隨x的增大而減小,在y軸右側(cè),y都隨 x的增大而增大. a0時(shí),開口向下,在y軸左側(cè),y都隨x的增大而增大,在y軸右側(cè),y都隨 x的增大而減小 .,2.不同點(diǎn):(1)頂點(diǎn)不同:分別是(0,c),(0,0). (2)最值不同:分別是c和0. 3.聯(lián)系: y=ax+c(a0) 的圖象可以看成y=ax的圖象沿y軸整體平移|c|個(gè)單位得到的.(當(dāng)c0時(shí)向上平移;當(dāng)c0時(shí),向下平移).,習(xí)題,1二次函數(shù) 和y=3x2 的圖象有什么關(guān)系?它是軸對(duì)稱圖形嗎? 它的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?先想一想,如果需要,作草圖看一看. 二次函數(shù) 和 呢?,比較函數(shù) 與 的圖象,(2)在同一坐標(biāo)系中

8、作出二次函數(shù)y=3x2和y=3(x-1)2的圖象,完成下表,并比較3x2和3(x-1)2的值,它們之間有什么關(guān)系?,y=3(x-1)2,觀察圖象,回答問題,(3)函數(shù)y=3(x-1)2的圖象與y=3x2的圖象有什么關(guān)系?它是軸對(duì)稱圖形嗎?它的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?,(4)x取哪些值時(shí),函數(shù)y=3(x-1)2的值隨x值的增大而增大?x取哪些值時(shí),函數(shù)y=3(x-1)2的值隨x的增大而減少？,圖象是軸對(duì)稱圖形 對(duì)稱軸是平行于 y軸的直線:x=1.,頂點(diǎn)坐標(biāo) 是點(diǎn)(1,0).,二次函數(shù)y=3(x-1)2 與y=3x2的圖象形狀 相同,可以看作是拋 物線y=3x2整體沿x軸 向右平移了1 個(gè)單位

9、,(3)函數(shù)y=3(x-1)2的圖象與y=3x2的圖象有什么關(guān)系?它是軸對(duì)稱圖形嗎?它的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?,二次項(xiàng)系數(shù)相同 a0,開口都向上.,想一想,在同一坐標(biāo)系中作二次函數(shù)y=3(x+1)2的圖象,會(huì)在什么位置?,在對(duì)稱軸(直線:x=1)左側(cè) (即x1時(shí)),函數(shù)y=3(x-1)2 的值隨x的增大而減少,.,頂點(diǎn)是最低點(diǎn),函數(shù) 有最小值.當(dāng)x=1時(shí), 最小值是0.,二次函數(shù)y=3(x-1)2 與y=3x2的增減性類似.,(4)x取哪些值時(shí),函數(shù)y=3(x-1)2的值隨x值的增大而增大?x取哪些值時(shí),函數(shù)y=3(x-1)2的值隨x的增大而減少？,在對(duì)稱軸(直線:x=1)左側(cè) (即x1

10、時(shí)),函數(shù)y=3(x-1)2 的值隨x的增大而增大,.,想一想,在同一坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=3(x+1)2的圖象,它的增減性會(huì)是什么樣?,真知 從實(shí)踐走來,1.在上面的坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=3(x+1)2的圖象.它與二次函數(shù)y=3x2和y=3(x-1)2的圖象有什么關(guān)系？它是軸對(duì)稱圖形嗎?它的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?,2.x取哪些值時(shí),函數(shù)y=3(x+1)2的值隨x值的增大而增大?x取哪些值時(shí),函數(shù)y=3(x+1)2的值隨x的增大而減少？,在同一坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x+1)2的圖象,完成下表,并比較3x2,3(x-1)2和3(x+1)2的值,它們

11、之間有什么關(guān)系?,函數(shù)y=a(x-h)2(a0)的圖象和性質(zhì),圖象是軸對(duì)稱圖形. 對(duì)稱軸是平行于 y軸的直線:x= -1.,頂點(diǎn)坐標(biāo) 是點(diǎn)(-1,0).,二次函數(shù)y=3(x+1)2 與y=3x2的圖象形狀 相同,可以看作是拋 物線y=3x2整體沿x軸 向左平移了1 個(gè)單位.,1.函數(shù)y=3(x+1)2的圖象與y=3x2和y=3(x-1)2的圖象有什么關(guān)系?它是軸對(duì)稱圖形嗎?它的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?,二次項(xiàng)系數(shù)相同 a0,開口都向上.,想一想,二次函數(shù)y=3(x+1)2的圖象的增減性會(huì)怎樣?,在對(duì)稱軸(直線:x=-1)左側(cè) (即x-1時(shí)),函數(shù)y=3(x+1)2 的值隨x的增大而減少,.

12、,頂點(diǎn)是最低點(diǎn),函數(shù) 有最小值.當(dāng)x=-1時(shí), 最小值是0.,二次函數(shù)y=3(x+1)2 與y=3x2的增減性類似.,2.x取哪些值時(shí),函數(shù)y=3(x+1)2的值隨x值的增大而增大?x取哪些值時(shí),函數(shù)y=3(x+1)2的值隨x的增大而減少？,在對(duì)稱軸(直線:x=-1)右側(cè) (即x-1時(shí)),函數(shù)y=3(x+1)2 的值隨x的增大而增大,.,猜一猜,函數(shù)y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的圖象的位置和形狀. 請(qǐng)你總結(jié)二次函數(shù)y=a(x-h)2的圖象和性質(zhì).,2.拋物線y=-3(x-1)2和y=-3(x+1)2在x軸的下方(除頂點(diǎn)外),它的開口向下,并且向下無限伸展.,3.拋物

13、線y=-3(x-1)2在對(duì)稱軸(x=1)的左側(cè),當(dāng)x1時(shí), y隨著x的增大而減小.當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)y的值最大(是0); 拋物線y=-3(x+1)2在對(duì)稱軸(x=-1)的左側(cè),當(dāng)x-1時(shí), y隨著x的增大而減小.當(dāng)x=-1時(shí),函數(shù)y的值最大(是0).,二次函數(shù)y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的圖象,4.拋物線y=-3(x-1)2可以看作是拋物線y=-3x2沿x軸向右平移了1個(gè)單位;拋物線y=-3(x+1)2可以看作是拋物線y=-3x2沿x軸向左平移了1個(gè)單位.,X=-1,X=1,1.拋物線y=-3(x-1)2的頂點(diǎn)是(1,0);對(duì)稱軸是直線:x=1;拋物線y=-3(x+1

14、)2的頂點(diǎn)是(-1,0);對(duì)稱軸是直線:x=-1.,1.拋物線y=a(x-h)2的頂點(diǎn)是(h,0),對(duì)稱軸是平行于y軸的直線x=-h.,3.當(dāng)a0時(shí),在對(duì)稱軸(x=h)的左側(cè),y隨著x的增大而減小;在對(duì)稱軸(x=h)右側(cè),y隨著x的增大而增大;當(dāng)x=h時(shí)函數(shù)y的值最小(是0). 當(dāng)a0時(shí),在對(duì)稱軸(x=h)的左側(cè),y隨著x的增大而增大;在對(duì)稱軸(x=h)的右側(cè),y隨著x增大而減小;當(dāng)x=h時(shí),函數(shù)y的值最大(是0).,二次函數(shù)y=a(x-h)2的性質(zhì),2.當(dāng)a0時(shí),拋物線y=a(x-h)2在x軸的上方(除頂點(diǎn)外),它的開口向上,并且向上無限伸展; 當(dāng)a0時(shí),拋物線y=a(x-h)2在x軸的下方

15、(除頂點(diǎn)外),它的開口向下,并且向下無限伸展.,X=h,X=h,4. 越大,開口越小, 越小,開口越大.,二次函數(shù)y=a(x-h)2 與y=ax2的圖象形狀 相同,可以看作是拋 物線y=ax2整體沿x軸 平移了 個(gè)單位(當(dāng)h0時(shí),向右移 個(gè)單位;當(dāng)h0時(shí),向左移 個(gè)單位)得到的.,二次函數(shù)y=a(x-h)2的性質(zhì),.頂點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸,.位置與開口方向,.增減性與最值,拋物線,頂點(diǎn)坐標(biāo),對(duì)稱軸,位置,開口方向,增減性,最值,y=a(x-h)2 (a0),y=a(x-h)2 (a0),（h，0）,（h，0）,直線x=h,直線x=h,在x軸的上方(除頂點(diǎn)外),在x軸的下方( 除頂點(diǎn)外),向上,向下,

16、當(dāng)x=h時(shí),最小值為0.,當(dāng)x=h時(shí),最大值為0.,在對(duì)稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而減小. 在對(duì)稱軸的右側(cè), y隨著x的增大而增大.,在對(duì)稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而增大. 在對(duì)稱軸的右側(cè), y隨著x的增大而減小.,根據(jù)圖形填表：,我思，我進(jìn)步,在同一坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=3x,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的圖象.,二次函數(shù)y=3x,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的圖象有什么關(guān)系?它們的開口方向,對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?作圖看一看,在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=3x,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的圖象.,完成下表,并比較3x2,3(x-1)2和3(x-

17、1)2+2值,它們之間有何關(guān)系?,函數(shù)y=a(x-h)2+k(a0)的圖象和性質(zhì),對(duì)稱軸仍是平行于y軸的直 線(x=1);增減性與y=3x2類似.,頂點(diǎn)是(1,2).,二次函數(shù)y=3(x-1)2+2的 圖象可以看作是拋物線 y=3x2先沿著x軸向右平移 1個(gè)單位,再沿直線x=1向 上平移2個(gè)單位后得到的.,二次函數(shù)y=3(x-1)2+2的圖象和拋物線y=3x,y=3(x-1)2有什么關(guān)系?它的開口方向,對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?,開口向上,當(dāng) X=1時(shí)有最小 值:且最小值=2.,先猜一猜,再做一做,在同一坐標(biāo)系中作二次函數(shù)y=3(x-1)2-2,會(huì)是什么樣?,X=1,對(duì)稱軸仍是平行于y軸的直

18、線 (x=1);增減性與y=3x2類似.,頂點(diǎn)是(1,-2).,二次函數(shù)y=3(x-1)2-2的 圖象可以看作是拋物線 y=3x2先沿著x軸向右平移 1個(gè)單位,再沿直線x=1向 下平移2個(gè)單位后得到的.,二次函數(shù)y=3(x-1)2-2的圖象與拋物線y=3x2和y=3(x-1)2有何關(guān)系?它的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?,開口向上, 當(dāng)x=1時(shí)y有 最小值:且 最小值= -2.,想一想,二次函數(shù)y=-3(x-1)2+2和y=-3x,y=-3(x-1)2的圖象有什么關(guān)系?它們的開口方向,對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?再作圖看一看,X=1,我思，我進(jìn)步,在同一坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=-3(x

19、-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x和y=-3(x-1)2的圖象,二次函數(shù)y=-3(x-1)2+2與y=-3(x-1)2-2和y=-3x,y=-3(x-1)2的圖象有什么關(guān)系?它們是軸對(duì)稱圖形嗎?它的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?當(dāng)x取哪些值時(shí)，y的值隨x值的增大而增大?當(dāng)x取哪些值時(shí)，y的值隨x值的增大而減小?,對(duì)稱軸仍是平行于y軸的直線 (x=1);增減性與y= -3x2類似.,頂點(diǎn)分別是 (1,2)和(1,-2).,二次函數(shù)y=-3(x-1)2+2與 y=-3(x-1)2+2的圖象可 以看作是拋物線y=-3x2 先沿著x軸向右平移1個(gè) 單位,再沿直線x=1向上 (或

20、向下)平移2個(gè)單位后 得到的.,二次函數(shù)y=-3(x-1)2+2與y=-3(x-1)2-2的圖象和拋物線y=-3x,y=-3(x-1)2有什么關(guān)系? 它的開口方向,對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?,開口向下, 當(dāng)x=1時(shí)y有 最大值:且 最大值= 2 (或最大值=-2).,想一想,二次函數(shù)y=-3(x+1)2+2與y=-3(x+1)2-2的圖象和拋物線y=-3x,y=-3(x+1)2,y,X=1,對(duì)稱軸仍是平行于y軸的直線 (x=-1);增減性與y= -3x2類似.,頂點(diǎn)分別是 (-1,2)和(-1,-2).,二次函數(shù)y=-3(x+1)2+2與 y=-3(x+1)2-2的圖象可 以看作是拋物線y=

21、-3x2 先沿著x軸向左平移1個(gè) 單位,再沿直線x=-1向上 (或向下)平移2個(gè)單位后 得到的.,二次函數(shù)y=-3(x-1)2+2與y=-3(x-1)2-2的圖象和拋物線y=-3x,y=-3(x-1)2有什么關(guān)系? 它的開口方向,對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?,開口向下, 當(dāng)x=-1時(shí)y有 最大值:且 最大值= 2 (或最大值=-2).,先想一想,再總結(jié)二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象和性質(zhì).,X=1,二次函數(shù)y=a(x-h)+k與=ax的關(guān)系,一般地,由y=ax的圖象便可得到二次函數(shù)y=a(x-h)+k的圖象:y=a(x-h)+k(a0) 的圖象可以看成y=ax的圖象先沿x軸整體左(右)平移|h|個(gè)單位(當(dāng)h0時(shí),向右平移;當(dāng)h0時(shí)向上平移;當(dāng)k0時(shí),向下平移)得到的. 因此,二次函數(shù)y=a(x-h)+k的圖象是一條拋物線,它的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)與a,h,k的值有關(guān).,二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象和性質(zhì),.頂點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸,.位置與開口方向,.增減性與最值,拋物線,頂點(diǎn)坐標(biāo),對(duì)稱軸,位置,開口方向,增減性,最值,y=a(x-h)2+k(a0),y=a(x-h)2+k(a0),（h，k）,（h，k）,直線x=h,直線x=h,由h和k的符號(hào)確定,由h和k的符號(hào)確定,向上,向下,當(dāng)x