1、【課標(biāo)要求】 1進(jìn)一步了解等差數(shù)列的項(xiàng)與序號之間的規(guī)律 2理解等差數(shù)列的性質(zhì) 3掌握等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用 【核心掃描】 1等差數(shù)列的性質(zhì)及證明(重點(diǎn)) 2運(yùn)用等差數(shù)列定義及性質(zhì)解題(難點(diǎn)),第2課時(shí) 等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用,等差數(shù)列的項(xiàng)與序號的關(guān)系,自學(xué)導(dǎo)引,1,(nm)d,aman,：在等差數(shù)列an中，如果mn2w(m，n，wN)，那么aman2aw是否成立？反過來呢？ 提示：若mn2w(m，n，wN)，則 amana1(m1)da1(n1)d 2a1(w1)d2aw，顯然成立； 在等差數(shù)列an中，若aman2aw， 不一定有mn2w，如常數(shù)列,等差數(shù)列的性質(zhì) (1)等差數(shù)列的項(xiàng)的對稱性

2、在有窮等差數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和即a1ana2an1a3an2 (2)若an、bn分別是公差為d，d的等差數(shù)列，則有 (3)an的公差為d，則d0an為遞增數(shù)列；d0an為遞減數(shù)列；d0an為常數(shù)列,2,等差數(shù)列的公差與斜率的關(guān)系 當(dāng)k0時(shí)，對于常數(shù)函數(shù)f(x)b，上式仍然成立 (2)等差數(shù)列an的公差本質(zhì)上是相應(yīng)直線的斜率 如am，an是等差數(shù)列an的任意兩項(xiàng)，由anam(nm)d，,名師點(diǎn)睛,1,等差數(shù)列的“子數(shù)列”的性質(zhì) 若數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，則 (1)an去掉前幾項(xiàng)后余下的項(xiàng)仍組成公差為d的等差數(shù)列； (2)奇數(shù)項(xiàng)數(shù)列a2n1是公差為2d的等

3、差數(shù)列； 偶數(shù)項(xiàng)數(shù)列a2n是公差為2d的等差數(shù)列； (3)若kn成等差數(shù)列，則akn也是等差數(shù)列； (4)從等差數(shù)列an中等距離抽取項(xiàng)，所得的數(shù)列仍為等差數(shù)列，當(dāng)然公差也隨之發(fā)生變化,2,題型一等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用,(2)設(shè)an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a1a2a315，a1a2a380，求a11a12a13的值 思路探索 分析題目，可利用等差數(shù)列性質(zhì)，也可利用通項(xiàng)公式求解,【例1】 (1)已知等差數(shù)列an中，a2a6a101，求a4a8.,(2)an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，設(shè)公差為d，a1a32a2， a1a2a3153a2， a25， 又a1a2a380， a1a3(5d)(5d)16d3或

4、d3(舍去)， a12a210d35，a11a12a133a12105. 法一運(yùn)用了等差數(shù)列an的性質(zhì)：若mnpq2w，則amanapaq2aw(m，n，p，q，w都是正整數(shù))；法二利用通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為數(shù)列的首項(xiàng)與公差的結(jié)構(gòu)完成運(yùn)算屬于通性通法兩種方法都運(yùn)用了整體代換與方程的思想,在等差數(shù)列an中： (1)若a35，則a12a4_； (2)若a158，a6020，則a75_. 解析(1)a12a4a1(a3a5)(a1a5)a32a3a33a315. (2)法一設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d. a158，a6020，,【變式1】,法三an為等差數(shù)列， a15，a30，a45，a60，a75成等差數(shù)列，設(shè)

5、公差為d， 則a15為首項(xiàng)，a60為第4項(xiàng) a60a153d，即2083d， d4. 從而a75a60d20424. 答案(1)15(2)24,(1)三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，和為6，積為24，求這三個(gè)數(shù)； (2)四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩數(shù)的和為2，首末兩項(xiàng)的積為8，求這四個(gè)數(shù) 思路探索 (1)根據(jù)三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)這三個(gè)數(shù)為 ad，a，ad(d為公差)； (2)四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，且中間兩數(shù)的和已知，可設(shè)為a3d，ad，ad，a3d(公差為2d),題型二等差數(shù)列的設(shè)法與求解,【例2】,解(1)法一設(shè)等差數(shù)列的等差中項(xiàng)為a，公差為d， 則這三個(gè)數(shù)分別為ad，a，ad. 依題意，3a6且a(a

6、d)(ad)24， 所以a2，代入a(ad)(ad)24， 化簡得d216，于是d4， 故三個(gè)數(shù)為2,2,6或6,2，2. 法二設(shè)首項(xiàng)為a，公差為d，這三個(gè)數(shù)分別為a，ad，a2d， 依題意，3a3d6且a(ad)(a2d)24， 所以a2d，代入a(ad)(a2d)24， 得2(2d)(2d)24,4d212， 即d216，于是d4，三個(gè)數(shù)為2,2,6或6,2，2. (2)法一設(shè)這四個(gè)數(shù)為a3d，ad，ad，a3d(公差為2d)， 依題意，2a2，且(a3d)(a3d)8，,即a1，a29d28， d21，d1或d1. 又四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以d0， d1，故所求的四個(gè)數(shù)為2,0,2,4

7、. 法二若設(shè)這四個(gè)數(shù)為a，ad，a2d，a3d(公差為d)， 依題意，2a3d2，且a(a3d)8， 化簡得d24，所以d2或2. 又四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以d0，所以d2， 故所求的四個(gè)數(shù)為2,0,2,4.,利用等差數(shù)列的定義巧設(shè)未知量可以簡化計(jì)算一般地有如下規(guī)律：當(dāng)?shù)炔顢?shù)列an的項(xiàng)數(shù)n為奇數(shù)時(shí)，可設(shè)中間一項(xiàng)為a，再以公差為d向兩邊分別設(shè)項(xiàng)：a2d，ad，a，ad，a2d，；當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)項(xiàng)時(shí)，可設(shè)中間兩項(xiàng)為ad，ad，再以公差為2d向兩邊分別設(shè)項(xiàng)：a3d，ad， ad，a3d，這樣可減少計(jì)算量,已知成等差數(shù)列的四個(gè)數(shù)之和為26，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)之積為40，求這個(gè)等差數(shù)列 解設(shè)此四數(shù)依次為

8、a3d，ad，ad，a3d.,【變式2】,題型三由遞推關(guān)系式構(gòu)造等差數(shù)列求通項(xiàng),(1)求證：數(shù)列bn為等差數(shù)列 (2)試問a1a2是否是數(shù)列an中的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)；如果不是，請說明理由,即a1a2a11，a1a2是數(shù)列an中的項(xiàng)，是第11項(xiàng),已知數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，要對遞推公式進(jìn)行合理變形，構(gòu)造出等差數(shù)列求通項(xiàng)，需掌握常見的幾種變形形式，考查學(xué)生推理能力與分析問題的能力,(1)求證：數(shù)列an2n為等差數(shù)列； (2)設(shè)數(shù)列bn滿足bn2log2(an1n)，求bn的通項(xiàng)公式 解(1)(an12n1)(an2n)an1an2n1(與n無關(guān))， 故數(shù)列an2n為等差數(shù)列，且公差d1.

9、 (2)由(1)可知，an2n(a12)(n1)dn1， 故an2nn1，所以bn2log2(an1n)2n.,【變式3】 在數(shù)列an中，a12，an1an2n1.,【例4】 甲、乙兩人連續(xù)6年對某縣農(nóng)村養(yǎng)雞業(yè)規(guī)模進(jìn)行調(diào)查，提供兩個(gè)不同的信息圖如圖所示甲調(diào)查表明：從第1年每個(gè)養(yǎng)雞場出產(chǎn)1萬只雞上升到第6年平均每個(gè)雞場出產(chǎn)2萬只雞乙調(diào)查表明：由第1年養(yǎng)雞場個(gè)數(shù)30個(gè)減少到第6年10個(gè),題型四等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用,請您根據(jù)提供的信息說明，求 (1)第2年養(yǎng)雞場的個(gè)數(shù)及全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)； (2)到第6年這個(gè)縣的養(yǎng)雞業(yè)比第1年是擴(kuò)大了還是縮小了？請說明理由 (3)哪一年的規(guī)模最大？請說明理由 審題指導(dǎo)

10、 本題為圖表信息題，綜合考查了等差數(shù)列的知識和等差數(shù)列的函數(shù)特征 規(guī)范解答 由題干圖可知，從第1年到第6年平均每個(gè)雞場出產(chǎn)的雞數(shù)成等差數(shù)列，記為an，公差為d1，且a11，a62；從第1年到第6年的養(yǎng)雞場個(gè)數(shù)也成等差數(shù)列，記為bn，公差為d2，且b130，b610； 從第1年到第6年全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)記為數(shù)列cn， 則cnanbn. (2分),所以c2a2b21.22631.2. (6分) (2)c6a6b621020c1a1b130，所以到第6年這個(gè)縣的養(yǎng)雞業(yè)比第1年縮小了 (8分),(3)an1(n1)0.20.2n0.8，bn30(n1)(4)4n34(1n6)， cnanbn(0.2n

11、0.8)(4n34) 0.8n23.6n27.2(1n6) (10分) 所以(1)第2年養(yǎng)雞場的個(gè)數(shù)為26個(gè)，全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)是31.2萬只；(2)到第6年這個(gè)縣的養(yǎng)雞業(yè)比第1年縮小了； (3)第2年的規(guī)模最大(12分),【題后反思】 本題可以按照解析幾何中的直線問題求解，但是，如果換個(gè)角度，利用構(gòu)造等差數(shù)列模型來解決，更能體現(xiàn)出等差數(shù)列這一函數(shù)特征，讓人回味無窮題型設(shè)計(jì)的開放和解答的開放是時(shí)代的要求這種解答方式的轉(zhuǎn)變，同學(xué)們要在學(xué)習(xí)中體會，在體會中升華,某公司經(jīng)銷一種數(shù)碼產(chǎn)品，第1年獲利200萬元，從第2年起由于市場競爭等方面的原因，利潤每年比上一年減少20萬元，按照這一規(guī)律如果公司不開發(fā)

12、新產(chǎn)品，也不調(diào)整經(jīng)營策略，從哪一年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損？ 解由題意可知，設(shè)第1年獲利為a1，第n年獲利為an，則 anan120，(n2，nN*)，每年獲利構(gòu)成等差數(shù)列an，且首項(xiàng)a1200，公差d20， 所以ana1(n1)d200(n1)(20)20n220. 若an11， 即從第12年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損,【變式4】,數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，學(xué)習(xí)時(shí)要善于利用函數(shù)的思想來解決問題，運(yùn)用方程的思想解等差數(shù)列是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量a1，an，n，d，掌握好設(shè)未知數(shù)、列方程、解方程三個(gè)環(huán)節(jié)，常通過“設(shè)而不求，整體代入”來簡化運(yùn)算 已知等差數(shù)列an的公差是正數(shù)，并且a3a712，a4a64，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式 思路分析 其實(shí)這樣的題目我們已有解決它的辦法，但如果細(xì)心觀察，我們發(fā)現(xiàn)得到a3，a7的和與積，于是聯(lián)想到一元二次方程及根與系數(shù)的關(guān)系,方法技巧函數(shù)與方程思想在等差數(shù)列中的應(yīng)用,【示例】,解由等差數(shù)列an的性質(zhì)知：a3a7a