1、雙曲線及其標準方程富源縣第一中學牛自營一、教學目標：1、通過雙曲線軌跡的探索過程，體驗雙曲線的特征，探求總結雙曲線的定義；2、通過類比橢圓的標準方程，推導并掌握雙曲線的標準方程；3、通過對雙曲線概念和標準方程的探索，培養(yǎng)學生觀察分析抽象的能力，體驗解析思想，激發(fā)學生探究事物運動規(guī)律，進一步認清事物的本質特征的興趣；二、學情分析：學生先前已經學習了橢圓，基本掌握了橢圓的有關問題及研究方法，而雙曲線問題，它與橢圓問題有類似性，知識的正遷移作用可在本節(jié)課中充分顯示也就是說，學生在經過前期解析幾何的系統(tǒng)學習，已初步掌握了解析法思想和解析研究的能力，學習本課已具備一定的基礎在學習過程，較橢圓而言，從直觀

2、圖形軌跡到抽象概念的形成，中間一些細節(jié)問題的處理要求學生有更細致入微的分析和更強的領悟性，因此學生概括起來有更高的難度特別是對于為什么需要加絕對值，c 與 a 的有怎么樣大小關系，為什么是這樣的等等另外，與橢圓除了本身內容的區(qū)別之外，初中所學的“反比例函數圖象”在學生的頭腦里有一個原有認知，而這個認知對于現在的學習會產生一定幫助的同時，其方程形式的不同也會帶來一定的認知沖突三、重點難點：重點：雙曲線的定義及其標準方程；難點：準確理解表述雙曲線的定義，標準方程的推導四、教學過程（一） 回顧橢圓，尋求引領方法問題 1：橢圓的第一定義是什么？橢圓的標準方程是怎么樣的？怎么推導而來？問題 2：如何作橢

3、圓？（邊回顧知識，邊播放Flash 課件，動畫展示橢圓的形成過程，注重于研究問題的方法）（二）動手演示，感受雙曲線形成在橢圓定義中，到兩定點的距離之“和”改為到兩定點的距離之“差”為定值，則曲線的1軌跡又會如何？能否利用手頭的工具來演示得到滿足這樣條件的曲線呢？（師生共同研究探索作圖方案，主要解決如何來實現距離之差為定值）總結方法： 取拉鏈，拉開一部分，在拉開的一邊上取其M端點，在另一邊的中部位置取一點分別固定在紙上的兩F1F2個定點 F 和 F 處，（注意 F F的距離要比拉鏈兩點的1212差要大），把筆尖搭在拉鏈頭M 處，隨著拉鏈的拉開或閉合，筆尖就畫出一條曲線（學生動手，老師指導，然后在

4、講臺上演示）M（三）剖析特征，提煉雙曲線定義F1F23.1分析演示結果展示學生畫圖結果一 ：拉鏈在拉開閉攏的過程中，拉開的兩邊長始終相等，即|MF1|=|MF2|+|F1F2|動點 M 變化時， |MF1|與|MF2|在不斷變化，但總有 |MF1|-|MF2|=|F1F2|，而 |F1F2|為定長，所以點 M 到兩定點 F1 和 F2 的距離之差為常數，記為 2a，即 |MF1|-|MF2|=2a展示學生畫圖結果二：M畫出來的曲線開口向左邊（把學生的圖在實物投影下展示，發(fā)現存在的差異，F1F2討論點 M 到 F1 與 F2 兩點的距離的差確切怎樣表示？）展示學生畫圖結果三：拉鏈頭拉不到F2 點

5、，圖畫不出來M（引發(fā)學生思考為什么會畫不出來？|MF1|-|MF2|.F1F2與 |F1F2|有何關系？）3.2 雙曲線定義：（引導學生概括出雙曲線的定義）平面內與兩個定點F1、F2 的距離的差的絕對值等于常數（小于|F1F2|）的點軌跡叫做雙曲線，這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫做雙曲線的焦距2數學簡記：| MF 1 | | MF 2 | 2a （ 0 2a 2c | F1 F 2 | ）（直觀感覺雙曲線有“兩條” （兩支），每一支“有點象”拋物線曾經學過的反比例函數圖象是雙曲線那么雙曲線就是反比例函數圖象？答，不是的，反比例函數圖象是雙曲線，但雙曲線所對應的表達式不一定是反比例函

6、數的形式，下面我們就研究雙曲線的方程）（四）類比橢圓，推導標準方程4.1推導回憶橢圓的標準方程的推導步驟，來推導雙曲線的標準方程（教師提示步驟，叫一學生上臺板演，其余學生自己推導，教師個別指導）整理修改板演學生的結果：設 M ( x, y) ， F1( c,0) ， F2 (c,0) ，由 | MF1 | MF 2 |2a ，得 ( xc)2y2(xc) 2y22a(xc)22(x c)222ayy( x c) 2y2( x c)2y24a ( x c)2y 24a 2cxa 2a(xc) 2y 2(cx a2 )2a 2( xc)2y 2 (c2a 2 ) x2a2 y2a 2 (c2a 2

7、 ) ，令 c2a2b2（ b0），得 b2x2a2y22b2，即x2y2a22 1 ab（討論：推導的過程是一個等價變形的過程嗎？）4.2標準方程雙曲線的標準方程當焦點在 x 軸上，中心在原點時，方程形式：當焦點在 y 軸上，中心在原點時，方程形式：參數 a,b,c 的關系22xy1a 2b 2y2x2a21b 2c2a 2b 2 （ a, b, c0 ）| MF1 | MF2 |2a （實軸長）| F1F2 |2c （焦距）與橢圓的對比(從定義闡述，方程結構特征，a,b,c 之間的關系，焦點坐標的判斷著手分析相同點和不同點，3并用課件表格的形式呈現)（五）應用解題，鞏固知識要點例 1 寫出

8、一個雙曲線的標準方程，并讓同桌寫出相應的焦點坐標及a,b,c 的值（學生自己出題，自己解答，鞏固標準方程及其中相應的數量關系，并找出具有代表性的例子用實物投影共同分析解答的結果）例 2 已知方程x 2y2m 2m1表示焦點在 x 軸上的雙曲線，則 m 的取值范圍是3變式：（1）改為表示焦點在y 軸上的雙曲線呢？（2）改為表示雙曲線呢？（3）若表示橢圓呢？（通過變式進一步鞏固方程的結構特征，并與橢圓加以區(qū)別）例 3 在給出的四個選項中選擇適當的數填入空格，再解題：已知雙曲線的焦點坐標為F1 ( 5,0) , F2 (5,0) ,雙曲線上點 P 到 F1，F2 的差的絕對值等于 _，求雙曲線的標準方程.A. 16B. 6C.10D.0（分析每個選項的特征， 進一步理解定義中 02a2c | F1 F 2 |的條件，通過求解，總結求解雙曲線標準方程的方法和策略）（六）對比總結，整合新學知識1應用雙曲線和橢圓的對比圖表，總結整理雙曲線定義的要點，標準方程的形式2課本練習P60 1，2，33思考（ 1）當 0時，方程 x 2 siny 2 cos1表示什么曲線？（ 2）反比例函數