1、現(xiàn)代分析學(xué),實(shí)變函數(shù)論與泛函分析基礎(chǔ),第七章 度量空間和賦范線性空間,1 度量空間的進(jìn)一步例子,2 度量空間中的極限，稠密集，可分空間,3 連續(xù)映射,第七章 度量空間和賦范線性空間,1 度量空間的進(jìn)一步例子,定義：設(shè) X 為一非空集合，d : XXR+0 為一映射，且滿足,(1) d(x, y) 0，d(x, y) = 0 當(dāng)且僅當(dāng) x = y（正 定性）,(2) d(x, y) d(x, z) + d(y, z)（三點(diǎn)不等式）,注： 距離 d 具有對(duì)稱性， d(x, y)d(y, x) 事實(shí)上，d(x,y) d(x, x)d(y, x)d(y, x)， 同理 d(y, x) d(x, y),

2、 故 d(x, y) d(y, x). 如果 (X, d) 為度量空間，Y 是 X 的非空子集， 則 (Y, d) 也是度量空間，稱為 (X, d ) 的子空間.,則稱 d(x, y) 為x, y之間的距離，稱 (X, d ) 為 度量空間.,例1 離散度量空間,設(shè) X 是任意非空集合，對(duì) X 中任意兩點(diǎn) x,yX, 令,顯然，這樣定義的,這種距離是最粗的。它只能區(qū)分 X 中任意兩個(gè)元素是否相同，不能區(qū)分元素間的遠(yuǎn)近程度。 此例說(shuō)明，在任何非空集合上總可以定義距離，使它成為度量空間。,例2 所有數(shù)列組成的集合 S,稱為 Frchet 組合。,事實(shí)上，對(duì) , 及 = cn S, 由于函數(shù),是單調(diào)

3、增函數(shù)，因此由,得,在上面不等式兩邊同乘,再求和，便得,因此 (S, ) 是距離空間。,例3 有界函數(shù)空間 B(A).,設(shè) A 是個(gè)給定的集合，B(A)表示 A 上有 界實(shí)值(或復(fù)值)函數(shù)全體，對(duì) B(A) 中的任意 兩點(diǎn) x, y, 定義,則 (x, y) 是 B(A) 上的度量，事實(shí)上， (x, y)顯然滿足10，以下證明也滿足20.,對(duì)另一連續(xù)函數(shù) zB(A), 由,所以,例4 可測(cè)函數(shù)空間 M(X).,設(shè) M(X) 表示 X 上連續(xù)實(shí)值 (或復(fù)值)的 L 可測(cè)函數(shù)全體，m 為 L 測(cè)度，若 m(X) , 對(duì) M(X) 中的任意兩個(gè)函數(shù) f, g, 定義,與例2同理可證 d(f, g)

4、是 M(X) 上的度量.事實(shí)上， 對(duì)任意兩個(gè)可測(cè)函數(shù) f (t) 及 g(t), 由于,，,所以這是 X 上的可積函數(shù)，如果把 M(X) 中的兩個(gè)幾乎處處相等的函數(shù)視為M(X),中的同一個(gè)元，那么利用上面不等式及積分性 質(zhì)很容易驗(yàn)證d(f, g) 是度量.,因此 M(X) 按上述距離 d(f, g)成為度量空間。,例5 連續(xù)函數(shù)空間Ca, b.,令Ca, b表示閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)實(shí)值 (或復(fù)值)函數(shù)全體，對(duì) Ca, b 中的任意兩點(diǎn) x, y, 定義,與例3同理可證 (x, y) 是 Ca, b 上的度量.,例6 l2.,定義,則 d 是 l2 上的距離。距離條件10 是容易得 出的，現(xiàn)

5、檢驗(yàn)條件 20,對(duì)任何正整數(shù) n，,都是 Rn 中的元素，由Cauchy不等式,再令右端 n，即得,再令左端的 n，即得,由此可得,即可得條件 20,由上述例子可見(jiàn)，度量空間除了有限維的 歐幾里德空間 Rn 之外，還包括其他的空間.,2 度量空間中的極限，稠密集，可分空間,非空集合 X 引入距離（度量）后，就可以在其上定義極限概念。,定義1 設(shè) (X, d) 為度量空間，d 是距離，定義,定義2 設(shè) (X, d) 為度量空間，xn 是 X 中 的點(diǎn)列，如果存在 xX, 使得,稱點(diǎn)列 xn 收斂于 x . x叫作點(diǎn)列xn的極限，記作,度量空間中點(diǎn)列收斂性質(zhì)與數(shù)列的收斂性質(zhì)有許多共同之處。比如極限

6、的唯一性等等。,定理1 度量空間(X, d) 中的收斂點(diǎn)列xn的 極限是唯一的，且如果xn 收斂于 xX，則 xn 的任意子列xnk也收斂于x.,定義3 設(shè) M 為度量空間 (X, d) 中的點(diǎn)集，定義,定理2 度量空間(X, d) 中的收斂點(diǎn)列xn是有 界集.,定理3 M 為度量空間 (X, d) 中的閉集 當(dāng)且 僅當(dāng) M 中的任意收斂點(diǎn)列xn的極限均在M 中.,下面討論某些具體空間中點(diǎn)列收斂的具體含義。,即按坐標(biāo)收斂。,證明“必要性”：對(duì)任意的 i = 1, 2, . , n, 由于,“充分性”：若對(duì)任意的 i = 1, 2, . , n, 有,2.Ca, b 空間中，函數(shù)列xn 收斂于函

7、數(shù) x Ca, b 當(dāng)且僅當(dāng)xn一致收斂到x .,證明“必要性”：,即 xn 在 a, b 上一致收斂到 x .,“充分性”：若xn 一致收斂到 x , 則對(duì)任給 0, 存在正整數(shù) N, 使得當(dāng) n N 時(shí)，對(duì)任意的 t a, b , 有,于是，當(dāng) n N 時(shí)，有,即按坐標(biāo)收斂。,證明“必要性”：由于,取定 i , 任給 0, 存在正整數(shù) N, 使得當(dāng) m N 時(shí)，有,“充分性”： 任給 0, 因?yàn)榧?jí)數(shù),所以存在正整數(shù) k, 使得,因?yàn)?對(duì)每一個(gè) i , (i = 1, 2, . ), 有,于是， 對(duì)每一個(gè) i , (i = 1, 2, . , k-1), 存在,正整數(shù) Ni, 使得當(dāng) m N

8、i 時(shí)，有,令 N = max N1 , N2 , . , Nk-1 , 當(dāng) m N 時(shí)，有,那么，當(dāng) m N 時(shí)，有,4. 可測(cè)空間 M(X) 中，函數(shù)列fn 收斂于函數(shù) f M(X) 當(dāng)且僅當(dāng)fn依測(cè)度收斂于 f .,證明：與第五章的習(xí)題6,7同理可證.令 gn(t) = fn(t) - f (t) (t X , n=1,2,.).,“必要性”：首先對(duì)任意 0，由于,“充分性”：若,由有界控制收斂定理，,上述幾個(gè)例子表明，盡管在各個(gè)具體空間中各種極限概念不一致（依坐標(biāo)收斂，一致收斂，依測(cè)度收斂等），但當(dāng)我們引入了適當(dāng)?shù)木嚯x后，都可以統(tǒng)一在度量空間中考慮收斂概念，這就為統(tǒng)一處理各個(gè)具體空間提

9、供了方便。,定義4 設(shè) (X, d)為度量空間，E 和 M 是 X 中的 兩個(gè)子集，定義,那么稱集 M 在集 E 中稠密，當(dāng) E = X 時(shí)，稱 M 是 X 中的一個(gè)稠密子集。如果 X 中有一 個(gè)可數(shù)的稠密子集，則稱 X 是可分空間。,例1 n 維歐氏空間 Rn 是可分空間. 事實(shí)上，坐 標(biāo)為有理數(shù)的全體是 Rn 的可數(shù)稠密子集.,例2 離散度量空間 X 是可分空間的充要條件 為 X 是可數(shù)集. 對(duì) X 中任意點(diǎn) x0, 令,對(duì)任意兩點(diǎn) x, y X, x y,因?yàn)?于是， X 中唯一的稠密子集只有 X 本身，因 此 X 是可分空間的充要條件為 X 是可數(shù)集.,例3 l .,定義,容易驗(yàn)證，

10、d 是 l 上的距離。下面證明 l 不可分.,證明：,則 M 與二進(jìn)制小數(shù)一一對(duì)應(yīng)，即 M 與0, 1 等價(jià)，所以 M 的基數(shù)是 c.,對(duì)任意兩點(diǎn) x, y M, x y,顯然,設(shè) C 是 l 中的稠密子集,于是,對(duì)任意 x M, 作,因?yàn)?M 不可數(shù)， 所以上述鄰域的個(gè)數(shù)也是不可數(shù)的, 因?yàn)?C 在 M 中稠密,于是對(duì)任意一個(gè),這說(shuō)明 l 是不可分的.,3 連續(xù)映射,如同數(shù)學(xué)分析中定義實(shí)數(shù)域上連續(xù)函數(shù)一 樣定義度量空間中的連續(xù)映射。,定義1 設(shè) (X, d ) ， (Y, ) 為兩個(gè)度量空間， T 是 X 到 Y 中映射， x0 X . 如果對(duì)任意 的 0, 存在 0, 使得對(duì) X 中一切滿

11、足 d(x, x0 ) 的 x, 有 (Tx, Tx0 ) , 則稱 T 在 x0 連續(xù).,定義1（用鄰域描述） 對(duì) Tx0 的任意 - 鄰域 U = U(Tx0, ), 必有 x0 的 - 鄰域 V = V( x0, ) 使得,如同數(shù)學(xué)分析中的海涅(Heine)定理，可 以證明如下結(jié)論。,定理1 設(shè) T 是 度量空間 (X, d ) 到 (Y, ) 中 的映射，那么 T 在 x0 連續(xù)的充分必要條件是,當(dāng) xnx0 (n) 時(shí)，必有 Txn Tx0 (n).,證明“必要性”：對(duì)任意 0，因?yàn)門(mén) 在 x0 連續(xù)，所以存在 0, 使得對(duì) X 中一切滿足 d(x, x0 ) 的 x, 有 (Tx,

12、 Tx0 ) ,而 xnx0 (n) ，所以對(duì)上述的 0, 存在 N 0, 當(dāng) n N 時(shí)，有必有 d(xn, x0 ) , 于是，有 (Txn, Tx0 ) , 從而，Txn Tx0 (n).,“充分性”：若不然，存在 0 0，對(duì)任意的 0，存在 x X，雖然 d(x , x0 ) ，但是 (Tx, Tx0 ) 0 ,但是 (Txn, Tx0 ) 0 , 這說(shuō)明 Txn 不收斂到 Tx0 . 另一方面，由,即 xnx0 (n) ，由充分條件必有 Txn Tx0 (n)，矛盾，所以 T 在 x0 連續(xù).,定義2 如果映射 T 在 X 的每一點(diǎn)都連續(xù)， 則稱 T 是 X 上的連續(xù)映射. 稱集合,為 Y 的子集 M 在映射 T 下的原像，簡(jiǎn)記為,定理2 設(shè) T 是度量空間 (X, d ) 到 (Y, ) 中 的映射，那么 T 是 X 上的連續(xù)映射充分必要 條件是Y 中的任意開(kāi)集 M 在映射 T 下的原像,證明“必要性”：,因?yàn)?M 是開(kāi)集，所以存在 T