1、第四章 電磁波的傳播4.1 平面電磁波1、電磁場(chǎng)的波動(dòng)方程（1）真空中在，的自由空間中，電磁強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度滿足波動(dòng)方程 （4.1.1） （4.1.2）式中米/秒 （4.1.3）是光在真空中的速度。（2）介質(zhì)中當(dāng)電磁波在介質(zhì)內(nèi)傳播時(shí)，介質(zhì)的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率一般地都隨電磁波的頻率變化，這種現(xiàn)象叫色散。這時(shí)沒有和的一般波動(dòng)方程，僅在單色波（頻率為）的情況下才有 （4.1.4） （4.1.5）式中 （4.1.6）是頻率的函數(shù)。2、亥姆霍茲方程在各向同性的均勻介質(zhì)內(nèi)，假設(shè)，則對(duì)于單色波有 （4.1.7） （4.1.8）這時(shí)麥克斯韋方程組可化為 （4.1.9） （4.1.10） （4.1.11）（4.1.

2、9）式稱為亥姆霍茲方程。由于導(dǎo)出該方程時(shí)用到了的條件，因此，亥姆霍茲方程的解只有滿足時(shí)，才是麥克斯韋方程的解。3、單色平面波亥姆霍茲方程的最簡(jiǎn)單解是單色平面波 （4.1.12） （4.1.13）式中為波矢量，其值為 （4.1.14）平面波在介質(zhì)中的相速度為 （4.1.15）式中和一般是頻率的函數(shù)。算符和作用于單色平面波的場(chǎng)（4.1.12）式或（4.1.13）式時(shí)，可簡(jiǎn)化為 （4.1.16）即，而。電場(chǎng)和磁場(chǎng)的關(guān)系為 （4.1.17）式中，為波傳播方向上的單位矢量。4、電磁波的能量和能流電磁波的能量密度為 （4.1.18）對(duì)于單色平面波有，故 （4.1.19）單色平面波的能流密度為 （4.1.2

3、0）對(duì)時(shí)間平均的能流密度為 （4.1.21）4.2 電磁波在介質(zhì)交界面上的反射和折射如圖1-3-1所示，取兩介質(zhì)的交界面為xy平面，z軸從介質(zhì)1指向介質(zhì)2。設(shè)平面電磁波從介質(zhì)1入射到交界面上，入射波、反射波和折射波的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為入射波： （4.2.1）反射波： （4.2.2）折射波： （4.2.3）1、反射定律和折射定律電磁波在交界面上反射和折射時(shí)，分別遵守反射定律和折射定律 （4.2.4） （4.2.5）式中為介質(zhì)2相對(duì)于介質(zhì)1的折射率。除鐵磁質(zhì)外，一般介質(zhì)，故可得 （4.2.6）2、反射波和折射波的振幅（1）菲涅耳公式按入射波電矢量的振幅分下列三種情形：（i）垂直于入射面 （4.2.7）

4、 （4.2.8）（ii）平行于入射面 （4.2.9） （4.2.10） （iii）與入射面斜交把三個(gè)波的電矢量的振幅都分解為垂直于入射面的分量和平行于入射面的分量，如圖1-3-2所示，即 （4.2.11） （4.2.12） （4.2.13）結(jié)果得出，和都只與有關(guān)；而和則都只與有關(guān)。具體關(guān)系如下： （4.2.14） （4.2.15） （4.2.16） （4.2.17）可見（i）和(ii)是（iii）的兩種特殊情況。 （2）反射和折射產(chǎn)生的偏振由（4.2.16）式可知，在的情況下，平行于入射面的分量沒有反射波，因而反射波便是垂直于入射面的完全偏振波。這就是光學(xué)中的布儒斯特定律，這時(shí)的入射角稱為布儒

5、斯特角，其值為 （4.2.18）3、全反射由折射定律知，當(dāng)電磁波從較大的介質(zhì)入射到較小的介質(zhì)的交界面上時(shí)，折射角大于入射角，當(dāng)時(shí)，變?yōu)椋@時(shí)的入射角稱為臨界角，其值為。若入射角再增大，當(dāng)時(shí)，。這時(shí)就是復(fù)數(shù)，因而不再具有折射角這種直觀的幾何意義了。但折射定律仍然成立。這時(shí)折射波為 （4.2.19）是沿交界面x方向傳播的電磁波。它的振幅沿z軸方向指數(shù)衰減。當(dāng)振幅衰減到交界面上的振幅的時(shí)，沿z方向的距離為 （4.2.20）在一般情況下，和波長同數(shù)量級(jí)。因此在發(fā)生全反射時(shí)，折射波的能量主要集中在交界面附近厚度為的薄層內(nèi)。當(dāng)時(shí)，反射波的平均能流密度等于入射波的平均能流密度。因此，對(duì)時(shí)間平均來說，入射波的

6、能量全部被反射，所以叫做全反射。4.3 有導(dǎo)體存在時(shí)電磁波的傳播1、導(dǎo)體的弛豫時(shí)間在靜電時(shí)，自由電荷只能分布在導(dǎo)體表面上。當(dāng)導(dǎo)體里某處有電荷密度出現(xiàn)時(shí)，就會(huì)引起電流流動(dòng)。與時(shí)間的關(guān)系為 （4.3.1）式中是導(dǎo)體的電導(dǎo)率。，叫做導(dǎo)體的弛豫時(shí)間，它等于值減小到的時(shí)間。在交變場(chǎng)中，只要電磁波的頻率滿足 （4.3.2）就可以認(rèn)為導(dǎo)體里沒有自由電荷分布，因此（4.3.2）式可當(dāng)做良導(dǎo)體的條件。2、導(dǎo)體內(nèi)的電磁波對(duì)于一定頻率的單色波來說，麥克斯韋方程組可以化為 （4.3.3） （4.3.4） （4.3.5） （4.3.6）式中 （4.3.7）叫做導(dǎo)體的復(fù)介電常數(shù)。由（4.3.3）（4.3.6）可得導(dǎo)體內(nèi)的

7、亥姆霍茲方程為 （4.3.8） （4.3.9）這時(shí)是一個(gè)復(fù)矢量，設(shè) （4.3.10）則方程（3.3.8）的單色波解為 （4.3.11）其中的實(shí)部稱為周相常數(shù)，虛部稱為衰減常數(shù)。如圖1-3-3，設(shè)電磁波從介質(zhì)入射到導(dǎo)體平面（z=0）上，平面為入射面。則由邊值關(guān)系 ， 可得 ， （4.3.12）其中 （4.3.13） （4.3.14）3、穿透深度當(dāng)電磁波垂直入射到導(dǎo)體表面上時(shí)，由（4.3.12）式和（4.3.13）式可得 （4.3.15）這時(shí)，透射波的振幅隨z作指數(shù)衰減，當(dāng)振幅減小到導(dǎo)體表面處振幅的時(shí)，沿z方向經(jīng)過的距離定義為穿透深度 （4.3.16）4.4 諧振腔諧振腔是各面都由金屬壁構(gòu)成的一個(gè)

8、空腔，在腔內(nèi)能夠激發(fā)各種特定頻率的駐波。1. 矩形諧振腔中的電磁波矩形諧振腔如圖1-3-5所示。解亥姆霍茲方程，并把金屬壁當(dāng)作理想導(dǎo)體，利用邊界條件得出：矩形腔內(nèi)電磁場(chǎng)的振幅為 (4.4.1)式中 （4.4.2）、為任意正整數(shù)或零。，和為任意常數(shù)；但因，故，和之間有如下關(guān)系： （4.4.3）所以，和之中僅有兩個(gè)是獨(dú)立的。2. 本征頻率對(duì)于每一組值，諧振腔的本振頻率為 （4.4.4）3. 偏振波型對(duì)于每一組值，有兩種獨(dú)立的偏振波型，它們的電場(chǎng)互相垂直。矩形諧振腔可看做是由軸向長度為的一根矩形波導(dǎo)管，在兩端加上與波導(dǎo)軸線垂直的金屬端面構(gòu)成。由于端面的存在，波導(dǎo)內(nèi)的場(chǎng)現(xiàn)在有兩部分迭加而成：一部分是沿

9、方向傳播的波，另一部分是沿負(fù)方向傳播的波。這樣對(duì)波來說，其縱向分量便為 又因?yàn)樵诙嗣嫔嫌?（4.4.5）故。于是得 最后得到，能在矩形諧振腔內(nèi)存在的電磁場(chǎng)是一種駐波，其表達(dá)式如下： （4.4.6） （4.4.7） （4.4.8） （4.4.9） （4.4.10） (4.4.11)這駐波是諧振腔中一種獨(dú)立的偏振波型，它與波導(dǎo)中的波相對(duì)應(yīng)。對(duì)于同一組值來說，與波導(dǎo)管中的波相對(duì)應(yīng)的另一種獨(dú)立的偏振波型，可以用類似的方法求出。4.5 波導(dǎo)管1. 波導(dǎo)管中的電磁波傳播電磁波的長直金屬管叫做波導(dǎo)管。波導(dǎo)管中傳播的電磁波與自由空間的電磁波相比，由于邊界條件不同，在性質(zhì)上也有些不同。設(shè)以波導(dǎo)管的軸線為軸，則波

10、導(dǎo)管內(nèi)沿軸傳播的頻率為的電磁波可表示為 （4.5.1） （4.5.2）因滿足下列方程 （4.5.3）故得 （4.5.4）式中，為沿方向的分量。2. 波和波把（4.5.1）式和（4.5.2）式代入麥克斯韋方程組，得 （4.5.5）由此可得，場(chǎng)的橫向分量可用縱向（軸向）分量表示如下 （4.5.6） （4.5.7） （4.5.8） （4.5.9）可見，只要知道場(chǎng)的縱向分量，波導(dǎo)管內(nèi)的電磁場(chǎng)就可完全確定。由（4.5.6）至（4.5.9）諸式可以看出：波導(dǎo)管內(nèi)不能傳播波（即的橫電磁波）。波導(dǎo)管內(nèi)可以傳播波（即的橫電磁波）和波（即的橫電磁波）。3. 矩形波導(dǎo)管橫截面為矩形的波導(dǎo)管叫做矩形波導(dǎo)管。設(shè)管內(nèi)橫截

11、面積為，取坐標(biāo)如圖1-3-4所示，電磁波沿軸方向傳播。（1）波由（4.5.6）至（4.5.9）諸式可知，波由電磁場(chǎng)的縱向分量決定。由方程（4.5.4）得 （4.5.10）邊界條件為 （4.5.11）由分離變量法可知，（4.5.10）式滿足上述邊界條件的解為 （4.5.12）式中是常量，（為正整數(shù)或零）。把（3.4.12）式分別代入（4.5.6）至（4.5.9）諸式，得波為 （4.5.13） （4.5.14） （4.5.15） （4.5.16） （4.5.17） （4.5.18）（2）波波由電場(chǎng)的縱向分量決定。滿足方程 （4.5.19）邊界條件為 ， （4.5.20）（4.5.19）式滿足上述邊

12、界條件的解為 （4.5.21）把（4.5.21）式代入（4.5.6）至（4.5.9）諸式得波為 （4.5.22） （4.5.23） （4.5.24） （4.5.25） （4.5.26） （4.5.27）4. 波導(dǎo)管中電磁波的特點(diǎn)（1）波型在波導(dǎo)管內(nèi)不可能存在波，只能存在波或波。在波導(dǎo)管的橫截面上，場(chǎng)的分布情況取決于這兩個(gè)常數(shù)，每一組的值對(duì)應(yīng)兩種獨(dú)立的波型，分別記為波。（2）截止頻率模式為的電磁波的截止頻率為 （4.5.28）當(dāng)電磁波的頻率時(shí)， （4.5.29）是虛數(shù)，這時(shí)傳播因子就變?yōu)樗p因子，因而不能在波導(dǎo)管中傳播。（3）波長電磁波在波導(dǎo)管中的波長比在自由空間中的波長長，即 （4.5.30）（4）相速度和群速度由相因子可得電磁波沿方向的相速度為 （4.5.31）可見，在波導(dǎo)管中電磁波的相速度大于真空中的光速。但這并不違反相對(duì)論，因