1、章末整合提升,熱點(diǎn)一,分類討論思想,在相似三角形中，當(dāng)不確定圖形或不清楚圖中有多少個(gè)對(duì) 應(yīng)相似的三角形時(shí)，解決三角形相似問題就需要分不同的情況 討論 一般來說，依據(jù)數(shù)學(xué)研究對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)， 將數(shù)學(xué)對(duì)象分為不同種類的數(shù)學(xué)思想叫做“分類”的思想；將 事物進(jìn)行分類，然后對(duì)劃分的每一類分別進(jìn)行研究和求解的方 法叫做“分類討論”的方法請(qǐng)依據(jù)分類的思想和分類討論的 方法解決下列問題：,【例 1】 如圖 271 ，在ABC 中，ACBABC. (1)若BAC 是銳角，請(qǐng)?zhí)剿髟谥本€ AB 上有多少個(gè)點(diǎn) D，,能保證ACDABC(不包括全等)?,(2)請(qǐng)對(duì)BAC 進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸?，直接寫出每一類在?/p>

2、線 AB 上能保證ACDABC(不包括全等)的點(diǎn) D 的個(gè)數(shù),圖 27-1,思路點(diǎn)撥：(1)分點(diǎn) D 在線段 AB 上、點(diǎn) D 在線段 AB 的延 長(zhǎng)線上和點(diǎn) D 在線段 AB 的反向延長(zhǎng)線上三種情況討論 (2)再分BAC 為直角和鈍角兩種情況討論，并且對(duì)每種情,況按照(1)的方法進(jìn)行分類討論 解：(1)若點(diǎn) D 在線段 AB 上，,圖 27-2,由 于 ACBABC ， 可 以 作 一 個(gè) 點(diǎn) D 滿 足 ACD ,ABC，,使得ACDABC.,如圖 27-2(1)，若點(diǎn) D 在線段 AB 的延長(zhǎng)線上， 則ACDACBABC，與條件矛盾 因此，這樣的點(diǎn) D 不存在,如圖 27-2(2)，若點(diǎn)

3、 D 在線段 AB 的反向延長(zhǎng)線上，由于,BAC 是銳角，則BAC90CAD，,不可能有ACDABC. 因此，這樣的點(diǎn) D 不存在,綜上所述，這樣的點(diǎn) D 有一個(gè),(2)當(dāng)BAC 為直角時(shí)，仿照(1)的方法，易求得在線段 AB 和 線 段 AB 的 反 向 延 長(zhǎng) 線 上 各 有 一 個(gè) 點(diǎn) D ， 使 得 ACDABC，即這樣的點(diǎn) D 有兩個(gè),當(dāng)BAC 為鈍角時(shí)，仿照(2)的方法，易求得只有線段,AB 上有一個(gè)這樣的點(diǎn) D.,分類討論思想是一種很重要的數(shù)學(xué)思想方 法，它貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的全部?jī)?nèi)容中，需要運(yùn)用分類討論 的思想解決的數(shù)學(xué)問題，就其引起分類的原因，可歸結(jié)為： 涉及的數(shù)學(xué)概念是分類

4、定義的(如：有理數(shù)的概念)；求解的 數(shù)學(xué)問題的結(jié)論有多種情況或多種可能(如本例)；數(shù)學(xué)問題 中含有參變量，這些參變量的取值會(huì)導(dǎo)致不同的結(jié)果如：函 數(shù) ymx2(m1)x2 中有參變量 m應(yīng)用分類討論，往往能使 復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，解題思路清晰，步驟明了,【跟蹤訓(xùn)練】,1如圖 27-3 所示，在ABC 中，AB8，AC6，點(diǎn) D 在 AB 邊上，且 AD4，在 AC 上取一點(diǎn) P，使以 A，P，D 為 頂點(diǎn)的三角形與ABC 相似求 AP 的長(zhǎng),圖 27-3,2在ABC中，B25，AD是BC邊上的高，并且AD2 BDDC，求BCA 的度數(shù) 解：(1)當(dāng)高 AD 在ABC 內(nèi)時(shí)，如圖 D65(1)所示，

5、 圖 D65,又ADBCDA90， ADBCDA.,BADC.,CADC90.,CADBAD90.,又B25，BCA65.,(2)當(dāng)高 AD在ABC 外時(shí)，如圖 D65(2)所示， 同理可得ADBCDA，BCAD. 又B25，ACD90CAD65. BCA180ACD115. 故BCA 的度數(shù)是 65或 115.,熱點(diǎn)二,相似三角形的判定,判定兩三角形相似的常用方法有四種，運(yùn)用時(shí)要根據(jù)題目 的條件選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ渌悸肥牵?1先找兩角對(duì)應(yīng)相等； 2若只有一角對(duì)應(yīng)相等，再找夾這個(gè)角的兩邊的比是否相 等； 3若無角相等，就找三組對(duì)應(yīng)邊的比是否相等； 4若出現(xiàn)平行線，直接考慮兩三角形相似,【例 2】

6、 已知：正方形的邊長(zhǎng)為 1. (1)如圖 27-4，可以算出一個(gè)正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)是 ，求 兩個(gè)正方形并排成的矩形的對(duì)角線的長(zhǎng)，猜想 n 個(gè)正方形并排 成的矩形的對(duì)角線的長(zhǎng)； (2)如圖 27-5，求證：BCEBED.,圖 27-4,圖 27-5,思路點(diǎn)撥：本題很難一眼看出比值，需動(dòng)手計(jì)算后再做出 判斷,【跟蹤訓(xùn)練】 3已知如圖 27-6(1)、(2)中各有兩個(gè)三角形，其邊長(zhǎng)和角 的度數(shù)已在圖上標(biāo)注，圖(2)中 AB，CD 交于 O 點(diǎn)，對(duì)于各圖中,),A,的兩個(gè)三角形而言，下列說法正確的是( 圖 27-6,A都相似 C只有(1)相似,B都不相似 D只有(2)相似,4如圖 27-7，已知直線

7、abc，直線 m，n 與 a，b，c 分別交于點(diǎn) A，C，E，B，D，F(xiàn)，AC4，CE6，BD3，則,BF(,),圖 27-7,A7,B7.5,C8,D8.5,B,5(2012 年廣東梅州)如圖 27-8，AC 是O 的直徑，弦 BD,交 AC 于點(diǎn) E.,(1)求證：ADEBCE；,(2)如果 AD2AEAC，求證：CDCB.,圖 27-8,圖 D66,圖 D67,又12，ADEBCE.,又AA，ADEACD. AEDADC. 又AC是O的直徑， ADC90，即有AED90. 直徑ACBD.CDCB.,熱點(diǎn)三,相似三角形的性質(zhì)和應(yīng)用,相似三角形的性質(zhì)可總結(jié)歸納為：(1)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成 比

8、例，對(duì)應(yīng)角相等；(2)相似三角形的對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng) 角平分線的比等于相似比；(3)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似 比，面積的比等于相似比的平方,【例 3】 已知：AB 是O 的直徑，弦 CDAB 于點(diǎn) G, E 是直徑 AB 上一點(diǎn)(不與點(diǎn) A，B，G 重合)，直線 DE 的延長(zhǎng)線 交O 于點(diǎn) F，直線 CF 交直線 AB 于點(diǎn) P.如圖 27-9，試證明： OEOPOF2.,圖 27-9,證明：連接 FO 并延長(zhǎng)交O 于點(diǎn) Q，連接 DQ.如圖 27-10. FQ 是O 直徑， FDQ90. QFDQ90.,圖 27-10,CDAB，PC90. QC，QFDP. FOEPOF，F(xiàn)OEPOF.,【跟蹤訓(xùn)練】 6如圖 27-11，以點(diǎn) O 為位似中心，將五邊形 ABCDE 放 大后得到五邊形 ABCDE，已知 OA10 cm，OA 20 cm，則五邊形 ABCDE 的周長(zhǎng)與五邊形 ABCDE,的周長(zhǎng)的比值是_,圖 27-11,7為了測(cè)量校園水平地面上一棵不可攀的樹的高度，學(xué)校 數(shù)學(xué)興趣小組做了如下的探索：根據(jù)光的反射定律，利用一面 鏡子和一根皮尺，設(shè)計(jì)如圖 27-12 所示的測(cè)量方案：把一面很 小的鏡子放在離樹底 B8.4 米的點(diǎn) E 處，然后沿著直線