1、專題七 二次函數(shù)綜合題,類型五全等三角形的存在性問(wèn)題 (銅仁2017.25(2) 【方法指導(dǎo)】全等的兩個(gè)三角形，在沒(méi)指明對(duì)應(yīng)點(diǎn)的情況下，理論上應(yīng)分六種情況討論，但實(shí)際問(wèn)題中通常不超過(guò)四種，常見(jiàn)有如下兩種類型，每類分兩種情況討論就可以了,典例精講,例(2017銅仁25(1)(2)如圖，拋物線yx2bxc經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，0)，B(0，2)，并與x軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸l上任意一點(diǎn)(點(diǎn)M、B、C三點(diǎn)不在同一直線上) (1)求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；,例題圖,【思維教練】將點(diǎn)A、B分別代入拋物線的表達(dá)式，通過(guò)解方程組，可得到b，c的值,解：將點(diǎn)A(1，0)，B(0，2)代入yx2bxc

2、中，得 ， 解得 ， 二次函數(shù)表達(dá)式為yx2x2；,(2)在拋物線上找出兩點(diǎn)P1、P2，使得MP1P2與MCB全等，并求出P1、P2的坐標(biāo),【思維教練】利用全等時(shí)對(duì)應(yīng)邊相等，結(jié)合拋物線 的對(duì)稱性，分兩種情況：分別作B、C點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱 軸對(duì)稱的點(diǎn)，所作對(duì)稱點(diǎn)即為所求P1，P2點(diǎn)；作 BC的平行線，與拋物線的交點(diǎn)，即為所求P點(diǎn),例題圖,解：令yx2x20，得 x11，x22， 所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，0) 易得拋物線對(duì)稱軸為x ， 如解圖，取點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸l的對(duì)稱點(diǎn)A， 點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸l的對(duì)稱點(diǎn)為B(1，2)， 則當(dāng)點(diǎn)P1，P2與A，B重合時(shí)，有MP1P2與MBC全等， 此時(shí)，P1(1，0)，P2(1

3、，2),例題解圖,過(guò)點(diǎn)M作MP1BC，交拋物線于點(diǎn)P1，如解圖， 若MP1CCBM，則MP1CB. 四邊形MBCP1為平行四邊形，xMxBxP1xC； xMxBxC 02 . 將x 代入yx2x2中，得y ， P1( ， )，此時(shí)P2與C點(diǎn)重合，P1 ( ， ) ， P2(2，0) 綜上所述，滿足條件的P1，P2點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P1(1，0)， P2(1，2)；P1 ( ， ) ，P2(2，0),例題解圖,針對(duì)演練,1. (2017包頭)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y x2bxc與x軸交于A(1，0)，B(2，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C. (1)求該拋物線的解析式； (2)直線yxn與拋物

4、線在第四象限內(nèi)交于點(diǎn)D，與線段BC交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F，且BE4EC. 求n的值； 連接AC，CD，線段AC與線段DF交于點(diǎn)G，AGF與CGD是否全等？請(qǐng)說(shuō)明理由,第1題圖,解：(1)拋物線y x2bxc與x軸交于A(1，0)，B(2，0)兩點(diǎn)， 將A(1，0)，B(2，0)代入拋物線解析式可得 ， 解得 ， 該拋物線的解析式為y x2 x3；,(2) 如解圖，過(guò)點(diǎn)E作EEx軸于點(diǎn)E，EEOC， ， BE4CE，BE4OE，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x，y)， OEx，BE4x. 點(diǎn)B坐標(biāo)為(2，0)，OB2， x4x2，x ， 拋物線y x2 x3與y軸交于點(diǎn)C， 當(dāng)x0時(shí)，y3， C(0，3),

5、第1題解圖,設(shè)直線BC的解析式為ykxb1， B(2，0)，C(0，3)，將B、C兩點(diǎn)代入解析式，得 ， 解得k ， 直線BC的解析式為y x3. 當(dāng)x 時(shí)，代入直線BC的解析式，得y ， E( ， ) 點(diǎn)E在直線yxn上， n ，n2；,全等；理由如下： 直線EF的解析式為yx2，當(dāng)y0時(shí)，x2， F(2，0)，OF2. A(1，0)，OA1，AF1， 拋物線與直線yx2相交于點(diǎn)D，聯(lián)立方程，得 ， 解得 或 . 點(diǎn)D在第四象限，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，3),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)， CDx軸，CD1， AFGCDG， FAGDCG， CDAF1， AGFCGD(ASA),2. 如圖，一次函數(shù)y

6、x2與坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點(diǎn)，拋物線y x2bxc經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線BA運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AO運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒 (1)求此拋物線的表達(dá)式； (2)求當(dāng)APQ為等腰三角形時(shí)，所有滿足條件的t的值； (3)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫(xiě)出t為何值時(shí)，APQ的 面積達(dá)到最大？此時(shí)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)T，使得APTAPO？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由,第2題圖,解：(1)把x0代入y x2中，得y2. 把y0代入y x2中，得x2 . A(2 ，0)，B(0，2)， 把A(2 ，0

7、)，B(0，2)分別代入y x2bxc中，得b ，c2， 拋物線的表達(dá)式為y x2 x2；,(2)OA2 ，OB2，由勾股定理，得AB 4， BAO30. 運(yùn)動(dòng)t秒后，AQt，BP2t. 由APQ為等腰三角形，有QAQP，APAQ，PAPQ三種情況，,當(dāng)QPQA時(shí)，如解圖，過(guò)點(diǎn)Q作QDAB于點(diǎn)D，則D為AP的中點(diǎn) 在RtADQ中，QD AQ t， ADPD AQ t， AP t， BPAPAB， 2t t4. 解得t84 ；,第2題解圖,當(dāng)APAQ時(shí)， ()若點(diǎn)P在x軸上方的直線AB上，APt，BP2t， BPAPAB， t2t4， 解得t . ()若點(diǎn)P在x軸下方的直線AB上， APBPAB

8、AQ， 2t4t， 解得t4；,當(dāng)PAPQ時(shí)，如解圖，過(guò)點(diǎn)P作PEAO于點(diǎn)E. 則AE AQ t， 在RtPEA中，PE AE t. AP2PE t. BPAPAB， 2t t4. 解得t . 綜上所述，當(dāng)APQ為等腰三角形時(shí)，t的值為84 或 或4或 ；,第2題解圖,(3)如解圖，過(guò)點(diǎn)P作PFAO于點(diǎn)F，延長(zhǎng)FP交拋物線于點(diǎn)T，連接AT. PF為APQ底邊AQ上的高 AP42t，BAO30， PF AP2t. SAPQ AQPF t(2t) (t1)2 . 當(dāng)t1時(shí)，APQ的面積最大 此時(shí)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，且P( ，1) 連接OP，則OPAPBP， 點(diǎn)P( ，1)，點(diǎn)T的橫坐標(biāo)為 ，,第2題

9、解圖,將x 代入拋物線的解析式，得y3. TPOP2. 在RtTFA中，由勾股定理可知：TA2 ， AOTA. APTAPO. 存在點(diǎn)T，使APTAPO， 點(diǎn)T的坐標(biāo)為( ，3),類型六切線問(wèn)題 (遵義2015.27(3)；銅仁2015.23(3) 【方法指導(dǎo)】拋物線中有關(guān)圓的切線的問(wèn)題，一般為兩種類型：已知直線與圓相切的相關(guān)計(jì)算；已知直線與圓相切，求直線解析式對(duì)這兩種問(wèn)題，一般解題方法如下： 已知圓與直線相切時(shí)，連接切點(diǎn)與圓心，得到垂直，再結(jié)合題干中的已知條件，利用直角三角形或相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算；若判斷拋物線對(duì)稱軸與圓的位置關(guān)系，只要根據(jù)圓心到對(duì)稱軸距離與圓半徑大小關(guān)系即可確定；若已知

10、圓與直線相切，需根據(jù)題意分析，切線只存在一條，還是兩條，若為兩條，常要進(jìn)行分類討論計(jì)算，然后根據(jù)勾股定理或相似列方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，得到直線解析式,典例精講,例如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A(4，0)，B(2，0)，與y軸交于點(diǎn)C(0，2) (1)求拋物線的解析式； 【思維教練】根據(jù)題意設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式， 將C(0，2)代入即可得解,例題圖,解：拋物線過(guò)點(diǎn)A(4，0)，B(2，0)， 設(shè)拋物線解析式為：ya(x4)(x2)，把C(0，2)代入，得 2a4(2)，即a ， 所求拋物線的解析式為 y (x4)(x2) x2 x2；,(2)若點(diǎn)D為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線AC上方，當(dāng)以A、C、D三點(diǎn)為

11、頂點(diǎn)的三角形面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)及此時(shí)三角形的面積； 【思維教練】求解此題，關(guān)鍵是用D的坐標(biāo)表示 出ACD的面積，且由題意知yD0，將ACD 拆分成同底，且以點(diǎn)A、C為頂點(diǎn)的兩個(gè)三角 形求解,例題圖,解：依題意可設(shè)D(x， x2 x2)(4x0)， 如解圖，連接AC，過(guò)點(diǎn)D作DFx軸交AC于點(diǎn)F， 設(shè)直線AC的解析式為ykxb(k0)，將點(diǎn)A(4，0)，C(0，2)代入， 得 ，解得 ， 直線AC的解析式為y x2， F(x， x2)，,SADCSADFSCDF (xDxA)(yDyF) (xCxD)(yDyF) (xCxA)(yDyF) 4( x2 x2 x2) x22x (x2)22，

12、 0，4x0， 當(dāng)x2時(shí)，SADC有最大值，最大值為2，此時(shí)D(2，2)；,例題解圖,(3)以AB為直徑作M，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)E(1，5)，并且與M相切，求直線l的解析式 【思維教練】解此題的關(guān)鍵是確定切點(diǎn)坐標(biāo)， 設(shè)切點(diǎn)為F，由題可得圓心點(diǎn)M坐標(biāo)、半徑長(zhǎng)， 點(diǎn)M與E為平行于y軸的直線上的兩點(diǎn)，有切點(diǎn)， 故構(gòu)造直角三角形是解題切入點(diǎn)，由于過(guò)圓外 一點(diǎn)存在兩條圓的切線，故此題有兩種情況,例題圖,解：如解圖，以AB為直徑作M，且由解圖易知，存在兩條過(guò)點(diǎn)E且與M相切的直線l1，l2，切點(diǎn)分別為P、Q，連接MP，MQ， AB6，以AB為直徑的M的半徑為3，即M(1，0)， 設(shè)切點(diǎn)Q坐標(biāo)為(m，n)，且m0，

13、MQEQ，ME5，MQ3， 由勾股定理得EQ 4， ，解得 或 (舍去)， 點(diǎn)Q( ， )，同理可得點(diǎn)P( ， )，,例題解圖,設(shè)直線l1和直線l2的解析式分別為y1k1xb1，y2k2xb2， 則 ，解得 ； ，解得 . 直線l1、l2的解析式分別是 y1 x ，y2 x . 直線l的解析式是 y x 或y x .,針對(duì)演練,1. 如圖，拋物線yax2bx3(a0)與x軸交于A(3，0)、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸是直線x1，D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E在y軸C點(diǎn)的上方，且CE . (1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)； (2)求證：直線DE是ACD的外接圓的切線,第1題圖,(1)解：

14、拋物線的解析式為yax2bx3，對(duì)稱軸為直線x1， x 1，即b2a， 點(diǎn)A(3，0)在拋物線上，9a3b30， 聯(lián)立得 ，解得 ， 拋物線的解析式為yx22x3. 當(dāng)x1時(shí)，y1234， 頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，4)；,(2)證明：點(diǎn)C是拋物線yx22x3與y軸的交點(diǎn)， 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)， AC3 ，CD ，AD2 ， AC2CD2AD2， ACD是直角三角形，且ACD90， AD是ACD外接圓的直徑 如解圖，過(guò)點(diǎn)E作EFCD于點(diǎn)F， tanECD 1， ECD45，EFCF CE ，,第1題解圖,CD ，DFCDCF ， tanEDF ， tanCAD tanCDE， CADCDE， C

15、DECDACDACAD90， 即EDA90， DE是ADC的外接圓的切線,2. 如圖，拋物線yax2bxc(c0)經(jīng)過(guò)x軸上的兩點(diǎn)A(x1，0)、B(x2，0)和y軸上的點(diǎn)C(0， )，P的圓心P在y軸上，且經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，若b a，AB2 . (1)求拋物線的解析式； (2)D在拋物線上，且C、D兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，問(wèn)直線BD是否經(jīng)過(guò)圓心P？并說(shuō)明理由； (3)設(shè)直線BD交P于另一點(diǎn)E，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)E的P的切線的解析式,第2題圖,解：(1)y軸上的點(diǎn)C(0， )，c ， 由題意知，b a，AB2 ， 令ax2 ax 0，|x1x2|2 ， 解得a ，b ； 拋物線的解析式是：y x2 x ；,(2)直線BD經(jīng)過(guò)圓心P.理由如下： 由(1)知對(duì)稱軸為x ，D( ， )，,令 x2 x 0，得x1 ，x2 ， 即A(