1、第二章 平面體系的幾何組成分析,Last Edit: 2009.7.27,2/73,本章主要內(nèi)容：,1 幾何構(gòu)造分析的幾個概念； 2 平面幾何不變體系的組成規(guī)律; 3 體系的幾何組成分析舉例; 4 平面桿件體系的計算自由度; 5 體系的幾何特征與靜力特征的關(guān)系。 課后作業(yè),3/73,本章引言,一個結(jié)構(gòu)要能夠承受各種可能的載荷，首先其幾何構(gòu)造應(yīng)當(dāng)合理，本身應(yīng)當(dāng)是幾何穩(wěn)固的，即其幾何形狀保持不變。 因此，從幾何構(gòu)造來看，一個結(jié)構(gòu)應(yīng)是一個幾何形狀不變的體系，簡稱 幾何不變體系。,進(jìn)行幾何構(gòu)造分析的目的，就是把桿件結(jié)構(gòu)看成一個桿件體系，檢查它是不是一個幾何不變體系。,在平面體系的幾何構(gòu)造分析中，最基本

2、的規(guī)律是三角形規(guī)律。規(guī)律本身簡單淺顯，但規(guī)律的應(yīng)用變化無窮，因此本章遇到的困難不在于學(xué)懂，而在于運用。,4/73,2-1 幾何構(gòu)造分析的幾個概念,5/73,2-1 幾何構(gòu)造分析的幾個概念,一、幾何不變體系和幾何可變體系,幾何構(gòu)造分析中，不考慮由于材料應(yīng)變而發(fā)生的變形。,幾何不變體系：在不考慮材料應(yīng)變的條件下，體系的位置和形狀是不能改變的；,幾何可變體系：在不考慮材料應(yīng)變的條件下，體系的位置和形狀是可以改變的；,6/73,2-1 幾何構(gòu)造分析的幾個概念,二、剛片,在幾何組成分析中，可能遇到各種各樣的平面物體，不論其具體形狀如何，凡本身為幾何不變者，則均可把它看作為剛片。,7/73,2-1 幾何構(gòu)

3、造分析的幾個概念,三、自由度,平面內(nèi)一點有兩種獨立運動方式(兩個坐標(biāo)x, y可以獨立地改變),一點在平面內(nèi)有兩個自由度,一個剛片在平面內(nèi)有三種獨立運動方式(三個坐標(biāo)x, y, q 可以獨立地改變),一個剛片在平面內(nèi)有三個自由度,8/73,2-1 幾何構(gòu)造分析的幾個概念,三、自由度,一般來說，如果一個體系有 n 個獨立的運動方式，則這個體系有 n 個自由度。 一個體系的自由度，等于這個體系運動時可以獨立改變的坐標(biāo)的數(shù)目。,普通機(jī)械中使用的機(jī)構(gòu)有一個自由度，即只有一種運動方式； 一般工程結(jié)構(gòu)都是幾何不變體系，其自由度為零。 凡是自由度大于零的體系就是幾何可變體系。,9/73,2-1 幾何構(gòu)造分析的

4、幾個概念,四、約束,約束是指限制物體或體系運動的各種裝置，可以分為外部約束和內(nèi)部約束兩種。,外部約束：體系與基礎(chǔ)之間的聯(lián)系，也就是支座； 內(nèi)部約束：體系內(nèi)部各桿之間或結(jié)點之間的聯(lián)系，比如鉸結(jié)點，剛結(jié)點和鏈桿等。,10/73,2-1 幾何構(gòu)造分析的幾個概念,四、約束,一個剛片在平面內(nèi)有三個自由度 ( xA, yA, q ),若增加一根支桿把 A 點與基礎(chǔ)相連,則A點的坐標(biāo) xA, yA 相互不獨立，則此剛片還剩下兩個運動獨立幾何參數(shù) (xA , q )或 ( yA , q )。故此剛片的自由度變?yōu)?。,結(jié)論：一根支桿可抵銷一個自由度，即相當(dāng)于一個約束。,11/73,2-1 幾何構(gòu)造分析的幾個概念

5、,四、約束,互不相連的兩個剛片在平面內(nèi)有幾個自由度？,6個,用鉸A連接,則還剩下四個運動獨立幾何參數(shù),xA, yA, q1, q2,僅連接兩個剛片的鉸稱為 單鉸,結(jié)論：一個單鉸相當(dāng)于兩個約束，抵銷兩個自由度。,12/73,2-1 幾何構(gòu)造分析的幾個概念,四、約束,互不相連的三個剛片用鉸A連接,其自由度由9減少為5 xA, yA, q1, q2, q3,連接多于2個剛片的鉸稱為復(fù)鉸,由此類推： 連接n個剛片的復(fù)鉸，相當(dāng)于n-1個單鉸或2(n-1)個約束。,例如連接10個剛片的復(fù)鉸，相當(dāng)于18個約束，而體系的自由度應(yīng)為31018=12,13/73,2-1 幾何構(gòu)造分析的幾個概念,四、約束,2個單鉸

6、,1個單鉸,1個單鉸,14/73,2-1 幾何構(gòu)造分析的幾個概念,四、約束,單剛結(jié)點,兩個互不相連的剛片，若用剛結(jié)點連接，則兩者被連為一體成為一個剛片，自由度由6減少為3。,一個單剛結(jié)點相當(dāng)于3個約束。,復(fù)剛節(jié)點,三個互不相連的剛片，若用剛結(jié)點連接，自由度由9減少為3。,由此類推: 連接 n 個剛片的復(fù)剛結(jié)點，它相當(dāng)于n1個單剛結(jié)點或3(n 1)個約束。,15/73,2-1 幾何構(gòu)造分析的幾個概念,四、約束,平面內(nèi)互不相連的兩個點A, B, 共有4個自由度。,用長為 l 的鏈桿將其相連,A, B成為同一剛片上的兩個點，則自由度成為3。,一個鏈桿相當(dāng)于1個約束,若用數(shù)學(xué)表達(dá)式，則應(yīng)滿足以下條件：

7、,4個坐標(biāo)參數(shù)必須受到上述條件的限制，故只有3個獨立運動幾何參數(shù)。,16/73,2-1 幾何構(gòu)造分析的幾個概念,五、多余約束,如果在一個體系中增加一個約束，而體系的自由度并不因此而減少，這種約束稱為多余約束。,無多余約束,有1個多余約束,只有非多余約束才對體系的自由度有影響，而多余約束對體系的自由度沒有影響。,17/73,2-1 幾何構(gòu)造分析的幾個概念,六、瞬變體系,兩根鏈桿彼此共線,1、從微小運動的角度看，這是一個可變體系。,左圖兩圓弧相切，A點可作微小運動； 右圖兩圓弧相交，A點被完全固定。,18/73,2-1 幾何構(gòu)造分析的幾個概念,六、瞬變體系,2、當(dāng)A點沿公切線發(fā)生微小位移后，兩根鏈

8、桿不再共線，因而體系就不再是可變體系。,本來是幾何可變，經(jīng)微小位移后又成為幾何不變的體系稱為瞬變體系。,可變體系分為瞬變體系和常變體系，如果一個幾何可變體系可以發(fā)生大位移，則稱為常變體系。,19/73,2-1 幾何構(gòu)造分析的幾個概念,六、瞬變體系,3、對于A點增加兩根共線的鏈桿后，仍然具有1個自由度。可見在鏈桿1和2這兩個約束中有一個是多余約束。,一般來說，在任一瞬變體系中必然存在多余約束。,20/73,2-1 幾何構(gòu)造分析的幾個概念,七、瞬鉸,點O: 瞬時轉(zhuǎn)動中心,此時剛片I 的瞬時運動情況與剛片I在O點用鉸和基礎(chǔ)相連的運動情況完全相同。,從瞬時微小運動來看，兩根鏈桿所起的約束作用相當(dāng)于在鏈

9、桿交點處的一個鉸所起的約束作用，這個鉸稱為 瞬鉸,在體系運動的過程中，瞬鉸的位置隨之變化。,用瞬鉸替換對應(yīng)的兩個鏈桿約束，這種約束的等效變換只適用于瞬時微小運動。,21/73,2-1 幾何構(gòu)造分析的幾個概念,八、無窮遠(yuǎn)處的瞬鉸,如果用兩根平行的鏈桿把剛片I和基礎(chǔ)相連，則其瞬鉸在無窮遠(yuǎn)處瞬時平動。,在幾何構(gòu)造分析中應(yīng)用無窮遠(yuǎn)瞬鉸的概念時，采用影射幾何中關(guān)于點和線的四點結(jié)論：,1 每個方向有一個點； 2 不同方向有不同的點； 3 各點都在同一直線上，此直線稱為線； 4 各有限點都不在線上。,22/73,2-2 平面幾何不變體系的組成規(guī)律,23/73,2-2 平面幾何不變體系的組成規(guī)律,一、一個點和

10、一個剛片之間的聯(lián)結(jié)方式,一個點和一個剛片（或基礎(chǔ)）之間聯(lián)結(jié)后即無多余約束又是幾何不變的整體,幾何不變 無多余約束,幾何不變 有多余約束,幾何可變,規(guī)律1 一個剛片與一個點用兩根鏈桿相連，且三個鉸不在同一直線上，則組成幾何不變的整體，并且沒有多余約束。,24/73,2-2 平面幾何不變體系的組成規(guī)律,二、兩個剛片之間的聯(lián)結(jié)方式,幾何不變 無多余約束,規(guī)律2 兩個剛片用一根鏈桿和一個鉸相聯(lián)結(jié)，且三個鉸不在同一直線上，則組成幾何不變的整體，并且沒有多余約束。,幾何不變 無多余約束,25/73,2-2 平面幾何不變體系的組成規(guī)律,二、兩個剛片之間的聯(lián)結(jié)方式,幾何不變 無多余約束,規(guī)律3 兩個剛片用三個

11、鏈桿相連，且三鏈桿不交于同一點，則組成幾何不變的整體，并且沒有多余約束。,幾何不變 無多余約束,26/73,2-2 平面幾何不變體系的組成規(guī)律,三、三個剛片之間的聯(lián)結(jié)方式,幾何不變 無多余約束,規(guī)律4 三個剛片兩兩相連，且三個鉸不在同一直線上，則組成幾何不變的整體，并且沒有多余約束。,幾何不變 無多余約束,27/73,2-2 平面幾何不變體系的組成規(guī)律,小結(jié),如果三個鉸不共線，則一個鉸接三角形的形狀是不變的，而且沒有多余約束，這個基本規(guī)律可稱為三角形規(guī)律。,28/73,2-2 平面幾何不變體系的組成規(guī)律,關(guān)于三鏈桿不共點（三鉸不在一直線上）的條件,三鏈桿相交于同一點O,剛片II相對于基礎(chǔ) I

12、可繞點O作瞬時轉(zhuǎn)動。 瞬變體系,29/73,2-2 平面幾何不變體系的組成規(guī)律,關(guān)于三鏈桿不共點（三鉸不在一直線上）的條件,由圖可知，O1,O2,O3均是點,而根據(jù)影射幾何: 各點都在同一直線上,因此，三個虛鉸在同一直線上。剛片II可以相對于基礎(chǔ)I在垂直鏈桿的方向上作瞬時移動(繞無窮遠(yuǎn)的一點作瞬時轉(zhuǎn)動)。,30/73,2-2 平面幾何不變體系的組成規(guī)律,四、體系的裝配,上述四種基本組成規(guī)律也可歸納為三種基本裝配格式：,固定一個結(jié)點的裝配格式簡單裝配格式,固定一個剛片的裝配格式 聯(lián)合裝配格式,固定兩個剛片的裝配格式 復(fù)合裝配格式,31/73,2-2 平面幾何不變體系的組成規(guī)律,四、體系的裝配,多

13、次應(yīng)用上述基本組成規(guī)律或基本裝配格式，可以組成各種各樣的幾何不變且無多余約束的體系。 裝配的過程通常有兩種：,1 從基礎(chǔ)出發(fā)進(jìn)行裝配 取基礎(chǔ)作為基本剛片，將周圍某個部件按照基本裝配格式固定到基本剛片上，形成一個擴(kuò)大的基本剛片。 2 從內(nèi)部剛片出發(fā)進(jìn)行裝配 先在體系內(nèi)部選取一個或幾個剛片作為基本剛片，將其周圍的部件按照基本裝配格式進(jìn)行裝配，形成一個或幾個擴(kuò)大的基本剛片，最后將擴(kuò)大的基本剛片和基礎(chǔ)裝配，形成整個體系。,32/73,2-2 平面幾何不變體系的組成規(guī)律,四、體系的裝配,1 從基礎(chǔ)出發(fā)進(jìn)行裝配-【例2-1】,33/73,2-2 平面幾何不變體系的組成規(guī)律,四、體系的裝配,1 從基礎(chǔ)出發(fā)進(jìn)

14、行裝配-【例2-2】,34/73,2-2 平面幾何不變體系的組成規(guī)律,四、體系的裝配,1 從基礎(chǔ)出發(fā)進(jìn)行裝配-【例2-3】,35/73,2-2 平面幾何不變體系的組成規(guī)律,四、體系的裝配,2 從內(nèi)部剛片出發(fā)進(jìn)行裝配-【例2-4】,36/73,2-2 平面幾何不變體系的組成規(guī)律,四、體系的裝配,2 從內(nèi)部剛片出發(fā)進(jìn)行裝配-【例2-5】,37/73,2-3 體系的幾何組成分析舉例,38/73,2-3 體系的幾何組成分析舉例,【例2-6】對圖所示體系作幾何組成分析,實鉸(I II) 實鉸(I III) 虛鉸(II III),連接三個剛片I(基礎(chǔ)) II III的三個鉸 不在一直線上。 故為幾何不變體

15、系，且無多余約束。,39/73,2-3 體系的幾何組成分析舉例,【例2-7】利用無窮瞬鉸的概念，分析圖示各三鉸拱的幾何組成,若(I III)和(II III)的連線與剛片I和剛片II連接的兩個鏈桿平行，則三鉸共線，體系是瞬變的。 注：每個方向有一個點；,如果兩者并不平行，則體系幾何不變，且無多余約束。,40/73,2-3 體系的幾何組成分析舉例,【思考及討論2-1】以下是幾何不變體系還是幾何瞬變體系？,幾何瞬變,提示： 各點都在同一直線上,幾何不變且無多余約束,提示 各有限點都不在線上,41/73,2-3 體系的幾何組成分析舉例,【例2-8】分析如圖所示體系的幾何構(gòu)造,基礎(chǔ) 剛片I,剛片II,

16、剛片III,連接三個剛片I(基礎(chǔ)) II III的三個鉸 不在一直線上。 故為幾何不變體系，且無多余約束。,42/73,2-3 體系的幾何組成分析舉例,課堂練習(xí):分析如圖所示體系的幾何構(gòu)造,43/73,2-3 體系的幾何組成分析舉例,解答:幾何瞬變,44/73,2-4 平面體系的計算自由度,45/73,2-4 平面體系的計算自由度,運用三角形規(guī)律可以對常見的體系進(jìn)行構(gòu)造分析，并定量回答以下兩個問題： 1) 體系是否幾何可變？自由度 S 是多少？ 2) 體系有無多余約束？多余約束的個數(shù) n 是多少？,復(fù)雜的體系往往并不是按照三角形規(guī)律組成的，為了對它們進(jìn)行構(gòu)造分析，求出其 S 和 n，引進(jìn)計算自

17、由度W 的概念，然后根據(jù) W 來得出關(guān)于 S 和 n 的一些定性結(jié)論。,46/73,2-4 平面體系的計算自由度,一、自由度 S 的計算方法,設(shè) 體系中各個約束均不存在， 在此情況下計算各部件的自由度總和 a ; 在全部約束中確定非多余約束 c ; 則有：,(2-1),此公式應(yīng)用比較困難，事先必須區(qū)分清楚哪些是多余約束，那些不是，這個問題涉及到體系的具體構(gòu)造，體系越復(fù)雜，這個問題越難以解決。 為了回避這個困難，定義一個新參數(shù) W計算自由度。,47/73,2-4 平面體系的計算自由度,二、計算自由度 W 的概念,設(shè) 體系中各個約束均不存在， 在此情況下計算各部件的自由度總和 a ; 在全部約束中

18、確定全部的約束 d ; 則有：,(2-2),由于全部的約束數(shù) d 和非多余約束數(shù) c 的差值是多余約束 n,(2-3),公式(2-3)表示了計算自由度W, 自由度S 和多余約束之間的關(guān)系。,注意，在公式(2-2)中，作為部件的剛片是指內(nèi)部沒有多余約束的剛片，如果有，則應(yīng)把它變成內(nèi)部無多余約束的剛片，而它的附加約束則在計算體系的約束總數(shù)時加以考慮。,48/73,2-4 平面體系的計算自由度,二、計算自由度 W 的概念,(2-3),由于自由度 S 多余約束 n 均不可能為負(fù)數(shù)，可得出：,(2-4),(2-5),因此： W 是自由度 S 的下限； (W)是多余約束 n 的下限。,49/73,2-4

19、平面體系的計算自由度,三、計算自由度 W 的的算法,算法1-剛片法： 把體系看作由許多剛片受鉸接、剛接和鏈桿約束而組成的。 m 體系中剛片的個數(shù)，則剛片自由度總和為3m g 單剛結(jié)的個數(shù) h 單鉸結(jié)的個數(shù) b 單支桿的個數(shù) 則約束總數(shù)為 3g+2h+b 則計算自由度為：,(2-6),50/73,2-4 平面體系的計算自由度,三、計算自由度 W 的的算法,算法2-結(jié)點法： 把體系看作由許多結(jié)點受到鏈桿約束而組成。 b 單鏈桿個數(shù) (如果有復(fù)鏈桿，折算成單鏈桿) j 結(jié)點個數(shù)，則有：,(2-7),算法3-混合法：,(2-8),51/73,2-4 平面體系的計算自由度,三、計算自由度 W 的的算法,

20、關(guān)于復(fù)鉸，復(fù)剛，復(fù)鏈桿的折算參照第1節(jié)之內(nèi)容：,1 連接 n 個剛片的復(fù)鉸，相當(dāng)于 n 1 個單鉸,2 連接 n 個剛片的復(fù)剛結(jié)點，它相當(dāng)于n1個單剛結(jié)點,3 連接 n 個點的復(fù)鏈桿相當(dāng)于2n 3個單鏈桿。,52/73,2-4 平面體系的計算自由度,四、計算自由度 W 的結(jié)果討論,計算自由度W 可能為正、負(fù)或零。,若W 0，則 S 0 則體系,幾何可變；,若W = 0，則 S = n 則體系,如無多余約束則幾何不變，如存在多余約束則幾何可變；,若W 0 則體系,有多余約束，不能確定是否幾何不變。,53/73,2-4 平面體系的計算自由度,五、計算自由度 W 的計算例題,【例2-9】求所示體系的

21、計算自由度。,剛片數(shù)：,m = 7,單鉸個數(shù)：,h = 9,注意D,E復(fù)鉸計算為2個單鉸,支桿個數(shù)：,b = 3,剛片法：,剛結(jié)點個數(shù)：,g = 0,54/73,2-4 平面體系的計算自由度,五、計算自由度 W 的計算例題,【例2-9】求所示體系的計算自由度。,結(jié)點數(shù)：,j = 7,全部單鏈桿個數(shù)：,b = 14,注意鏈桿AC,CB復(fù)鏈桿，連接3個鉸，每個復(fù)鏈桿計算為 (2n3)=(233)=3個單鏈桿,結(jié)點法：,55/73,2-4 平面體系的計算自由度,五、計算自由度 W 的計算例題,【例2-10】求所示體系的計算自由度。,去除所有的約束-內(nèi)部有多余約束，在截面G切開：,剛片數(shù)：,m = 1

22、,A B G 三處單剛結(jié)點,h = 0,鏈桿個數(shù)：,b = 4,單鉸個數(shù)：,g = 3,56/73,2-4 平面體系的計算自由度,五、計算自由度 W 的計算例題,【例2-10】求所示體系的計算自由度。,這個體系顯然幾何不變，S = 0,因此這是一個具有10個多余約束的幾何不變體系。,57/73,2-4 平面體系的計算自由度,五、計算自由度 W 的計算例題,【例2-11】(考研試題)圖示體系的幾何組成為: （ ）,幾何不變且無多余約束 幾何不變且有多余約束 瞬變體系 常變體系,58/73,2-4 平面體系的計算自由度,五、計算自由度 W 的計算例題,解法一,在增加了一根虛擬的鏈桿GH后，體系為瞬

23、變體系，而且其他所有的鏈桿都用到了，因此原體系缺少約束，為常變體系。,解法二,先計算其“計算自由度”,W 0 馬上可以判斷該體系為常變體系。,59/73,2-5 體系的幾何特征與靜力特征的關(guān)系,60/73,2-5 體系的幾何特征與靜力特征的關(guān)系,體系幾何不變且無多余約束,一、靜定結(jié)構(gòu)的靜力特征(幾何不變且無多余約束的體系),通過靜力平衡方程：,可求出FCB 和 FCA：,體系幾何不變且無多余約束,平面一般力系可列三個方程,可求出FAx FAy和FB,61/73,2-5 體系的幾何特征與靜力特征的關(guān)系,靜定結(jié)構(gòu)的解答唯一性定理,一、靜定結(jié)構(gòu)的靜力特征(幾何不變且無多余約束的體系),靜定結(jié)構(gòu)的全部

24、支反力、內(nèi)力都能由靜力平衡方程完全確定，且在任意的已知荷載作用下，它們的解答是唯一的。,靜定結(jié)構(gòu)的靜力特征,靜力平衡方程數(shù)與未知約束力數(shù)相等，體系的全部反力和內(nèi)力，都可由靜力平衡條件確定，而且解答是唯一的。當(dāng)荷載為零時，體系的反力和內(nèi)力也等于零。,62/73,2-5 體系的幾何特征與靜力特征的關(guān)系,二、超靜定結(jié)構(gòu)的靜力特性(幾何不變有多余約束的體系),靜力平衡方程數(shù)小于未知約束力數(shù) 體系反力、內(nèi)力靜不定 (超靜定) 超靜定次數(shù)等于多余約束數(shù),超靜定結(jié)構(gòu)的靜力特性：,靜力平衡方程數(shù)少于未知約束力數(shù)，體系的反力和內(nèi)力不能單靠靜力平衡條件完全確定，對應(yīng)于每一種任意的已知荷載，體系的反力和內(nèi)力的解不是

25、唯一的。,當(dāng)荷載為零時，體系可以有非零的反力和內(nèi)力初內(nèi)力或自內(nèi)力(超靜定結(jié)構(gòu)極為重要的一個靜力特性),初內(nèi)力或自內(nèi)力狀態(tài)：沒有荷載作用，而體系有非零反力、內(nèi)力的情況,63/73,2-5 體系的幾何特征與靜力特征的關(guān)系,三、可變體系的靜力特性,除特殊情況外，兩未知力同時滿足三個靜力平衡方程是不可能的 故在一般情況下，體系不可能保持平衡 (體系可變) 可變體系的靜力特性： 靜力平衡方程數(shù)多于未知約束力數(shù)，一般說來是不可能有解的，因而體系不可能保持平衡。,未知約束力數(shù)小于靜力平衡方程數(shù),可列出三個平衡方程：,64/73,2-5 體系的幾何特征與靜力特征的關(guān)系,四、瞬變體系的靜力特性,理論上分析：瞬變體系只能發(fā)生很小的變形； 實際情況: 變形一般不會很小。 (即使承受很小荷載，也可能產(chǎn)生很大內(nèi)力，體系可能發(fā)生破壞),65/73,2-5 體系的幾何特征與靜力特征的關(guān)系,四、瞬變體系的靜力特