1、識別“費馬點” 思路快突破例1 探究問題：（1）閱讀理解：如圖（A），在已知ABC所在平面上存在一點P，使它到三角形頂點的距離之和最小，則稱點P為ABC的費馬點，此時PAPBPC的值為ABC的費馬距離. 如圖（B），若四邊形ABCD的四個頂點在同一圓上，則有ABCDBCDAACBD.此為托勒密定理.（2）知識遷移：請你利用托勒密定理，解決如下問題：如圖（C），已知點P為等邊ABC外接圓的上任意一點.求證：PBPCPA.根據(jù)（2）的結論，我們有如下探尋ABC（其中A、B、C均小于120）的費馬點和費馬距離的方法：第一步：如圖（D），在ABC的外部以BC為邊長作等邊BCD及其外接圓；第二步：在上任

2、取一點P，連結PA、PB、PC、PD.易知PAPBPCPA（PBPC）PA ；第三步：請你根據(jù)（1）中定義，在圖（D）中找出ABC的費馬點P，并請指出線段 的長度即為ABC的費馬距離. （3）知識應用：2010年4月，我國西南地區(qū)出現(xiàn)了罕見的持續(xù)干旱現(xiàn)象，許多村莊出現(xiàn)了人、畜飲水困難，為解決老百姓的飲水問題，解放軍某部來到云南某地打井取水.已知三村莊A、B、C構成了如圖（E）所示的ABC（其中A、B、C均小于120），現(xiàn)選取一點P打水井，使從水井P到三村莊A、B、C所鋪設的輸水管總長度最小，求輸水管總長度的最小值.（1）平面內一點P到ABC三頂點的之和為PA+PB+PC，當點P為費馬點時，距離

3、之和最小. 特殊三角形中： (2)三內角皆小于120的三角形，分別以 AB，BC，CA，為邊，向三角形外側做正三角形ABC1，ACB1，BCA1，然后連接AA1，BB1，CC1，則三線交于一點P，則點P就是所求的費馬點. (3)若三角形有一內角大于或等于120度，則此鈍角的頂點就是所求. (4)當ABC為等邊三角形時，此時外心與費馬點重合.可見，永州卷這道考題對于費馬點只是以課題學習為問題載體，考得比較直截了當；巧合的是例2 如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60得到BN，連接EN、AM、CM. 求證：AMBENB；

4、當M點在何處時，AMCM的值最小；當M點在何處時，AMBMCM的值最小，并說明理由； 當AMBMCM的最小值為時，求正方形的邊長.EA DB CNM思路探求：略； 要使AMCM的值最小，根據(jù)“兩點之間線段最短”，需設法將AMCM轉化為一條線段，連接AC即可獲??； 要使AMBMCM的值最小，由例3積累的知識經驗：點M應該是ABC的費馬點.由例3中（2）的求解示范，只要連接CE即可獲得CE為AMBMCM的值最小.這樣獲到M點至少幫助我們在思路獲取上提高了效率.理由說明供助于第（1）問的全等獲得BM=BN，將三條線段轉化到CE上去，問題化為兩點之間線段最短.根據(jù)題意，添加輔助線，構造直角三角形，過E

5、點作EFBC交CB的延長線于F. 設正方形的邊長為x，則BFx，EF.在RtEFC中，由勾股定理得（）2（xx）2，解得即可.簡答：略；當M點落在BD的中點時，AMCM的值最小. FEA DB CNM如圖，連接CE，當M點位于BD與CE的交點處時，AMBMCM的值最小. 理由如下：連接MN.由知，AMBENB，AMEN.MBN60，MBNB，BMN是等邊三角形.BMMN.AMBMCMENMNCM. 根據(jù)“兩點之間線段最短”，得ENMNCMEC最短當M點位于BD與CE的交點處時，AMBMCM的值最小，即等于EC的長. 過E點作EFBC交CB的延長線于F，EBF906030.設正方形的邊長為x，則BFx，EF.在RtEFC中，EF2FC2EC2，（）2（xx）2. 解得，x（舍