1、說 課,廣州大學(xué),說課,目前，我們的理工科微積分教學(xué)忽略了 幾個(gè)重要問題：一是忽略了與中學(xué)階段 所學(xué)知識的銜接；二是忽略了知識的實(shí) 際背景；三是忽略了數(shù)學(xué)思想。 還是讓我們從函數(shù)談起。,說課,1、函數(shù) 高中階段學(xué)生就已經(jīng)學(xué)過函數(shù)概念，也學(xué) 過一點(diǎn)微積分基礎(chǔ)知識，不過不客氣地說， 學(xué)得有點(diǎn)不倫不類，我甚至懷疑我們有些 中學(xué)老師對微積分是否真的融會貫通?，F(xiàn) 在的中學(xué)教材把傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)體系弄得支離 破碎。,說課,例如，平面幾何基本不成系統(tǒng)，學(xué)生沒有 了基本的邏輯訓(xùn)練；立體幾何采用向量法 ，側(cè)重于計(jì)算，學(xué)生沒有了空間想像能力； 三角函數(shù)中一些基本的公式也沒有了，學(xué) 生無力應(yīng)對基本的數(shù)學(xué)運(yùn)算。另一方面，

2、卻將微積分下放到中學(xué)。,說課,如果是在過去絕大多數(shù)中學(xué)生沒有機(jī)會 上大學(xué)的情況下，讓中學(xué)生們也多少了 解一點(diǎn)微積分思想是可以理解的，可如 今的中學(xué)生大多數(shù)都要都大學(xué)，換句話 說，還得重學(xué)微積分，我不知道中學(xué)開 設(shè)微積分有什么意義！學(xué)生真的能理解 并掌握微積分嗎？,說課,大學(xué)的微積分教學(xué)注意到這個(gè)問題沒有？ 翻開微積分教材，你會看到和幾十年前相 比基本沒什么變化，還是從函數(shù)開始。當(dāng) 然，函數(shù)是微積分的基本研究對象，要講 微積分自然少不了函數(shù)，問題是該如何處 理它們？ 函數(shù)需要介紹，但不宜像以往那樣將過多 的精力放在各種函數(shù)性質(zhì)的詳細(xì)闡述上， 因?yàn)橹袑W(xué)階段對各種初等函數(shù)已經(jīng)有過比 較詳細(xì)的介紹。,

3、說課,有些人認(rèn)為函數(shù)部分可以一帶而過，我不 這么認(rèn)為，其一，學(xué)生在中學(xué)階段學(xué)的函 數(shù)同樣不成體系，很多重要概念并沒有介 紹，其二，學(xué)生除了知道抽象的函數(shù)概念， 大概誰也說不清函數(shù)到底可以用來干嘛， 大學(xué)老師無異于在幫中學(xué)教師炒夾生飯。 函數(shù)理論的介紹不能是中學(xué)內(nèi)容的重復(fù)， 而應(yīng)該是其補(bǔ)充與深化。,說課,以函數(shù)的性質(zhì)為例，我們討論的函數(shù)性質(zhì) 通常有這樣幾類： 1、有界性， 2、單調(diào)性， 3、奇偶性， 4、周期性。 這些性質(zhì)中學(xué)階段都已經(jīng)有過介紹，完全 沒必要再做詳細(xì)講解，可以簡單地復(fù)習(xí)一 下其定義，最多再作一下簡單的圖示就可 以了，重要的是要闡述這些性質(zhì)的重要意 義。,說課,有界的重要性在于：當(dāng)

4、某個(gè)變量發(fā)生變化 時(shí)，與之相關(guān)的量是不是可以控制，我們 甚至可以適當(dāng)延伸一下，從系統(tǒng)論的觀點(diǎn) 闡述一下它的意義，如經(jīng)濟(jì)上的敏感性分 析，系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，本質(zhì)上都是研究 某個(gè)量在某個(gè)變化過程中的有界性（只不 過討論的是導(dǎo)數(shù)的有界性）。 單調(diào)函數(shù)的重要性在于：實(shí)際問題中常常 要考察當(dāng)一個(gè)量增長或遞減時(shí)，與之相應(yīng) 的量（函數(shù)）是否隨之增長或遞減。這類 問題的例子實(shí)在太多了，俯拾皆是。,說課,奇偶函數(shù)的重要性在于：當(dāng)我們清楚了 函數(shù)具有奇偶性時(shí)，只需要研究自變量 大于零的情形，自變量小于零的情形可 以根據(jù)對稱性得到。 周期函數(shù)的重要性在于：一旦知道了某 個(gè)量的變化具有周期性，便可以預(yù)測某 種現(xiàn)象何時(shí)

5、出現(xiàn)。如天體的運(yùn)動，海潮 的漲落，季節(jié)的交替通常都是有周期性 的。,說課,學(xué)生對初等函數(shù)再熟悉不過了，你若再作 詳細(xì)講解，學(xué)生必然會覺得乏味，但初等 函數(shù)是微積分研究的最重要對象，所有的 計(jì)算都是針對初等函數(shù)進(jìn)行的，略過去顯 然是不妥的，問題在于怎么講。我覺得可 以從數(shù)學(xué)模型的角度做介紹，如何根據(jù)實(shí) 際問題建立數(shù)學(xué)模型呢？通常有如下幾步：,說課,（1） 首先我們要根據(jù)實(shí)際問題選擇適當(dāng)?shù)?自變量和因變量. 這是十分關(guān)鍵的一步，既 要考慮到模型能反映客觀現(xiàn)實(shí)，又要考慮 到數(shù)學(xué)處理的方便。 換句話說，我們需要 做一些折衷. 因變量的確定是比較簡單的， 常常根據(jù)我們要解決的問題便可確定，但 自變量的確

6、定就不那么簡單了，通常我們 不可能將與某種現(xiàn)象有關(guān)的所有因素都羅 列出來，而是確定影響某種現(xiàn)象的最本質(zhì) 因素，將之確定為自變量，也就是說，這 樣的量足以左右某種現(xiàn)象的變化。,說課,（2） 建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系. 建立函數(shù)關(guān)系 有兩種辦法，一是根據(jù)某種現(xiàn)象的規(guī)律來 建立，如天體的運(yùn)動遵循牛頓定律，經(jīng)濟(jì) 市場的各種現(xiàn)象通常遵循經(jīng)濟(jì)規(guī)律等等。 二是采集數(shù)據(jù)再作數(shù)據(jù)處理，從中發(fā)現(xiàn)規(guī) 律，通過將數(shù)據(jù)描點(diǎn)，就可以得到函數(shù)的 圖像表示，如一些統(tǒng)計(jì)圖表就是這樣得到 的。,說課,（3） 利用數(shù)學(xué)知識或工具對模型做分析 ，給出該數(shù)學(xué)問題的解答。微積分就是要 告訴我們?nèi)绾畏治鲞@些數(shù)學(xué)模型。,說課,（4） 根據(jù)對數(shù)學(xué)問

7、題的解答，作出實(shí)際 問題的客觀解釋。如果一個(gè)模型不僅能解 釋某種客觀現(xiàn)象，還能對這種客觀現(xiàn)象的 未來作出比較準(zhǔn)確的預(yù)測，這就是一個(gè)非 常成功的模型了。,說課,在介紹過數(shù)學(xué)模型后可以則重于介紹各種 初等函數(shù)通常在什么樣的實(shí)際問題中出現(xiàn)， 以多項(xiàng)式的介紹為例，我們可以這樣來進(jìn) 行，首先闡明什么叫多項(xiàng)式，最簡單的多 項(xiàng)式是一次函數(shù)（也叫線性函數(shù)，幾何上 代表一條直線），在通過適當(dāng)?shù)睦咏忉?這些概念后需要進(jìn)一步闡明它們的科學(xué)意 義。很多實(shí)際問題中兩個(gè)量之間都以線性 關(guān)系變化，或近似地以線性關(guān)系變化。如 勻速直線運(yùn)動中，路程是時(shí)間的線性函數(shù)。 根據(jù)物理定律足以建立勻速運(yùn)動中路程與 時(shí)間的函數(shù)關(guān)系。,說

8、課,有時(shí)，也許沒有自然定律和法則來幫助我 們建立模型，此時(shí)可以利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)在坐 標(biāo)系中描出它們的點(diǎn)，然后找出一條比較 接近這些數(shù)據(jù)點(diǎn)的變化趨勢的曲線來近似 表達(dá)這些數(shù)據(jù)，這個(gè)過程也稱為“擬合” （通過例子說明如何做擬合）。當(dāng)然很多 時(shí)候并沒有這么幸運(yùn)，事實(shí)上，絕大多數(shù) 實(shí)際問題并不遵循線性模型，如彈簧的振 動，電磁波的運(yùn)動等等都不可能通過線性 模型來描述，甚至有時(shí)不能用一個(gè)簡單的 顯式函數(shù)來表達(dá). 多項(xiàng)式函數(shù)可以描述更多 的現(xiàn)象。,說課,實(shí)際上，無論是自然科學(xué)還是社會科學(xué) 研究中，用得比較多的函數(shù)是多項(xiàng)式函 數(shù)（可以再次舉例說明多項(xiàng)式可以描述 什么樣的物理或社會現(xiàn)象，例如萬有引 力）。其它的初

9、等函數(shù)也都可以對應(yīng)到 一些實(shí)際問題。 如果從這樣的角度來講述函數(shù)，不僅幫 助學(xué)生復(fù)習(xí)了中學(xué)階段學(xué)習(xí)過的函數(shù)概念， 更重要的是學(xué)生知道了函數(shù)不僅僅是抽象 的符號與演算。,說課,2、極限 極限是微積分教學(xué)中公認(rèn)的第一個(gè)難點(diǎn)， 難在那令人不知所云的定量化的極限語言， 很多數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生在學(xué)完了微積分之后 也不知語言到底在說啥。非數(shù)學(xué)專業(yè)所用 的高等數(shù)學(xué)中一般對此要求不高，只 要學(xué)生能依樣畫葫蘆用語言做簡單的證明 即可，只是苦了數(shù)學(xué)專業(yè)的孩子，常常為 此絞盡腦汁也摸不著門道。,說課,極限思想本身并不難掌握，而且現(xiàn)實(shí)中也 經(jīng)常使用“極限”之類的語言，比如“挑戰(zhàn)智 力極限”、“發(fā)揮得淋漓盡致（或發(fā)揮到極

10、致）”、“累死了”等等，相信沒有人會對這 些日常用語不理解。然而一旦數(shù)學(xué)化就讓 人有點(diǎn)霧里看花了，似乎數(shù)學(xué)家們在故弄 玄虛，把一個(gè)本來很好理解的東東變得撲 塑迷離。也難怪，當(dāng)初牛頓對這個(gè)東東的 理解也有點(diǎn)似是而非，以至于有人攻擊他 的文章中出現(xiàn)的無窮小量像個(gè)幽靈般一會 兒不知從什么地方突然冒了出來，一會又 悄無聲息地消失得無影無蹤。,說課,要真正熟練地使用極限的確需要個(gè)過程， 不過為了幫助學(xué)生較好地掌握并處理極限 問題，我們還是可以考慮在教學(xué)上做點(diǎn)改 進(jìn)。雖然我們的教材都是先談極限再談導(dǎo) 數(shù)，但歷史上極限問題是伴隨著實(shí)際問題 產(chǎn)生的，換句話說，談極限不可能離開導(dǎo) 數(shù)或積分的思想，我們在教學(xué)中引

11、入極限 概念時(shí)也不可能擺脫這些背景。,說課,說到底，所謂極限就是當(dāng)自變量發(fā)生變化 時(shí)，因變量（函數(shù)）會如何變化？例如， 馬路上行駛的汽車其速度通常是不斷變化 的，那么如何計(jì)算汽車在某個(gè)時(shí)刻的速度？ 又如，物體從空中落下，將會以加速度向 下墜落，如何求出任一時(shí)刻落體的速度？,說課,在闡述這類問題時(shí)，我們自然會涉及處理 這些問題時(shí)常用的方法：局部地以“常量” 代替“變量”，或者說以“不變”代替“變”、 以“簡單”代替“復(fù)雜”。這也為后面定義導(dǎo) 數(shù)與積分埋下了伏筆。接著可以簡單地闡 述一下如何運(yùn)用這一思想求物體運(yùn)動的瞬 時(shí)速度。中學(xué)階段計(jì)算圓的面積也采用了 類似的思想方法，即用園的內(nèi)接正多邊形 的面

12、積（簡單）作為圓的面積（復(fù)雜）的 近似，當(dāng)邊數(shù)越來越多時(shí)，多邊形的面積 就越來越接近圓的面積了。,說課,我們且別急于給出極限的定量化定義（即 語言），讓學(xué)生先理解了極限概念再說不 遲，可以這樣來給出極限定義： 定義1：設(shè)f(x)在a點(diǎn)的附近有定義（在a點(diǎn) 可以沒有定義），即在a點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域 內(nèi)有定義，如果當(dāng)x越來越接近a點(diǎn)時(shí)f(x)越 來越接近于某一個(gè)常數(shù)A，則稱f(x)當(dāng) x趨 近于 a時(shí)的極限為 A，記作。,說課,學(xué)生對這個(gè)定義沒有任何理解上的困難， 接著可以通過一些例子闡述極限概念。定 義1可以稱為極限的定性描述或直觀描述， 由這個(gè)定義的確可以判斷一些函數(shù)的極限 是否存在，等于多少。

13、然而在大多數(shù)情況 下，并沒有這么幸運(yùn)，有時(shí)，憑直覺不僅 難以估計(jì)極限是多少，甚至不能判斷極限 是否存在，這就需要尋找一種比較科學(xué)的 判斷方法。,說課,問題的難點(diǎn)恰恰在這個(gè)地方，什么是科學(xué) 的判斷方法？如何自然地引入語言？幾乎 所有的教材都是通過具體的例子說明要函 數(shù)值與某個(gè)值接近到某種程度，自變量需 要與某個(gè)值接近到什么程度，可不管你苦 口婆心、口沫橫飛地如何解釋，學(xué)生就是 很難跟著你從具體的例子飛躍到抽象的- 描述。,說課,如何克服這個(gè)難點(diǎn)呢？我們可以讓學(xué)生先 來分析一個(gè)具體的問題：假設(shè)工人要造一 個(gè)球，要求球的體積是V，誤差不超過0.1， 請問他如何保證做到不超過這個(gè)誤差？因 為體積是不可

14、以量的，他唯一能量的是球 的直徑。學(xué)生自然會想到通過球的體積公 式來確定。我們可以進(jìn)一步假設(shè)，不同顧 客對球的精度要求是不同的，比如甲可能 要求體積誤差不超過0.1，乙可能要求體積 誤差不超過0.01，工人能滿足乙的要求嗎？,說課,接著可以用抽象的字母（如）來代表不 同的客戶對誤差的不同要求，工人如何做 到體積誤差不超過？這種具體的例子遠(yuǎn) 比通過數(shù)學(xué)上具體的函數(shù)來說明更容易讓 學(xué)生接受。在此基礎(chǔ)上不妨再來個(gè)具體函 數(shù)并結(jié)合圖像（幾何直觀是必不可少的） 闡述-語言的思想。有了這些準(zhǔn)備工作 之后就可以給出極限的定量化描述了。,說課,總而言之，在講授極限概念時(shí)，宜首先 讓學(xué)生真正理解極限思想而不是極

15、限的 定量化語言，然后通過直觀的例子逐步 誘導(dǎo)出抽象的語言。對于非數(shù)學(xué)專業(yè)的 學(xué)生來說，沒有必要對使用-語言進(jìn) 行證明的問題作太高的要求，關(guān)鍵是真 正能理解這一語言。,說課,3、連續(xù)函數(shù) 極限概念之后緊接著的是函數(shù)的連續(xù)性 問題，相關(guān)的問題有這樣兩類： 1、連續(xù)與間斷的定義、間斷點(diǎn)的類型； 2、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。,說課,連續(xù)函數(shù)的概念本身并不難理解，只要理 解了函數(shù)極限概念，連續(xù)性概念是順理成 章的事，所以在概念上不需要花大力氣， 間斷點(diǎn)的類型也好理解。但如果我們據(jù)此 認(rèn)為連續(xù)函數(shù)的教學(xué)很簡單就錯(cuò)了，這里 依然有一些難點(diǎn)問題，有些問題甚至是傳 統(tǒng)的微積分解決不了的，需要依靠后續(xù)的 “實(shí)變函數(shù)論”

16、才能解決。,說課,例如，如果要一個(gè)函數(shù)Riemann可積的 話，它最多可以有多少間斷點(diǎn)？這個(gè)問題 傳統(tǒng)的微積分就解決不了。對于非數(shù)學(xué)專 業(yè)的學(xué)生來說，他們幾乎沒有機(jī)會接觸新 型的積分理論，所以我倒是覺得在這一部 分不妨多說一點(diǎn)，但理論性不可以太強(qiáng)， 否則學(xué)生就只能當(dāng)天書來聽了，可以采用 類似科普的方式來講授。,說課,人們常常把連續(xù)函數(shù)想像成一個(gè)連續(xù)不斷 的曲線，教材上的例子也大多如此，但如 果我們認(rèn)為連續(xù)函數(shù)就是這個(gè)樣子就大錯(cuò) 特錯(cuò)了，連續(xù)函數(shù)也可以很古怪，著名的 皮亞偌曲線就是個(gè)典型的“病態(tài)”連續(xù)函 數(shù)，因?yàn)樗膱D像充滿了一個(gè)矩形，換句 話說，這個(gè)函數(shù)把一個(gè)區(qū)間映成了一個(gè)矩 形，你能想像嗎？

17、可它的確存在 。,說課,不過我們沒有必要詳細(xì)介紹這個(gè)曲線的構(gòu) 造，既費(fèi)時(shí)間，學(xué)生也未必能真正聽懂， 最多可以介紹個(gè)大概，然后建議有興趣的 同學(xué)去看看相關(guān)的書籍，如分析中的反 例就是本不錯(cuò)的參考書。或許有人認(rèn)為 對非數(shù)學(xué)類的學(xué)生沒必要講這些，數(shù)學(xué)專 業(yè)的學(xué)生都未必講這個(gè)曲線。,說課,我不這么看，我們往往習(xí)慣于從正面介紹 種理論，可是反例對于理解一個(gè)概念或種 性質(zhì)常常能起到事半功倍的作用，從一個(gè) 角度說，反例是構(gòu)造者智慧的結(jié)，很多正 面的結(jié)論我們可以按照邏輯逐步演出來， 而反例通常是反常態(tài)的，蘊(yùn)藏一種奇思妙 想，了解他們既是一種數(shù)學(xué)賞，對于學(xué)生 的智力挖掘也能起到一定作用，歷史上很 多重要的反例都

18、是天才造出來的。,說課,函數(shù)真的是一個(gè)花花世界，千姿百態(tài)，綏 陽兄介紹的Weierstrass函數(shù)就是個(gè)處處連 續(xù)處處不可微的函數(shù)，而在此之前，即便 是Gauss這樣的大家對此也有點(diǎn)茫然。事實(shí) 上，一門完整的學(xué)科應(yīng)該是由理論與反例 共同構(gòu)成的，反例是其中不可分割的一個(gè) 組成部分。,說課,再來說間斷，不連續(xù)自然就是間斷了，間 斷點(diǎn)的類型每本微積分教材中都有詳細(xì)論 述，無需我多說，這里想說的是，你除了 知道Dirichlet函數(shù)這種極端病態(tài)的函數(shù)（處 處不連續(xù)）外還知道多少間斷函數(shù)？,說課,我們常常用分段函數(shù)來構(gòu)造間斷函數(shù)，可 你能說清楚函數(shù)有多少可能的間斷點(diǎn)嗎？ 處處間斷已經(jīng)有了，有限個(gè)間斷點(diǎn)也

19、很容 易構(gòu)造，此外呢？你還知道多少？就拿我 們熟悉的數(shù)來說吧，有無可能存在在有理 點(diǎn)間斷、在無理點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)？存不存在 在無理點(diǎn)間斷、在有理點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)？如 果有，你能構(gòu)造出來嗎？如果沒有，你能 證明嗎？,說課,通過上述幾個(gè)反例，我們可以進(jìn)一步展 開，適當(dāng)介紹一下“實(shí)變函數(shù)”中的奇異函 數(shù)（導(dǎo)數(shù)幾乎處處等于0的函數(shù)），這里可 以先介紹構(gòu)造，分析它的間斷點(diǎn)，待講了 導(dǎo)數(shù)概念后再來闡述它的奇異性，因?yàn)槠?異函數(shù)是實(shí)變函數(shù)理論中一類具有代表性 的函數(shù)，學(xué)生也比較容易理解，它不過是 構(gòu)造有限個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)的簡單延伸。,說課,當(dāng)然，關(guān)于函數(shù)有多少間斷點(diǎn)的問題的確 是個(gè)很復(fù)雜的問題，在微積分教學(xué)中不適 合

20、詳細(xì)追究，但適當(dāng)介紹典型的反例我認(rèn) 為是需要的。它可以幫助學(xué)生更深刻地認(rèn) 識連續(xù)與間斷。,說課,連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)很豐富，也非常具有實(shí)用 價(jià)值，高等數(shù)學(xué)教材中一般只介紹閉 區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)但不介紹它們的證 明，主要原因是這些性質(zhì)的證明中用到實(shí) 數(shù)理論中一個(gè)著名原理：有限覆蓋原理（其實(shí)有限覆蓋原理、區(qū)間套定理、聚 點(diǎn)原理都是等價(jià)的），高等數(shù)學(xué)教材 中是不介紹這個(gè)定理的。然而，這一理論 之重要幾乎覆蓋了數(shù)學(xué)的每個(gè)領(lǐng)域，學(xué)生 不知道實(shí)在有點(diǎn)遺憾，我們完全可以采用 直觀的方法介紹這一原理，至少學(xué)生對區(qū) 間套定理在理解上不會有任何難度。,說課,以有限覆蓋定理為例，有限覆蓋定理對于 任何一個(gè)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生

21、或老師而言都不 陌生，因?yàn)閺奈⒎e分、實(shí)變函數(shù) 到微分幾何、拓?fù)?、泛函?析，有限覆蓋定理都是一個(gè)基本的工具。 然而，有多少學(xué)生真正理解了這個(gè)定理的 科學(xué)意義？又有多少學(xué)生真正理解了這個(gè) 定理的證明？恐怕要打個(gè)大大的問號！先 來看看這個(gè)定理是怎么說的。,說課,Borel有限覆蓋定理：設(shè)F是Rn中的有界 閉集，G=G|是一簇開 集,G包含F(xiàn),則一定存在G中有限 個(gè)開集Gi，i=1，n，使得Gi包 含了F。,說課,如果大家對“有界閉集”這個(gè)詞不感冒，不 妨把它當(dāng)作閉區(qū)間a，b，一簇開集可以 當(dāng)作一簇開區(qū)間G=（a，b），這樣 總理解了吧？用區(qū)間的語言重新敘述，上 述定理是說，如果一簇開區(qū)間把閉區(qū)間

22、a，b蓋住了，那么從這些開區(qū)間中可以 選出有限個(gè)就能把a(bǔ)，b蓋住。,說課,這一思想貫穿了數(shù)學(xué)的眾多領(lǐng)域，微分方 程、微分幾何、實(shí)分析、泛函分析、拓?fù)?等現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支中經(jīng)?？吹剿纳碛?，它 幾乎成了一個(gè)放之四海而皆好使的基本方 法，如果將它與單位分解結(jié)合起來那就更 是如虎添翼無敵于天下了。,說課,一個(gè)貌似平常的定理怎會如此了得？這還 得從微積分說起。微積分的一個(gè)基本思想 是“局部地以簡單代替復(fù)雜”，這是微積分 的靈魂或精髓。例如，微分近似公式是說 局部地用切線代替曲線，積分的分割求和 是說局部地用矩形代替曲邊梯形。也就是 說，在某個(gè)點(diǎn)的充分小的范圍內(nèi)可以用“熟 悉”的東西代替“不熟悉”的東西。,

23、說課,舉例來說，對于定義在某個(gè)區(qū)間I（可以是 開區(qū)間也可以是閉區(qū)間或半開半閉的區(qū)間） 上的連續(xù)函數(shù)f，我們可以在區(qū)間I中的任一 點(diǎn)x處根據(jù)需要作一個(gè)小鄰域 （x-，x+），如果足夠小，f在 （x-，x+）上可近似看作常數(shù)或其他 接近f的函數(shù)，于是在（x-，x+）上相 應(yīng)的問題就好解了。,說課,或許有人會說何必這么麻煩，直接將區(qū)間 等分不就行了？的確，對于區(qū)間而言是可 以那么做的，但如果是一般的有界閉集就 行不通了。換句話說，我們在區(qū)間的每一 點(diǎn)附近可以求近似解，問題是最終要求整 體解，如何把這些局部解粘到一起？由于 我們是對每個(gè)點(diǎn)x都作了個(gè)小鄰域（x-， x+），而且對不同的x，可能是不一 樣

24、的，這些小區(qū)間有無窮多個(gè)，你很難找 一個(gè)合適的方法把局部解粘成一個(gè)整體 解，但如果只有有限個(gè)小鄰域就好辦多了 （數(shù)學(xué)上有所謂的單位分解就是對付這類 問題的，這里且不作詳細(xì)介紹）。,說課,問題在于，能否找到有限個(gè)小鄰域把給定 的區(qū)間I蓋??？這與I是什么樣的區(qū)間有關(guān) 系，為什么閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有著其它 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)所沒有的性質(zhì)（如最大 最小值原理、介值定理等）？根本的原因 正在于此。,說課,既然有限覆蓋如此的重要，有限覆蓋定理 的重要性自然就不用懷疑了，問題是為什 么“有界閉集”有這種性質(zhì)而開集未必有？ 有人或許會說：“我也能找到一個(gè)開區(qū)間的 開覆蓋從中可以找到有限的子覆蓋”，所謂 性質(zhì)就是

25、無一例外的一種普適的特征，例 如（-1+1/n,1-1/n）(n=1,2,)肯定蓋住了 (-1,1)，但你能找出有限個(gè)（-1+1/n，1-1/n） 把（-1，1）蓋住嗎？有反例就說明它不是 普適的特征。,說課,為什么閉集就有這種特征？這要從區(qū)間的 端點(diǎn)說起。我們先感覺一下（考考你的數(shù) 學(xué)直覺），由于開集簇把閉集蓋住了（為 簡單起見，仍然假定閉集為閉區(qū)間a， b，開集簇為開區(qū)間（ai，bi），i=1， 2，）端點(diǎn)a與b分別在某兩個(gè)開區(qū)間 （a1，b1）與（a2，b2）中，將這兩個(gè)區(qū) 間挖掉后留下了b1，a2（運(yùn)氣好的話， 這兩個(gè)就將a，b蓋住了），再次找兩個(gè) 開區(qū)間分別含b1與a2，依此下去能不

26、能經(jīng) 過有限次將閉區(qū)間挖完呢？這取決于找的 這些區(qū)間的長度是否趨于零，如果不趨于 零，有限次肯定可以做到，否則大為不妙。,說課,想象往一個(gè)圓桶中放“乒乓球”，如果“乒乓 球”的半徑是一定的，那么不管圓桶有多 大，最多只能裝有限個(gè)球，如果“乒乓球” 的半徑可以無限小，那么完全可以裝無限 個(gè)球。我們終于找到了證明這個(gè)定理的“瓶 頸”了，接下來的關(guān)鍵是證明：“一定可以 找到一個(gè)正數(shù)，使得對任意xa，b， （x-，x+）包含在某個(gè)開區(qū)間 （ai，bi）中”。,說課,連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)對于方程的求解具有重要 意義，它在理論上保證了我們在進(jìn)行數(shù)值 求解時(shí)近似解的收斂性。這里要強(qiáng)調(diào)的 是，傳統(tǒng)的教學(xué)中基本不涉及

27、求近似解的 問題，最多舉幾個(gè)證明方程解的存在性的 例子，然而，對非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說， 求近似解往往更具有現(xiàn)實(shí)意義，所以這部 分應(yīng)該強(qiáng)化數(shù)值計(jì)算的教學(xué)，最好順便介 紹如何編制求解程序并上機(jī)計(jì)算。 由此可見，一個(gè)大家平時(shí)認(rèn)為比較簡單并 不怎么看重的部分要處理好也不那么容易。,說課,4、導(dǎo)數(shù) 作為微積分的重要組成部分，函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 與微分相對于極限及積分要容易處理一些。 很多老師將主要精力放在如何計(jì)算函數(shù)的 導(dǎo)數(shù)與微分問題上，常常忽略了與導(dǎo)數(shù)相 關(guān)的深刻的數(shù)學(xué)思想。,說課,在函數(shù)的極限部分已經(jīng)初步接觸了導(dǎo)數(shù)的 思想（如計(jì)算物體運(yùn)動的瞬時(shí)速度等）， 這里可以稍微系統(tǒng)地介紹導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的背 景，他對于學(xué)生真

28、正理解導(dǎo)數(shù)與微分的內(nèi) 涵有著重要意義。,說課,歷史上導(dǎo)數(shù)概念的產(chǎn)生源于幾何、物理中 幾類典型問題： 1、沿直線運(yùn)動物體的瞬時(shí)速度； 2、沿曲線運(yùn)動物體任意時(shí)刻的運(yùn)動方向（如確定拋射物某個(gè)時(shí)刻的運(yùn)動方向）； 3、光的反射； 4、曲線上一點(diǎn)處的切線。 可以通過具體的例子闡述解決這類問題的 一般方法，從中發(fā)現(xiàn)他們的共性進(jìn)而歸納 出導(dǎo)數(shù)概念。,說課,換句話說，導(dǎo)數(shù)是從許多實(shí)際問題中抽象 出來的概念，它擺脫了各種繁鎖的實(shí)際背 景，以便于我們從純數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行研究。 在此可以從方法論的角度適當(dāng)展開，事實(shí) 上導(dǎo)數(shù)概念的出現(xiàn)正是一個(gè)從特殊現(xiàn)象到 一般規(guī)律的成功發(fā)現(xiàn)的典范。它告訴我們 如何從各種紛繁復(fù)雜的自然現(xiàn)

29、象或社會現(xiàn) 象中發(fā)現(xiàn)某種共同的東西，并加以提煉形 成一套普遍適用的理論，再反過來運(yùn)用于 各種實(shí)際問題的研究。,說課,如果我們將導(dǎo)數(shù)概念再次運(yùn)用于實(shí)際問題 中，將會發(fā)現(xiàn)，諸如功關(guān)于時(shí)間的變化率 （功率），化學(xué)反應(yīng)中反應(yīng)物的濃度關(guān)于 時(shí)間的變化率（反應(yīng)速度），某種商品的 制造商對每天制造x件產(chǎn)品的成本關(guān)于x的 變化率（邊際成本）等等重要的量都是這 里所說的導(dǎo)數(shù)，可見導(dǎo)數(shù)概念是多么重要。 從導(dǎo)數(shù)概念的建立可以看到，從特殊到一 般，從具體到抽象的歸納與概括能力是發(fā) 現(xiàn)和建立各種理論的一項(xiàng)基本能力。,說課,求導(dǎo)法則的教學(xué)沒有多少懸念，需要重點(diǎn) 交代的是復(fù)合函數(shù)的鏈法則以及隱函數(shù)、 含參變量的函數(shù)、反函數(shù)

30、的求導(dǎo)法則，這 部分需要多做些練習(xí)。相對于極限與積分 的計(jì)算，導(dǎo)數(shù)的計(jì)算要相對容易些，學(xué)生 只要細(xì)心，不會感到太為難。,說課,知道一階導(dǎo)數(shù)，高階導(dǎo)數(shù)自然不難，但要 說清楚為什么要考慮高階導(dǎo)數(shù)，以往老師 們也許不太注意這個(gè)問題?？梢韵葟囊粋€(gè) 具體的例子開始，在自由落體方程 h=1/2gt2中，g是重力加速度，也就是落體 的速度關(guān)于時(shí)間的變化率。而速度是落體 的高度關(guān)于時(shí)間的變化率，于是我們也可 以說，加速度是落體高度關(guān)于時(shí)間變化率 的變化率。,說課,從幾何上看，函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在 該點(diǎn)切線的斜率，如果我們要做近似逼近 的話，那么曲線在一點(diǎn)的切線是在該點(diǎn)附 近最接近曲線的直線，因此只要精確度

31、要 求不高，近似地可以在該點(diǎn)附近用切線代 替曲線，特別是當(dāng)距離切點(diǎn)很近或曲線彎 曲程度不大時(shí)，這種近似還是很有效的。,說課,然而，如果要在更大的范圍內(nèi)用我們熟悉 的特殊函數(shù)逼近一般函數(shù)，或者在給定的 范圍內(nèi)（這個(gè)范圍也許較大）逼近一個(gè)函 數(shù)，線性函數(shù)（直線）顯然是不能如我們 所愿的， 此時(shí)我們可能需要比線性函數(shù)更 一般的函數(shù)。這就要求我們對函數(shù)的特性 作更深入的了解，如曲線是向上還是向下 彎曲？在什么地方拐彎？等等，弄清這些 問題將依賴于函數(shù)的更高階導(dǎo)數(shù)。,說課,在函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)中已經(jīng)涉及了一個(gè)基本 思想：近似地在曲線上一點(diǎn)的附近用切線 代替曲線，這就是微分的思想。微分思想 對于函數(shù)的近似計(jì)算

32、是非常重要的，事實(shí) 上，設(shè) y=f(x)，若 f(x)在x0 點(diǎn)可導(dǎo)，則其 曲線在 x0 點(diǎn)處的切線方程為 y=f(x0)+f(x0)(x-x0)， （*）,說課,記 f(x)=f(x)-f(x0)為 y=f(x)在x0點(diǎn)附近的 增量，則 f(x)=f(x0)+f(x)， 記x=x-x0，則切線方程可以寫作 y=f(x0)+f(x0) x , 于是 f(x)-(f(x0)+f(x0)x)= f(x)-f(x0)x （*）,說課,顯然，當(dāng)x 0時(shí)，(*) 式也趨于0 ，不僅如 此，由導(dǎo)數(shù)的定義可以看到 f(x)-(f(x0)+f(x0)x)/x=f(x)/x-f(x0)0(x0)。 這說明 (*

33、) 是比x 更高階的無窮小量。因 此當(dāng)x很小時(shí)，切線與函數(shù)曲線的誤差也是 很小的，這正是我們對函數(shù)進(jìn)行近似計(jì)算 的基礎(chǔ)。,說課,也就是說，如果函數(shù)y=f(x)在x0點(diǎn)的值容 易計(jì)算，但計(jì)算其它點(diǎn)處的值是困難的， 則在x0附近，可以用線性函數(shù)(*) 來替代 f(x)。緊接著不妨通過幾個(gè)實(shí)際的例子闡述 上述思想，在此基礎(chǔ)上引入微分的數(shù)學(xué)定 義。至于微分運(yùn)算法則，在找到了導(dǎo)數(shù)與 微分的關(guān)系之后，這些法則就是很自然的 了。,說課,5、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 曾經(jīng)聽了一節(jié)課，嚴(yán)格說來只有十分鐘左 右，因?yàn)檎n堂進(jìn)行到十分鐘時(shí)被我打斷了。 試講者講的是極值問題，主要介紹費(fèi)馬定 理，他是這樣開場的：,說課,今天我們要介紹

34、費(fèi)馬定理，費(fèi)馬定理有兩 種，一個(gè)是費(fèi)馬大定理，即Xn+Yn=Zn在n3時(shí)沒有整數(shù) 解（主講者簡單介紹了一下費(fèi)馬，不過 介紹不到位），不過我們今天要介紹的是 費(fèi)馬定理，不是費(fèi)馬大定理。先來介紹一 下概念（接著主講者畫了個(gè)函數(shù)圖像，寫 下了極大值、極小值的概念）。費(fèi)馬定理 是說：如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x_0的鄰域內(nèi)有 定義，且在該點(diǎn)可導(dǎo)，則當(dāng)函數(shù)在該點(diǎn)有 極值時(shí)，有f(x_0)=0。,說課,主講人寫了“證明“兩個(gè)字并開始邊講邊寫 證明過程，等到證明快要講完時(shí)被我打斷 了。我問了幾個(gè)問題：“你在一開始講費(fèi)馬 大定理與后面的內(nèi)容有什么內(nèi)在聯(lián)系？其 次，如果我是學(xué)生，我自然會產(chǎn)生這樣的 疑問，你為什么

35、要定義極值？你怎么知道 有費(fèi)馬定理的？”,說課,接著我對他說：“如果是我來講，我可能會 這樣講：現(xiàn)實(shí)中常常碰到求最大值與最小 值的問題，例如木工要將一個(gè)圓柱形的木 頭鋸成抗彎強(qiáng)度最大的矩形梁，該怎么 鋸？市場上，商家總是追求利潤最大化， 但并非價(jià)格越高利潤越大，因?yàn)閮r(jià)格提 高，銷量就會減少，如何確定合適的價(jià)格 使利潤最大？反映到數(shù)學(xué)上來，就是求函 數(shù)的最大值或最小值。,說課,那么，如何求函數(shù)的最大值與最小值呢？ 我會畫出幾種函數(shù)的圖像，其中最大或最 小值分別在區(qū)間的端點(diǎn)或內(nèi)部取到，通過 對這些圖像的分析，我們會發(fā)現(xiàn)，最大值 肯定在圖像的峰點(diǎn)或端點(diǎn)處取到，然 而，從這些圖像可以看出，一個(gè)函數(shù)的峰

36、 點(diǎn)可能有很多，在峰點(diǎn)處函數(shù)有什么特 點(diǎn)？于是極值概念出現(xiàn)了，通過對極值的 進(jìn)一步分析，我們直覺上會感到，如果函 數(shù)在峰點(diǎn)處有切線，則切線應(yīng)該是水平 的，于是我們猜到了費(fèi)馬定理”,說課,科研對教學(xué)的確有幫助，數(shù)學(xué)是一個(gè)發(fā)現(xiàn) 問題、分析問題、解決問題的過程，所以 我們的課堂應(yīng)該圍繞著問題展開，如何通 過個(gè)別現(xiàn)象的分析提出合適的問題？如何 通過對這些問題的分析建立相關(guān)的概念以 及發(fā)現(xiàn)解決問題的可能的途徑？如何學(xué)會 數(shù)學(xué)猜測？教材是不會教給我們這些東西 的，它需要我們從科研實(shí)踐中學(xué)習(xí)。,說課,教學(xué)并不像想象的那么簡單，如果我們在 課堂上就著書本從概念到定理再到證明， 而對于這些概念、定理的來龍去脈以

37、及如 何發(fā)現(xiàn)定理證明的蛛絲馬跡無所交代，那 么與讓學(xué)生自己看書有什么本質(zhì)差別？我 們要求老師課前要認(rèn)真?zhèn)湔n，并且評估時(shí) 還要看老師的備課筆記。筆記能說明什 么？課一定要備在本子上么？備在本子上 就合格了？依我看，真正的備課是琢磨如 何設(shè)計(jì)合適的問題以及如何通過對這些問 題的分析尋找解決問題的方案進(jìn)而提出恰 當(dāng)?shù)母拍?、發(fā)現(xiàn)有規(guī)律性的東西并大膽作 出猜測。,說課,記得當(dāng)初為了迎接本科教學(xué)水平評估，我 們進(jìn)行了比平時(shí)要多的教學(xué)研討，有些老 師的課的確講得不錯(cuò)，但有些老師的課不 盡如人意，而且，課講得好賴與學(xué)歷未見 得有必然的關(guān)系。有一位博士試講的內(nèi)容 是微分中值定理，其講課的方式與上面提 到的試講異

38、曲同工。,說課,試講者單刀直入：“今天我們介紹微分中值 定理，首先介紹羅爾中值定理?！苯又?，試 講者寫下了羅爾定理，然后就是證明，嚴(yán) 格說來與書本沒什么差別。她講了大概20 分鐘左右，被我打斷了。這位老師的表達(dá) 能力并不差，甚至稱得上能說會道，如果 做個(gè)有心人，完全可以成為一個(gè)好教師， 遺憾的是，從她的試講至少可以看出兩點(diǎn)： “1、她上課尚未入門（盡管她已上過多年 的課）；2、她根本沒有認(rèn)真琢磨課該怎么 上，沒有思考科研與教學(xué)之間有沒有關(guān)系， 而是將科研與教學(xué)完全割裂了開來”。,說課,我覺得，老師的課如果按教材上的邏輯順 序進(jìn)行多半不會成功，因?yàn)榻滩牡哪Ｊ绞牵?概念定理證明例題。但一門理論的

39、建立過程往往是：現(xiàn)象問題分析猜 測證明，即從某些具體現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)問題， 通過對問題的分析建立相應(yīng)的概念并猜測 一般規(guī)律（即定理），然后驗(yàn)證猜測。理 論的建立過程與教科書的闡述過程在邏輯 上往往是反過來的。,說課,換句話說，我們常常是通過觀察得到一個(gè) 猜測，然后由猜測（結(jié)論）出發(fā)一步一步 尋找與條件的關(guān)系。教師的任務(wù)應(yīng)該是“回 放”定理的發(fā)現(xiàn)過程，而不是按教材的邏輯 順序講授內(nèi)容。有些老師覺得，我只要不 用教材上的例題，或者不用教材上的方法 證明某個(gè)定理就不是照本宣科了。這是對 照本宣科的誤解，你不講書上的例題或不 用書上的證明未必就不是照本宣科，你完 全采用書上的例題或證明未必就是照本宣 科，關(guān)鍵看你怎么講。,說課,以微分中值定理為例，教材通常是先介 紹定理及證明（幾乎沒有任何教材在介 紹中值定理前闡述中值定理的科學(xué)意 義），再介紹其幾何意義。 我點(diǎn)評道：“要講清楚微分中值定理，首 先要搞清楚中值定理的科學(xué)意義何在， 可以從微分近似公式開始導(dǎo)入，從微分 近似公式的幾何意義出發(fā)，說明在一點(diǎn) 附近可以用曲線的切線近似代替曲線， 從而得到該點(diǎn)附近函數(shù)的近似值。,說課,但微分近似公式有其局限性，只能在給定 點(diǎn)的附近近似，如何在更廣的范圍內(nèi)估計(jì) 函數(shù)值？有兩種可能的方案，一個(gè)是放棄 線性，用更一般的