1、2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（福建卷）數(shù)學(xué)（文科）第卷（選擇題 共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求（1）【2015年福建，文1，5分】若（，是虛數(shù)單位），則的值分別等于（ ）（A）3,-2 （B）3,2 （C）3,-3 （D）-1,4【答案】A【解析】由已知得，故，故選A（2）【2015年福建，文2，5分】若集合，則等于（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】由交集定義得，故選D（3）【2015年福建，文3，5分】下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】函數(shù)和是非

2、奇非偶函數(shù)；是偶函數(shù)；是奇函數(shù)，故選D（4）【2015年福建，文4，5分】閱讀如圖所示的程序框圖，閱讀相應(yīng)的程序若輸入的值為1，則輸出的值為（ ）（A）2 （B）7 （C）8 （D）128【答案】C【解析】該程序表示分段函數(shù)，則，故選C（5）【2015年福建，文5，5分】若直線過點(diǎn)，則的最小值等于（ ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）【答案】C【解析】由已知得，則，因此，所以，故，當(dāng)，即時取等號，故選C（6）【2015年福建，文6，5分】若，且為第四象限角，則的值等于（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】由，且為第四象限角，則，則，故選D（7）【2015年福建，文7，5分】

3、設(shè)，若，則實(shí)數(shù)的值等于（ ）（A） （B） （C） （D） 【答案】A【解析】由已知得，因?yàn)?，則，因此，解得，故選A（8）【2015年福建，文8，5分】如圖，矩形中，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為且點(diǎn)與點(diǎn)在函數(shù)的圖像上若在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自陰影部分的概率等于（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】由已知得，則矩形面積為，陰影部分面積為，故該點(diǎn)取自陰影部分的概率等于故選B （9）【2015年福建，文9，5分】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】由三視圖還原幾何體，該幾何體是底面為直角梯形，高為2的直四棱柱，且底面直角

4、梯形的兩底分別為1,2，直角腰長為1，斜腰為底面積為，側(cè)面積為則其表面積為，所以該幾何體的表面積為，故選C（10）【2015年福建，文10，5分】變量滿足約束條件，若的最大值為2，則實(shí)數(shù)等于（ ）（A）-2 （B）-1 （C）1 （D）2【答案】C【解析】將目標(biāo)函數(shù)變形為，當(dāng)取最大值，則直線縱截距最小，故當(dāng)時，不滿足題意；當(dāng)時，畫出可行域，如圖所示， 其中顯然不是最優(yōu)解，故只能是最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)得，解得，故選C（11）【2015年福建，文11，5分】已知橢圓的右焦點(diǎn)為短軸的一個端點(diǎn)為，直線交橢圓于兩點(diǎn)若，點(diǎn)到直線的距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）（A） （B） （C） （D）【

5、答案】A【解析】設(shè)左焦點(diǎn)為，連接，則四邊形是平行四邊形，故，所以，所以，設(shè)，則，故，從而，所以橢圓的離心率的取值范圍是，故選A（12）【2015年福建，文12，5分】“對任意，”是“”的（ ）（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)，構(gòu)造函數(shù)，則故在單調(diào)遞增，故，則；當(dāng)時，不等式等價于，構(gòu)造函數(shù)，則，故在遞增，故，則綜上所述，“對任意，”是“”的必要不充分條件，故選B第卷（非選擇題 共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分把答案填在答題卡的相應(yīng)位置（13）【2015年福建，文13，5分】某校高一年級有9

6、00名學(xué)生，其中女生400名，按男女比例用分層抽樣的方法，從該年級學(xué)生中抽取一個容量為45的樣本，則應(yīng)抽取的男生人數(shù)為 【答案】25【解析】由題意得抽樣比例為，故應(yīng)抽取的男生人數(shù)為（14）【2015年福建，文14，5分】若中，則等于 【答案】【解析】由題意得由正弦定理得，則，所以（15）【2015年福建，文15，5分】若函數(shù)滿足，且在單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的最小值等于 【答案】1【解析】由得函數(shù)關(guān)于對稱，故，則，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得在遞增，故，所以實(shí)數(shù)的最小值等于1（16）【2015年福建，文16，5分】若是函數(shù)的兩個不同的零點(diǎn)，且這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則的值等于

7、【答案】9【解析】由韋達(dá)定理得，則，當(dāng)適當(dāng)排序后成等比數(shù)列時，必為等比中項(xiàng)，故，當(dāng)適當(dāng)排序后成等差數(shù)列時，必不是等差中項(xiàng)，當(dāng)是等差中項(xiàng)時，解得，；當(dāng)是等差中項(xiàng)時，解得，綜上所述，所以三、解答題：本大題共6題，共74分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程 （17）【2015年福建，文17，12分】等差數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求的值解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為由已知得，解得所以（2）由（1）可得所以（18）【2015年福建，文18，12分】全網(wǎng)傳播的融合指數(shù)是衡量電視媒體在中國網(wǎng)民中影響了的綜合指標(biāo)根據(jù)相關(guān)報道提供的全網(wǎng)傳播2015年某全國性大型活動的“省級衛(wèi)視新聞臺”融合指數(shù)

8、的數(shù)據(jù)，對名列前20名的“省級衛(wèi)視新聞臺”的融合指數(shù)進(jìn)行分組統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表所示組號分組頻數(shù)12283743（1）現(xiàn)從融合指數(shù)在和內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺”中隨機(jī)抽取2家進(jìn)行調(diào)研，求至少有1家的融合指數(shù)在的概率；（2）根據(jù)分組統(tǒng)計(jì)表求這20家“省級衛(wèi)視新聞臺”的融合指數(shù)的平均數(shù)解：解法一：（1）融合指數(shù)在內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺”記為，；融合指數(shù)在內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺”記為 ，從融合指數(shù)在和內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺”中隨機(jī)抽取2家的所有基本事件是：，共10個其中，至少有1家融合指數(shù)在內(nèi)的基本事件是：，共9個所以所求的概率（2）這20家“省級衛(wèi)視新聞臺”的融合指數(shù)平均數(shù)等于解法二：（1）融合指數(shù)在內(nèi)的“省級衛(wèi)

9、視新聞臺”記為，；融合指數(shù)在內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺”記為，從融合指數(shù)在和內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺”中隨機(jī)抽取2家的所有基本事件是：，共10個其中，沒有1家融合指數(shù)在內(nèi)的基本事件是：，共1個所以所求的概率（2）同解法一（19）【2015年福建，文19，12分】已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn) 在拋物線上，且（1）求拋物線的方程；（2）已知點(diǎn)，延長交拋物線于點(diǎn)，證明：以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓，必與直線相切解：解法一：（1）由拋物線的定義得因?yàn)?，即，解得，所以拋物線的方程為 （2）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)由，可得直線的方程為由，得，解得或，從而又，所以，所以，從而，這表明點(diǎn)到直線，的距離

10、相等，故以為圓心且與直線相切的圓必與直線相切解法二：（1）同解法一（2）設(shè)以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓的半徑為因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)由，可得直線的方程為由，得，解得或，從而又，故直線的方程為，從而又直線的方程為，所以點(diǎn)到直線的距離這表明以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓必與直線相切（20）【2015年福建，文20，12分】如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)，垂直于圓所在的平面，且（1）若為線段的中點(diǎn)，求證平面；（2）求三棱錐體積的最大值；（3）若，點(diǎn)在線段上，求的最小值解：解法一：（1）在中，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以又垂直于圓所在的平面，所以因?yàn)?，所以平面?）因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以當(dāng)

11、時，到的距離最大，且最大值為1又，所以面積的最大值為又因?yàn)槿忮F的高，故三棱錐體積的最大值為（3）在中，所以同理，所以在三棱錐中，將側(cè)面繞旋轉(zhuǎn)至平面，使之與平面共面，如圖所示當(dāng)，共線時，取得最小值又因?yàn)?，所以垂直平分，即為中點(diǎn)從而，亦即的最小值為解法二：（1）（2）同解法一（3）在中，所以，同理所以，所以在三棱錐中，將側(cè)面繞旋轉(zhuǎn)至平面，使之與平面共面，如圖所示當(dāng)，共線時，取得最小值所以在中，由余弦定理得：從而所以的最小值為（21）【2015年福建，文21，12分】已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再向下平移（）個單位長度后得到函數(shù)的圖象，且函數(shù)的最大值為2（i）求函數(shù)的解析式；（ii）證明：存在無窮多個互不相同的正整數(shù)，使得解：（1）所以函數(shù)的最小正周期（2）（i）將的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，再向下平移（）個單位長度后得到的圖象又已知函數(shù)的最大值為2，所以，解得所以（ii）要證明存在無窮多個互不相同的正整數(shù)，使得，就是要證明存在無窮多個互不相同的正整數(shù)，使得，即由知，存在，使得由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時，均有因?yàn)榈闹芷跒?，所以?dāng)時，均有因?yàn)閷θ我獾恼麛?shù)，所以對任意的正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得亦即存在無窮多個互不相同的正整數(shù)，使得（22）【2015年