1、二次函數(shù)復習提綱一、二次函數(shù)的概念和圖像 1、二次函數(shù)的概念一般地，如果，那么y叫做x 的二次函數(shù)，叫做二次函數(shù)的一般式。2、二次函數(shù)的圖像：二次函數(shù)的圖像是一條關于對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。拋物線的主要特征：有開口方向；有對稱軸；有頂點。幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向對稱軸頂點坐標當時開口向上當時開口向下（軸）（0,0）（軸）(0, )(,0)(,)()例：（2012泰安）二次函數(shù)的圖象如圖，則一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（ ）A第一、二、三象限B第一、二、四象限C第二、三、四象限D第一、三、四象限考點：二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的性質。解：拋物線的頂點在第四象限，m0，n0，

2、m0，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過二、三、四象限，故選C3、二次函數(shù)圖像的畫法（五點法）：（1）先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點坐標，在平面直角坐標系中描出頂點M，并用虛線畫出對稱軸（2）求拋物線與坐標軸的交點：當拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A,B及拋物線與y軸的交點C，再找到點C的對稱點D。將這五個點按從左到右的順序連接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函數(shù)的圖像。當拋物線與x軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D。由C、M、D三點可粗略地畫出二次函數(shù)的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像，可再描出一對對稱點A、B，然后順次連接五點，畫出二次函數(shù)的圖像。圖像參考： 二、二次函數(shù)

3、的解析式（1）二次函數(shù)有四種表達形式二次一項式型：形如y=ax2（a是常數(shù)，且a0），x取任意實數(shù)。二次二項式型：形如y=ax2+bx（a是常數(shù)，且a0，b是常數(shù)，b0），x取任意實數(shù)。二次二項式型：形如y=ax2+c（a是常數(shù)，且a0，c是常數(shù)，c0），x取任意實數(shù)。二次三項式型：形如y=ax2+bx +c（a是常數(shù)，且a0，b是常數(shù)，b0，c是常數(shù)，c0），x取任意實數(shù)。（2）不論是哪一種表示形式，都必須規(guī)定a0，否則，就沒有了二次項，二次函數(shù)就沒有意義了。（3）二次函數(shù)解析式的三種形式：（1）一般式：（2）頂點式：（3）交點式：（a0）當拋物線與x軸有交點時，即對應二次好方程有實根和存在

4、時，根據(jù)二次三項式的分解因式，二次函數(shù)可轉化為兩根式（a0）。如果沒有交點，則不能這樣表示。例:（2012泰安）將拋物線向上平移3個單位，再向左平移2個單位，那么得到的拋物線的解析式為（ ）ABCD考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換。解：由“上加下減”的原則可知，將拋物線向上平移3個單位所得拋物線的解析式為：；由“左加右減”的原則可知，將拋物線向左平移2個單位所得拋物線的解析式為：故選A三、二次函數(shù)的最值 如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當時，。如果自變量的取值范圍是，那么，首先要看是否在自變量取值范圍內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當x=時，；若不在此范圍內(nèi)，則需要考

5、慮函數(shù)在范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當時，當時，；如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當時，當時，。例：如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的三個頂點B（1，0），C（3，0），D（3，4）以A為頂點的拋物線y=ax2+bx+c過點C動點P從點A出發(fā)，沿線段AB向點B運動同時動點Q從點C出發(fā)，沿線段CD向點D運動點P，Q的運動速度均為每秒1個單位運動時間為t秒過點P作PEAB交AC于點E（1）直接寫出點A的坐標，并求出拋物線的解析式；（2）過點E作EFAD于F，交拋物線于點G，當t為何值時，ACG的面積最大？最大值為多少？（3）在動點P，Q運動的過程中，當t為

6、何值時，在矩形ABCD內(nèi)（包括邊界）存在點H，使以C，Q，E，H為頂點的四邊形為菱形？請直接寫出t的值分析：（1）根據(jù)矩形的性質可以寫出點A得到坐標；由頂點A的坐標可設該拋物線的頂點式方程為y=a（x1）2+4，然后將點C的坐標代入，即可求得系數(shù)a的值（利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式）；（2）利用待定系數(shù)法求得直線AC的方程y=2x+6；由圖形與坐標變換可以求得點P的坐標（1，4t），據(jù)此可以求得點E的縱坐標，將其代入直線AC方程可以求得點E或點G的橫坐標；然后結合拋物線方程、圖形與坐標變換可以求得GE=4、點A到GE的距離為，C到GE的距離為2；最后根據(jù)三角形的面積公式可以求得SACG=SA

7、EG+SCEG=（t2）2+1，由二次函數(shù)的最值可以解得t=2時，SACG的最大值為1；（3）因為菱形是鄰邊相等的平行四邊形，所以點H在直線EF上解答：解：（1）A（1，4）（1分）由題意知，可設拋物線解析式為y=a（x1）2+4拋物線過點C（3，0），0=a（31）2+4，解得，a=1，拋物線的解析式為y=（x1）2+4，即y=x2+2x+3（2分）（2）A（1，4），C（3，0），可求直線AC的解析式為y=2x+6點P（1，4t）（3分）將y=4t代入y=2x+6中，解得點E的橫坐標為x=1+（4分）點G的橫坐標為1+，代入拋物線的解析式中，可求點G的縱坐標為4GE=（4）（4t）=t（5

8、分）又點A到GE的距離為，C到GE的距離為2，即SACG=SAEG+SCEG=EG+EG（2）=2（t）=（t2）2+1（7分）當t=2時，SACG的最大值為1（8分）（3）t=或t=208（12分）（說明：每值各占（2分），多出的值未舍去，每個扣1分）點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式以及三角形面積的求法四、二次函數(shù)的性質 1、二次函數(shù)的性質函數(shù)二次函數(shù)圖像a0a0 y 0 x y 0 x 性質（1）拋物線開口向上，并向上無限延伸；（2）對稱軸是x=，頂點坐標是（，）；（3）在對稱軸的左側，即當x時，y隨x的增大而增

9、大，簡記左減右增；（4）拋物線有最低點，當x=時，y有最小值，（1）拋物線開口向下，并向下無限延伸；（2）對稱軸是x=，頂點坐標是（，）；（3）在對稱軸的左側，即當x時，y隨x的增大而減小，簡記左增右減；（4）拋物線有最高點，當x=時，y有最大值，2、二次函數(shù)中，的含義：表示開口方向：0時，拋物線開口向上，0時，拋物線開口向下與對稱軸有關：對稱軸為x=表示拋物線與y軸的交點坐標：（0，）例1（2012蘭州）拋物線y2x21的對稱軸是( )分析：已知拋物線解析式為頂點式，可直接寫出頂點坐標及對稱軸解答：解：拋物線y2x21的頂點坐標為(0，1)，對稱軸是直線x0(y軸)，故選C例2（2012煙臺

10、）已知二次函數(shù)y=2（x3）2+1下列說法：其圖象的開口向下；其圖象的對稱軸為直線x=3；其圖象頂點坐標為（3，1）；當x3時，y隨x的增大而減小則其中說法正確的有（ ） A1個B2個C3個D4個考點：二次函數(shù)的性質。分析：結合二次函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質對各小題分析判斷解答即可解答：解：20，圖象的開口向上，故本小題錯誤；圖象的對稱軸為直線x=3，故本小題錯誤；其圖象頂點坐標為（3，1），故本小題錯誤；當x3時，y隨x的增大而減小，正確；綜上所述，說法正確的有共1個故選A例3（2012德陽）設二次函數(shù)y=x2+bx+c，當x1時，總有y0，當1x3時，總有y0，那么c的取值范圍是（） A

11、c=3 B c3 C1c3 D c3考點：二次函數(shù)的性質。分析：因為當x1時，總有y0，當1x3時，總有y0，所以函數(shù)圖象過（1，0）點，即1+b+c=0，有題意可知當x=3時，y=9+3b+c0，所以聯(lián)立即可求出c的取值范圍解答：解：當x1時，總有y0，當1x3時，總有y0，函數(shù)圖象過（1，0）點，即1+b+c=0，當1x3時，總有y0，當x=3時，y=9+3b+c0，聯(lián)立解得：c3，故選B五、二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關系（二次函數(shù)與軸交點情況）：一元二次方程是二次函數(shù)當函數(shù)值時的特殊情況.圖象與軸的交點個數(shù)： 當時，圖象與軸交于兩點，其中的是一元二次方程的兩根

12、這兩點間的距離. 當時，圖象與軸只有一個交點； 當時，圖象與軸沒有交點. 當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數(shù)，都有； 當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數(shù)，都有 2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點坐標為，； 3. 二次函數(shù)常用解題方法總結： 求二次函數(shù)的圖象與軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉化為頂點式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中，的符號，或由二次函數(shù)中，的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結合； 二次函數(shù)的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標.拋物

13、線與軸有兩個交點二次三項式的值可正、可零、可負一元二次方程有兩個不相等實根拋物線與軸只有一個交點二次三項式的值為非負一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根拋物線與軸無交點二次三項式的值恒為正一元二次方程無實數(shù)根. 與二次函數(shù)有關的還有二次三項式，二次三項式本身就是所含字母的二次函數(shù)；下面以時為例，揭示二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：例1（2012杭州）已知拋物線y=k（x+1）（x）與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，則能使ABC為等腰三角形的拋物線的條數(shù)是（ ） A2B3C4D5考點：拋物線與x軸的交點。分析：根據(jù)拋物線的解析式可得C（0，3），再表示出拋物線與x軸的兩個交點的橫坐

14、標，再根據(jù)ABC是等腰三角形分三種情況討論，求得k的值，即可求出答案解答：解：根據(jù)題意，得C（0，3）令y=0，則k（x+1）（x）=0，x=1或x=，設A點的坐標為（1，0），則B（，0），當AC=BC時，OA=OB=1，B點的坐標為（1，0），=1，k=3；當AC=AB時，點B在點A的右面時，AC=，則AB=AC=，B點的坐標為（1，0），=1， k=；當AC=AB時，點B在點A的左面時，B點的坐標為（，0），=，k=；所以能使ABC為等腰三角形的拋物線的條數(shù)是3條； 故選B點評：此題考查了拋物線與x軸的交點，此題要能夠根據(jù)解析式分別求得拋物線與坐標軸的交點，結合等腰三角形的性質和勾股定理

15、列出關于k的方程進行求解是解題的關鍵例2：（2012泰安）二次函數(shù)的圖象如圖，若一元二次方程有實數(shù)根，則 的最大值為（ ） A B3 C D9考點：拋物線與x軸的交點。解：拋物線的開口向上，頂點縱坐標為3，a0.，即，一元二次方程有實數(shù)根，=，即，即，解得，m的最大值為3故選B六、確定二次函數(shù)關系式的基本題型1二次函數(shù)關系式設為：y=ax2（a0）例1、有一座拋物線形拱橋，正常水位時，AB寬為20米，水位上升3米就達到警戒水位線CD，這時水面的寬度為10米。請你在如圖1所示的平面直角坐標系中，求出二次函數(shù)的解析式。解：根據(jù)圖象，知道拋物線的對稱軸是y軸，頂點坐標為原點，所以，不妨設二次函數(shù)的解

16、析式：y=ax2（a0），因為，AB=20，所以，F(xiàn)A=FB=10，因為，CD=10，所以，EC=ED=5所以，點A的坐標為（-10，），點C的坐標為（-5，），所以，= a（-10）2=100a，= a（-5）2=25a，因為，EF=3，所以，-=3，所以，25a -100a=3，解得：a=-，所以，所求函數(shù)的解析式：y=- x2。小結：當知道拋物線的頂點坐標為原點，且對稱軸是y軸時，要求二次函數(shù)的解析式，通常的解題思路如下：設二次函數(shù)的解析式為：y=ax2（a0）把已知點的坐標代入所設的解析式中，轉化成關于a的一元一次方程；解方程，求得a值；把a的值代入所設的解析式中，得二次函數(shù)的解析式。

17、2二次函數(shù)關系式設為：y=ax2+bx（a0）例2、（2008年巴中市）王強在一次高爾夫球的練習中，在某處擊球，其飛行路線滿足拋物線，其中（m）是球的飛行高度，（m）是球飛出的水平距離，結果球離球洞的水平距離還有2m，如圖2所示。（1）請寫出拋物線的開口方向、頂點坐標、對稱軸（2）請求出球飛行的最大水平距離（3）若王強再一次從此處擊球，要想讓球飛行的最大高度不變且球剛好進洞，則球飛行路線應滿足怎樣的拋物線，求出其解析式解：（1）所以，拋物線的開口向下，頂點為，對稱軸為直線。（2）令，得：，解得：，所以，球飛行的最大水平距離是8m（3）要讓球剛好進洞而飛行最大高度不變，則球飛行的最大水平距離為1

18、0m所以，拋物線的對稱軸為，頂點為（5，），設此時對應的拋物線解析式為：y=ax2+bx（a0），因為，拋物線經(jīng)過點（10，0），所以，100a+10b=0，即10a+b=0，因為，拋物線經(jīng)過點（5，），所以，25a+5b=，即5a+b=，解得：，b=， 所以，二次函數(shù)的解析式是：。小結：當知道拋物線經(jīng)過原點，且拋物線與x軸相交，要求二次函數(shù)的解析式，通常的解題思路如下：設二次函數(shù)的解析式為：y=ax2+bx（a0）把點的坐標代入所設的解析式中，轉化成關于a、b的二元一次方程組；解方程組，求得a、b值；把a、b的值代入所設的解析式中，得二次函數(shù)的解析式。3二次函數(shù)關系式設為：y=ax2+c（a

19、0）例3、桂林紅橋位于桃花江上，是桂林兩江四湖的一道亮麗的風景線，該橋的部分橫截面如圖3所示，上方可看作是一個經(jīng)過、三點的拋物線，以橋面的水平線為軸，經(jīng)過拋物線的頂點與軸垂直的直線為軸，建立直角坐標系，已知此橋垂直于橋面的相鄰兩柱之間距離為米（圖中用線段、等表示橋柱）米，米（1）求經(jīng)過、三點的拋物線的解析式。（2）求柱子的高度。解：因為，拋物線的對稱軸是y軸，所以，設二次函數(shù)解析式為：y=ax2+c（a0）， 因為，二次函數(shù)圖象過點C（0，1），所以，c=1，因為，此橋垂直于橋面的相鄰兩柱之間距離為米（圖中用線段、等表示橋柱），且米，所以，點F的坐標是（-4，2），所以，16a+1=2，解得：

20、a=，所以，二次函數(shù)的關系式是：y=x2+1；（2），因為，OD=8米，設點A的坐標是（-8，y），所以，y=（-8）2+1=5，因此，柱子的高為5米。小結：當知道拋物線的頂點在y軸上，和拋物線上的一個點A（x1，y1）時，要求二次函數(shù)的解析式，通常的解題思路如下：設二次函數(shù)的解析式為：y=ax2+c（a0）把點的坐標代入所設的解析式中，轉化成關于a，c的二元一次方程組；解方程組，求得a、c值；把a、c的值代入所設的解析式中，得二次函數(shù)的解析式。4二次函數(shù)關系式設為：y=a(x-h)2（a0）例4、在直角坐標平面內(nèi)，二次函數(shù)圖象的頂點為A（1，0），且過點B（3，4）求該二次函數(shù)的解析式。解：

21、設二次函數(shù)解析式為：y=a（x-1）2， 因為，二次函數(shù)圖象過點B（3，4），所以，4a=4，解得：a=1， 所以，二次函數(shù)解析式為：y=（x-1）2，即y=x2-2x+1。小結：當知道拋物線的頂點坐標：M（h，0）和拋物線上的一個點A（x1，y1）時，要求二次函數(shù)的解析式，通常的解題思路如下：設二次函數(shù)的解析式為：y=a（x-h）2a0）把點A的坐標代入所設的解析式中，轉化成關于a的一元一次方程；解方程，求得a值；把a的值代入所設的解析式中，得二次函數(shù)的解析式。5.二次函數(shù)關系式設為：y=a(x-h)2+k(a0）例5、在直角坐標平面內(nèi)，二次函數(shù)圖象的頂點為A（1，-4），且過點B（3，0）

22、求該二次函數(shù)的解析式。解：設二次函數(shù)解析式為：y=a（x-1）2-4， 因為，二次函數(shù)圖象過點B（3，0），所以，4a-4=0，解得：a=1， 所以，二次函數(shù)解析式為：y=（x-1）2-4，即y=x2-2x-3。七 中考二次函數(shù)壓軸題常考公式（必記必會，理解記憶）、1、兩點間距離公式（當遇到?jīng)]有思路的題時，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法） 如圖：點A坐標為（x1，y1）點B坐標為（x2，y2）則AB間的距離，即線段AB的長度為2，二次函數(shù)圖象的平移圖象平移示意圖一般地，平移二次函數(shù)y=ax2的圖象便可得到二次函數(shù)y=a（x- h）2+k的圖象y=ax2上、下移y=ax2+k左、右移y=a（

23、x- h）2y=a（x- h）2+k左、右移上、下移上、下移且左、右移圖象的平移方法1、用配方法將二次函數(shù)y=ax2+bx+c轉化成y=a（x- h）2+k的形式 即y=ax2bxc 圖1y=ax2x y O y= a（x）2y= a（x）2+= a（x2x）= a x22x（）2（）2= a（x）22、圖象的平移的方向和大小根據(jù)的正（負）將其圖象向左（右）平移|個單位；再根據(jù)的正（負）將其圖象向上（下）平移|個單位，即可得到二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，如圖1所示平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”特別記憶-同左上加 異右下減 (必須理解記憶)說明： 函數(shù)

24、中ab值同號，圖像頂點在y軸左側同左，a b值異號，圖像頂點必在Y軸右側異右。向左向上移動為加左上加，向右向下移動為減右下減。3.直線斜率： ， b為直線在y軸上的截距。4、直線方程：兩點 由直線上兩點確定的直線的兩點式方程，簡稱兩式: 此公式有多種變形 牢記點斜 斜截 直線的斜截式方程，簡稱斜截式: ykxb(k0)截距 由直線在軸和軸上的截距確定的直線的截距式方程，簡稱截距式：牢記 口訣 -兩點斜截距-兩點 點斜 斜截 截距5、設兩條直線分別為，： ： 若，則有且。 若6， 點P（x0，y0）到直線y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距離: 7，拋物線中， a b c,的作用 （1）決

25、定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣. （2）和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線，故：時，對稱軸為軸；（即、同號）時，對稱軸在軸左側；（即、異號）時，對稱軸在軸右側. 口訣 - 同左 異右 （3）的大小決定拋物線與軸交點的位置. 當時，拋物線與軸有且只有一個交點（0，）： ，拋物線經(jīng)過原點; ,與軸交于正半軸； ,與軸交于負半軸. 以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側，則 .例1（2012樂山）二次函數(shù)y=ax2+bx+1（a0）的圖象的頂點在第一象限，且過點（1，0）設t=a+b+1，則t值的變化范圍是（）A0t1B0t2C1t2D1t1考點

26、：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系。分析：由二次函數(shù)的解析式可知，當x=1時，所對應的函數(shù)值y=t=a+b+1把點（1，0）代入y=ax2+bx+1，ab+1=0，然后根據(jù)頂點在第一象限，可以畫出草圖并判斷出a與b的符號，進而求出t=a+b+1的變化范圍解答：解：二次函數(shù)y=ax2+bx+1的頂點在第一象限，且經(jīng)過點（1，0），易得：ab+1=0，a0，b0，由a=b10得到b1，結合上面b0，所以0b1，由b=a+10得到a1，結合上面a0，所以1a0，由得：1a+b1，且c=1，得到0a+b+12，0t2故選：B例2：（2012潛江）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，它與x軸的兩個交

27、點分別為（1，0），（3，0）對于下列命題：b2a=0；abc0；a2b+4c0；8a+c0其中正確的有（）A3個B2個C1個D0個考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系。分析：首先根據(jù)二次函數(shù)圖象開口方向可得a0，根據(jù)圖象與y軸交點可得c0，再根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸x= ，結合圖象與x軸的交點可得對稱軸為x=1，結合對稱軸公式可判斷出的正誤；根據(jù)對稱軸公式結合a的取值可判定出b0，根據(jù)a、b、c的正負即可判斷出的正誤；利用b2a=0時，求出a2b+4c0，再利用當x=4時，y0，則16a+4b+c0，由知，b=2a，得出8a+c0解答：解：根據(jù)圖象可得：a0，c0，對稱軸：x= 0，它與x軸的兩個交點分別為（1，0），（3，0），對稱軸是x=1， =1，b+2a=0，故錯誤；a0，b0，