1、第四章導熱問題的數值解法4-0 引言1求解導熱問題的三種基本方法：(1) 理論分析法；(2) 數值計算 法；(3) 實驗法三種方法的基本求解過程2(1) 所謂理論分析方法，就是在理論分析的基礎上，直接對微分方程在給定的定解條件下進行積分，這樣獲得的解 稱之為分析解，或叫理論解；(2) 數值計算法，把原來在時間和空間連續(xù)的物理量的場， 用有限個離散點上的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的關于這些值的代數方程，從而獲得離散點上被求物理量的值；并稱之為數值解；2第四章導熱問題的數值解法(3) 實驗法就是在傳熱學基本理論的指導下，采用對所研究對象的傳熱過程所求量的方法3 三種方法的特點(1)

2、 分析法a 能獲得所研究問題的精確解，可以為實驗和數值計算提供比較依據；b 局限性很大，對復雜的問題無法求解；c 分析解具有普遍性，各種情況的影響清晰可見3第四章導熱問題的數值解法(2) 數值法：在很大程度上彌補了分析法的缺點，適應性強，特別對于復雜問題更顯其優(yōu)越性；與實驗法相比成本低(3) 實驗法: 是傳熱學的基本研究方法，a 適應性不好；b 費用昂貴數值解法：有限差分法（finite-difference）、 有限元法（finite-element） 、邊界元法（boundary- element）、分子動力學模擬（MD）4第四章導熱問題的數值解法4-1 導熱問題數值求解的基本思想及內部節(jié)

3、點離散方程的建立1物理問題的數值求解過程 否是否收斂是5第四章導熱問題的數值解法解的分析改進初場求解代數方程建立節(jié)點物理量的代數方程設立溫度場的迭代初值確定節(jié)點（區(qū)域離散化）建立控制方程及定解條件2 例題條件y二維矩形域內 穩(wěn)態(tài)無內熱源， 常物性的導熱 問題t0xh1t f6第四章導熱問題的數值解法h3 t fh2t f3 基本概念：控制容積、網格線、節(jié)點、界面線、步長(m,n)N二 維 矩 形 域 內 穩(wěn) 態(tài) 無內熱源， 常 物 性 的 導熱問題Mmx7第四章導熱問題的數值解法nDyyDx4 建立離散方程的常用方法：(1) Taylor（泰勒）級數展開法；(2) 多項式擬合法；(3) 控制容

4、積積分法；(4) 控制容積平衡法(也稱為熱平衡法)8第四章導熱問題的數值解法(1) 泰勒級數展開法根據泰勒級數展開式，用節(jié)點(i,j)的溫度ti,j 來表示節(jié)點(i+1,j)而溫度ti+1,j用節(jié)點(i,j)的溫度ti,j來表示節(jié)點(i-1,j)的溫度ti-1,j9第四章導熱問題的數值解法tm-1,n = tm,n -tDx +m,n2tDx2 -m,n2!3tDx3 +Lm,n3!xx2x3tm+1,n = tm,n +tDx +m,n2tDx2 +m,n2!3tDx3 +Lm,n3!xx2x3若取上面式右邊的前三項，并將式和式相加移項整理即得二階導數的中心差分：2t- 2tm,n+ tm-

5、1,n= tm+1,n+ o(Dx)2x2Dx2m,n同樣可得：截斷誤差未明確寫出的級數余項中的X的最低階數為22ty2- 2tm,nDy2+ tm,n-1= tm,n+1+ o(Dy)2m,n10第四章導熱問題的數值解法對于二態(tài)導熱問題，在直角坐標中，其導熱微分方程為：F&2t2t+= 0 v lx2y2其節(jié)點方程為：+ ti, j -1 + F&v ,i , j- 2ti, jDx2+ ti-1, j+ ti, j +1- 2ti, jDy2ti+1, j= 0l11第四章導熱問題的數值解法(2) 控制容積平衡法(熱平衡法)基本思想：對每個有限大小的控制容積應用能量守恒，從而獲得溫度場的代

6、數方程組，它從基本物理現象和基本定律出發(fā)，不必事先建立控制方程，依據能量守恒和Fourier 導熱定律即可。能量守恒：流入控制體的總熱流量控制體內熱源生成熱 流出控制體的總熱流量控制體內能的增量Fi + Fv= Fo + Ft即：單位：W12第四章導熱問題的數值解法Fi+ Fv= Fo+ FtFi+ (-Fo ) + Fv= Ft注意：上面的公式對內部節(jié)點和邊界節(jié)點均適用13第四章導熱問題的數值解法即：從所有方向流入控制體的總熱流量 控制體內熱源生成熱 控制體內能的增量m-1,n + m+1,n + m,n-1+ m,n+1= 0內部節(jié)點：Dy,n)+ + = 0下上左右DyyoDxxDx14

7、第四章導熱問題的數值解法 (m,n+1)(m-1,n)(m, n)(m+1(m,n-1)穩(wěn)態(tài)、無內熱源時：從所有方向流入控制體的總熱流量0以二此時：態(tài)、有內熱源的導熱問題為例上 + 下 + 左右 + v= 0F= -lA dt = -lDy dt左dxdx可見：當溫度場還沒有求出來之前，我們并不知道 dtdx所以，必須假設相鄰節(jié)點間的溫度分布形式，這里我們假定溫度呈分段線性分布，如圖所示15第四章導熱問題的數值解法可見，節(jié)點越多，假設的分段線性分布越接近真實的溫度布。此時：= lDy tm-1,n - tm,nF= -lDy dtDx左dxttm-1,nm,n= lDy tm+1,n - tm

8、,nFtm+1,n右Dx= lDxtm,n+1 - tm,nFDy上= lDxtm,n-1 - tm,nF下Dy(m-1,n)(m,n)(m+1,n)內熱源：v = & V = & DxDy16第四章導熱問題的數值解法上 + 下 + 左右 + v= 0lDy tm-1,n - tm,n + lDy tm+1,n - tm,n + lDxtm,n+1 - tm,n+ lDxtm,n-1 - tm,nDx+ & DxDy = 0DxDyDyDx2l時：tm-1,n + tm+1,n+ tm,n+1+ tm,n-1- 4tm,n + = 0Dx = Dy&Dx2l4tm,n = tm-1,n+ tm

9、+1,n+ tm,n+1 + tm,n-1+&17第四章導熱問題的數值解法無內熱源時：Dx2l4tm,n = tm-1,n + tm+1,n + tm,n+1 + tm,n-1+&變?yōu)椋?tm,n = tm-1,n+ tm+1,n+ tm,n+1+ tm,n-118第四章導熱問題的數值解法重要說明：所求節(jié)點的溫度前的系數一定等于其他 所有相鄰節(jié)點溫度前的系數之和。這一結論也適用 于邊界節(jié)點。但這里不包括熱流(或熱流密度)前的系數。4-2 邊界節(jié)點離散方程的建立及代數方程的求解對于第一類邊界條件的熱傳導問題，處理比較簡單，因為已知邊界的溫度，可將其以數值的形式加入到內節(jié)點的離 散方程中，組成封閉

10、的代數方程組，直接求解。而對于第二類邊界條件或第三類邊界條件的熱傳導問題，就必須用熱平衡的方法，建立邊界節(jié)點的離散方程，邊界 節(jié)點與內節(jié)點的離散方程一起組成封閉的代數方程組，才 能求解。為了求解方便，這里我們將第二類邊界條件及第三類邊界 條件合并起來考慮，用qw表示邊界上的熱流密度或熱流密度表達式。用表示內熱源強度。19第四章導熱問題的數值解法1.邊界節(jié)點離散方程的建立：qw(1) 平直邊界上的節(jié)點lDy tm-1,n - tm,n+ DyqwDx+ l Dx tm,n+1 - tm,n+ l Dx tm,n-1- tm,nDyDy22Dx Dy = 0qw+ &m,n2Dx = Dyy2Dx

11、lDx2l4tm,n = 2tm-1,n+ tm,n+1+ tm,n-1+ &qwxm,n20第四章導熱問題的數值解法(2) 外部角點qwl Dy tm-1,n - tm,n+ DyqwDx22+ Dx q+ l Dx tm,n-1 - tm,nwDy22Dx Dy = 0+ &m,n22Dx = Dy2DxlDx22l2tm,n = tm-1,n+ tm,n-1+ &yqwm,nx21第四章導熱問題的數值解法(3) 內部角點- tDy t- tDytlDy m-1,nm,n+ l m+1,nm,nDx+qqwDxw 22+ lDxtm,n+1 - tm,nD1 - tm,n+ Dx qx t

12、+lm,n-w DyDy223DxDy = 0+ &m,n4Dx = Dy= 1 (2t+ 2t+ t+ ttm-1,nm,n+1m,n-1m+1,nm,n6y3Dx22l2Dx2l+F&+qw )x22第四章導熱問題的數值解法qw的情況：(1) 第二類邊界條件：將qw = const，帶入上面各式即可絕熱或對稱邊界條件？qw = h(t f- tm,n )？(2)第三類邊界條件：將，帶入上面各式即可qw = h(t f- tm,n ) 帶入外部角點的課堂作業(yè)：將溫度離散方程，并化簡到最后的形式qw = es (T- T 4)4f(3) 輻射邊界條件：q= const或其他m,nw23第四章導

13、熱問題的數值解法2.節(jié)點方程組的求解寫出所有內節(jié)點和邊界節(jié)點的溫度差分方程n個未知節(jié)點溫度，n個代數方程式：t1 = a11t1 + a12t2 + .+ a1ntn + b1t2= a21t1 + a22t2 + .+ a2ntn.tn= an1t1 + an2t2 + .+ anntn+ b2+ bn代數方程組的求解方法：直接解法、迭代解法24第四章導熱問題的數值解法直接解法：通過有限次運算獲得代數方程精確解;矩陣求逆、高斯消元法缺點：所需內存較大、方程數目多時不便、不適用于非線性 問題（若物性為溫度的函數，節(jié)點溫度差分方程中的系數不 再是常數，而是溫度的函數。這些系數在計算過程中要相應

14、地不斷更新）迭代解法：先對要計算的場作出假設、在迭代計算過程中不 斷予以改進、直到計算結果與假定值的結果相差小于允許值。稱迭代計算已經收斂。迭代解法有多種：簡單迭代（Jacobi迭代）、高斯-賽德爾迭代、塊迭代、交替方向迭代等高斯-賽德爾迭代的特點：每次迭代時總是使用節(jié)點溫度的最 新值25第四章導熱問題的數值解法t(k)、t(k)t(k)例如：根據第 k 次迭代的數值可以求得節(jié)點溫度：n12t(k +1)= a11t(k) + a12t(k) +.+ at(k ) + b(k )1n n1121在計算后面的節(jié)點溫度時應按下式（采用最新值）t (k +1) = a21t (k +1) + a22

15、t (k )t (k ) + b(k )+ .+ a2n n2122t (k +1) = a31t (k +1) + a32t (k +1)t (k ) + b(k )+ .+ a3n n3123.t (k +1)t (k +1)t (k +1)t (k +1)t (k )+ b(k )= a+ a+ .+ a+ ann-1 n-1nn1 1n2nn nn226第四章導熱問題的數值解法判斷迭代是否收斂的準則：max t (k +1) - t (k ) eiit (k +1) - t (k )e允許的偏差 emax iit (k )相對偏差e 值一般取10-3 10-6i(k +1)(k )- timax ti et (k )maxt (k)k及k+1表示迭代次數；第k次迭代得到的最大值max當有接近于