1、,習(xí)題課,一、 重積分計(jì)算的基本方法,二、重積分計(jì)算的基本技巧,三、重積分的應(yīng)用,第九章,重積分的計(jì)算及應(yīng)用,一、重積分計(jì)算的基本方法,1. 選擇合適的坐標(biāo)系,使積分域多為坐標(biāo)面(線)圍成;,被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡(jiǎn)潔或變量分離.,2. 選擇易計(jì)算的積分序,積分域分塊要少, 累次積分易算為妙 .,圖示法,列不等式法,(從內(nèi)到外: 面、線、點(diǎn)),3. 掌握確定積分限的方法, 累次積分法,練習(xí),計(jì)算積分,其中D 由,所圍成.,P124 2 (3) ; 6; 7 (1), (3),補(bǔ)充題:,解答提示: (接下頁(yè)),2 (3). 計(jì)算二重積分,其中D 為圓周,所圍成的閉區(qū)域.,提示: 利用極坐標(biāo),原式,

2、P124,6. 把積分,化為三次積分,其中由曲面,提示: 積分域?yàn)?原式,及平面,所圍成的閉區(qū)域 .,P124,7 (1) .計(jì)算積分,其中是兩個(gè)球,( R 0 )的公共部分.,提示: 由于被積函數(shù)缺 x , y ,原式 =,利用“先二后一” 計(jì)算方便 .,P124,7 (3).計(jì)算三重積分,其中是由,xoy平面上曲線,所圍成的閉區(qū)域 .,提示: 利用柱坐標(biāo),原式,繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面,P124,補(bǔ)充題.,計(jì)算積分,其中D 由,所圍成 .,提示:如圖所示,連續(xù),所以,二、重積分計(jì)算的基本技巧,分塊積分法,利用對(duì)稱性,1. 交換積分順序的方法,2. 利用對(duì)稱性或重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算,3.

3、消去被積函數(shù)絕對(duì)值符號(hào),練習(xí)題,4. 利用重積分換元公式,P123 1 (總習(xí)題九) ; P124 4, 7(2), 9,解答提示: (接下頁(yè)),證明:,提示: 左端積分區(qū)域如圖,交換積分順序即可證得.,P124 4.,7(2).,其中是,所圍成的閉區(qū)域 .,提示: 被積函數(shù)在對(duì)稱域 上關(guān)于 z 為奇函數(shù) ,利用,對(duì)稱性可知原式為 0.,由球面,P124,9.在均勻的半徑為R的圓形薄片的直徑上,要接上一,個(gè)一邊與直徑等長(zhǎng)的同樣材料的均勻矩形薄片,使整個(gè),的另一邊長(zhǎng)度應(yīng)為多少?,提示: 建立坐標(biāo)系如圖.,由對(duì)稱性知,由此解得,問(wèn)接上去的均勻矩形薄片,即有,薄片的重心恰好落在圓心上 ,例1. 計(jì)算

4、二重積分,其中:,(1) D為圓域,(2) D由直線,解: (1) 利用對(duì)稱性.,圍成 .,(2) 積分域如圖:,將D 分為,添加輔助線,利用對(duì)稱性 , 得,例2. 計(jì)算二重積分,其中D 是由曲,所圍成的平面域 .,解:,其形心坐標(biāo)為:,面積為:,積分區(qū)域,線,形心坐標(biāo),例3. 計(jì)算二重積分,在第一象限部分.,解:(1),兩部分, 則,其中D 為圓域,把與D 分成,作輔助線,(2) 提示:,兩部分,說(shuō)明: 若不用對(duì)稱性, 需分塊積分以去掉絕對(duì)值符號(hào).,作輔助線,將D 分成,例4.,如圖所示,交換下列二次積分的順序:,解:,例5.,解: 在球坐標(biāo)系下,利用洛必達(dá)法則與導(dǎo)數(shù)定義,得,其中,三、重積分的應(yīng)用,1. 幾何方面,面積 ( 平面域或曲面域 ) , 體積 , 形心,質(zhì)量, 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量, 質(zhì)心, 引力,證明某些結(jié)論等,2. 物理方面,3. 其它方面,例6.,證明,證:左端,= 右端,例7.,設(shè)函數(shù) f (x) 連續(xù)且恒大于零,其中,(1) 討論 F( t ) 在區(qū)間 ( 0, +) 內(nèi)的單調(diào)性;,(2) 證明 t 0 時(shí),(03考研),解: (1) 因?yàn)?兩邊對(duì) t 求導(dǎo), 得,(2) 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證,即證,故有,因此 t 0 時(shí),因,利用“先二后一”計(jì)算.,例8. 試計(jì)算橢球體,的體積