1、;，今清士計(jì)，第三章非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱處；.:J. I云T千，心千一，溫暈七 訂 J千勹？L ？1一.寸.立心在住沁平 、喟 r - 、習(xí)-：-.一、”r、= 二 7r .嘿；、飛哼- “.a.飛 1 遠(yuǎn)魚燮.第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱13-1 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念1 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的定義 .t =f(r,t )2 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分類周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱(定義及特點(diǎn))瞬態(tài)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱(定義及特點(diǎn))第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱2t1著重討論瞬態(tài)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱t(yī) 3t 2t 1t 04t d3 溫度分布：t0第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱34 兩個(gè)不同的階段非正規(guī)狀況階段(不規(guī)則情況階段)正規(guī)狀況階段(正常情況階段)溫度分布主要受初始溫度分布控制溫度

2、分布主要取決于邊界條件及物性導(dǎo)熱過程的三個(gè)階段非正規(guī)狀況階段（起始階段）、正規(guī)狀況階段、新的穩(wěn)態(tài)第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱45 熱量變化1板左側(cè)導(dǎo)入的熱流量2板右側(cè)導(dǎo)出的熱流量第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱56 學(xué)習(xí)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的目的：(1) 溫度分布和熱流量分布隨時(shí)間和空間的變化規(guī)律t =f(x,y, z,t ) ; =f(t )(2) 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的導(dǎo)熱微分方程式：rc tt=(lxt ) +x(lyt ) +y (lzt ) + F&z(3) 求解方法： 分析解法、近似分析法、數(shù)值解法分析解法：分離變量法、積分變換、拉普拉斯變換近似分析法： 集總參數(shù)法、積分法數(shù)值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、分子動(dòng)力

3、學(xué)模擬第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱67 畢渥數(shù)本章以第三類邊界條件為重點(diǎn)。(1) 問題的分析tftddtfhh如圖所示，存在兩個(gè)換熱環(huán)節(jié)：a 流體與物體表面的對(duì)流換熱環(huán)節(jié)rh = 1 h0 xb 物體內(nèi)部的導(dǎo)熱(2) 畢渥數(shù)的定義：rl = dlttdfBi = rl= dl= dhhrh1 hl第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱07x(3) Bi數(shù)對(duì)溫度分布的影響B(tài)i = rl= dl= dh無量綱數(shù)當(dāng) Birh 時(shí)，1 h rll rh，因此，可以忽略對(duì)流換熱熱阻當(dāng) Bi 0時(shí)， rl rh，因此，可以忽略導(dǎo)熱熱阻？0 Bi 0t = t0t = 0t = t0t 1 0t 2t 2 t 1t t 2 t 1t 1

4、t 2- ddBi - dd0 Bi t）,由能量守恒可知hA(t- t )= -rVc dtdt令：q= t - t 過余溫度，則有hAq= -rVc dqdt控制方程q (t= 0)= t0- t= q0初始條件方程式改寫為：dq= -qhAdtrVc第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱12dq=q- hArVc0q積分dt- hA t= erVc t - tt0 - tqq0 hAqdqq0q= - hA rVct dt=q0ln= - rVct其中的指數(shù)：hA trcVhV= lAlA2tV 2 rc過余溫度比= h(VA) at= Bi Fol(VA)2vvBi=h(VA)Fo= atvFovql是傅

5、立葉數(shù)- hA tv(VA)2物體中的溫度q= erVc0= e-Biv Fov呈指數(shù)分布方程中指數(shù)的量綱：Wm2 hA= m2K =w=1rVc kg Jkg m3 Js m3 K第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱14即與 1t的量綱相同，當(dāng) t =rVc hA時(shí)，則t hA= 1rVc此時(shí)，qq= e-1 =0rVc36.8%上式表明：當(dāng)傳熱時(shí)間等于時(shí)，物體的過hAc余溫度已經(jīng)達(dá)到了初始過余溫度的36.8。稱 rVchA為時(shí)間常數(shù)，用t表示。第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱15t= t cq=-1 =eq036.8%qq0Biv Fov應(yīng)用集總參數(shù)法時(shí)，物體過余溫度的變化曲線第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱16如果導(dǎo)熱體的熱容量（

6、rVc ）小、換熱條件好（h大）， 那么單位時(shí)間所傳遞的熱量大、導(dǎo)熱體的溫度變化快，時(shí)間常數(shù) ( rVc / hA) 小。對(duì)于測(cè)溫的熱電偶節(jié)點(diǎn)，時(shí)間常數(shù)越小、說明熱電偶對(duì) 流體溫度變化的響應(yīng)越快。這是測(cè)溫技術(shù)所需要的（微細(xì)熱電偶、薄膜熱電阻）當(dāng)t = 4rVcqq時(shí)，hA0= 1.83%工程上認(rèn)為t=4 rVc / hA時(shí)導(dǎo)熱體已達(dá)到熱平衡狀態(tài)第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱173 瞬態(tài)熱流量：(t ) =hA(t(t )- t ) =hAq= hAq0e- hA trVcW導(dǎo)熱體在時(shí)間 0 t 內(nèi)傳給流體的總熱量：0tQ= t(t)dt= rVcq0 (1- hA terVc)J當(dāng)物體被加熱時(shí)(tt)，計(jì)

7、算式相同（為什么？）第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱184Biv Fov物理意義Bi = hll= ll1 h物體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻物體表面對(duì)流換熱熱阻Fo = t=換熱時(shí)間無量綱l2a邊界熱擾動(dòng)擴(kuò)散到l2面積上所需的時(shí)間熱阻Fo越大，熱擾動(dòng)就能越深入地傳播到物體內(nèi)部，因而，物體各點(diǎn)地溫度就越接近周圍介質(zhì)的溫度。無量綱時(shí)間第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱195 集總參數(shù)法的應(yīng)用條件采用此判據(jù)時(shí)，物體中各點(diǎn)過余溫度的差別小于5%Biv= h(VlA) 0.1M是與物體幾何形狀有關(guān)的無量綱常數(shù)對(duì)厚為2的無限大平板M= 1V= Ad= dAABiv = Bi對(duì)半徑為R 的M= 12V= pR2 r= RA2pRr2B= Bi iv2

8、無限長(zhǎng)圓柱對(duì)半徑為R 的M= 134 pR3V=3A4pR2= R 3B= Bi iv3球第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱203-3 一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解1. 無限大的平板的分析解=consta=consth=const因兩邊對(duì)稱，只研究半塊平壁第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱21此半塊平板的數(shù)學(xué)描寫：導(dǎo)熱微分方程t=t2 ta x2( 0 x 0 )初始條件t = t0t = 0邊界條件t = 0xx = 0(對(duì)稱性)- l tx= h( t- t )x = d第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱22引入變量過余溫度令q(x,t) = t(x,t) - t上式化為：q=t2qa x20 x 0q= q0t= 0q= 0xx = 0-

9、l qx= hqx = d第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱23用分離變量法可得其分析解為：q (x,t ) =2sin(bnd ) cos(bn x)-b 2atq0n=1bnd+ sin(bnd) cos(nbnd )e此處Bn為離散面(特征值)若令mn= bnd則上式可改寫為：nq ( x,t ) = 2 sin mn cos( mnm+ sin mcos mn d 22at-menn=10)xn dq*第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱24n為下面超越方程的根ctgmn=mnhdlhd為畢渥準(zhǔn)則數(shù)，用符號(hào) Bi表示l書上P73表3-1給出了部分Bi數(shù)下的1值第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱25q (x,t ) =2sin(bnd

10、) cos(bn x)-b 2atq0n=1bnd + sin(bnd) cos(nebnd )eq (x,t )2sin(bnd ) cos(bn x)-( bd )2 atq= 0n=1bnd + sin(bnd) cos(bnd )nd 2因此 q (x,t )q0是F0, Bi 和 xd函數(shù)，即q ( x,t ) =q0f ( F0x,Bi ,d)注意：特征值bn區(qū)別 特征數(shù)（準(zhǔn)則數(shù)）第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱2622. 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的正規(guī)狀況對(duì)無限大平板F0 = atd當(dāng) F0 0.2取級(jí)數(shù)的首項(xiàng)，板中心溫度，誤差小于1%q (x,t ) =2sin m1cos(mx ) e-m 2Fq0m1

11、+ sin m1cos m1 101 dq (0,t )= qm (t ) =2sin m1e-m 2 Fq0q0m1 +sin m110cos m1第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱27q (x,t ) =2sin m1cos(mx ) e-m 2Fq0m1+ sin m1cos m1 101 dq (0,t )= qm (t ) =2sin m1e-m 2Fq0q (x,t )q0= cos(m10m1 + sin m1 cos m1x )1qm (t )d與時(shí)間無關(guān)第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱28考察熱量的傳遞Q0=rcV (t0- t )Q0-非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱所能傳遞的最大熱量若令Q為 0,t 內(nèi)所傳遞熱量Q= rc

12、V t0- t(x,t )dV= 1- qQ0rcV (t0 - t )q0q-時(shí)刻z的平均過余溫度q= 1qdv = q2 sin m1-( - m 2 F) sin m111v v0sin mcos m1 e10m1m+第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱29對(duì)無限大平板，長(zhǎng)圓柱體及球：qq及可用一通式表達(dá)q0qq= Aexp( -m 2 F) f ( my )1010q= qAexp( -m 2 F)B010i此處無限大平板y = x dBi= hd lF0= az d 2長(zhǎng)圓柱體及球y = x RBi= hR lF0= az R2此處的A，B及函數(shù)f(m y見)P74表3-21第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱303

13、正規(guī)熱狀況的實(shí)用計(jì)算方法擬合公式法對(duì)上述公式中的A，B，1，J0 可用下式擬合m=(a+12b)-1BiA = aB =a+ b( 1 -+ cBie-cBi )1 + bBiJ0 (x ) =a+bx+ c x2+ d x3式中常數(shù)a ,b ,c ,d 見P75表3-3a,b,c,d見P75表3-4第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱313正規(guī)熱狀況的實(shí)用計(jì)算方法線算圖法諾謨圖以無限大平板為例，F(xiàn)00.2 時(shí)，取其級(jí)數(shù)首項(xiàng)即可q (x,t ) = q2sin m10e-m 2Fcos(mx) ) =xm1 + sin m110cos m11 df(Fo, Bi,d )三個(gè)變量，因此，需要分開來畫(1) 先畫q

14、 m=q0f (Fo, Bi)第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱32(2) 再根據(jù)公式(3-23)繪制其線算圖q (x,t )= cos(mx ) =xqm (t )1 df(Bi,d )(3) 于是，平板中任一點(diǎn)的溫度為q=qq0qmqmq0同理，非穩(wěn)態(tài)換熱過程所交換的熱量也可以利用（324）和（325）繪制出。解的應(yīng)用范圍書中的諾謨圖及擬合函數(shù)僅適用恒溫介質(zhì)的第 三類邊界條件或第一類邊界條件的加熱及冷卻 過程，并且F00.2第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱333-4 二維及三維問題的求解考察一無限長(zhǎng)方柱體(其截面為2d1 2d2的長(zhǎng)方形)Q = t(x, y,t ) - t f= qt ft0 - t fq0Q =t2

15、Qa( x2 +2Qy2 )2d1t = 0Q = 1Q(x, y,t )2d2x = d1y = d2hQ(d1 , y,t ) = -lhQ(x,d2 ,t ) = -lQ(x, y,t )xQ(x, y,t )yQ(x, y,t )x = 0xx=0 = 0y = 0yy=0 = 0第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱34利用以下兩組方程便可證明Q(x, y,t ) = Q(x,t ) Q( y,t )Q =t2Qa xx2Q = at2Q yy2t = 0x = 0Qx (x,0) = 1Q(x,t )= 0t = 0及y = 0Q y ( y,0) = 1Q( y,t )= 0xx=0yy=0x =

16、d2- l Q(x,t )x= hQ(d ,t )y = d2- l Q( y,t )y= hQ(d2,t )其中Q= t(x,t ) - t f其中Q= t( y,t ) - t ft0ft0fx- ty- t即證明了Q(x,t ) Q( y,t )是無限長(zhǎng)方柱體導(dǎo)熱微分方程的解，這樣便可用一維無限大平壁公式、諾謨圖或擬合函 數(shù)求解二維導(dǎo)熱問題第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱35Q(x, y,t )= Q(x,t )P1Q( y,t )P 2Q(x, y, z,t )= Q(x,t )P1Q( y,t )P 2 Q(z,t )P3Rq ( v,t )q 02221q ( x,t )q02l23Q(x, y

17、,t )= Q(x,t )P Q( y,t )c第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱36限制條件：（1） 一側(cè)絕熱，另一側(cè)三類（2） 兩側(cè)均為一類（3） 初始溫度分布必須為常數(shù)第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱373-5 半無限大的物體ttwt0x半無限大物體的概念t=t2t a x2t = twt = t0x = 0t= 0引入過余溫度問題的解為q = t- tw誤差函數(shù)無量綱變量q= 2 x e- y2x q0p4 at0dy =erf (4at)第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱38誤差函數(shù)：erf(x) =2xe-v2 dvx erf (x) 1無量綱p0x有限大小時(shí)，erf(x) 1坐標(biāo)令 h = x4atq=q0erf(h )說明

18、：(1) 無量綱溫度僅與無量綱坐標(biāo) h 有關(guān)(2) 一旦物體表面發(fā)生了一個(gè)熱擾動(dòng)，無論經(jīng)歷多么短的 時(shí)間無論x有多么大，該處總能感受到溫度的化。？(3) 但解釋Fo,a 時(shí)，仍說熱量是以一定速度傳播的，這是因?yàn)?，?dāng)溫度變化很小時(shí)，我們就認(rèn)為沒有變化。第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱39令 y = x若 y = 24aterf ( 2 ) = 0.9953即 qq0 = 0.9953可認(rèn)為該處溫度沒有變化erf ( y )y =x4at第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱40兩個(gè)重要參數(shù):幾何位置若y 2x 4at對(duì)一原為2的平板，若d 4at即可作為半無限大物體來處理時(shí)間x2若y 22 16a對(duì)于有限大的實(shí)際物體，半無限大物體的概念只適用于物體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的初始階段， 那在惰性時(shí)間以內(nèi)第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱41即任一點(diǎn)的熱流通量：qlqx = -x= -lq01p ate- x24at令 x = 0即得邊界面上的熱流通量qw0,t內(nèi)累計(jì)傳熱量= -lq0p at0wq = t qdz= -2tprclq0吸熱系數(shù)第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱42思考題：非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分類及各類型的特點(diǎn)。 Bi 準(zhǔn)則數(shù), Fo準(zhǔn)則數(shù)的定義及物理意義。Bi0 和Bi 各代表什么樣的換熱條件