1、習(xí)題課正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用,一、常用術(shù)語(yǔ) 1.仰角和俯角: 在視線(xiàn)和水平線(xiàn)所成的角中,視線(xiàn)在水平線(xiàn)上方的角叫仰角,在水平線(xiàn)下方的角叫俯角(如圖(1). 2.方向角: 相對(duì)于某正方向的水平角,如南偏東30,北偏西45等.,3.方位角: 指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線(xiàn)的水平角,如B點(diǎn)的方位角為(如圖(2). 4.坡度: 坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)的正切值.,二、正弦、余弦定理和面積公式 1.正弦定理,2.余弦定理:,答案:B,解析:由B=2A,得sin B=sin 2A,答案:B,【做一做3】(2016天津高考)在ABC中,若 ,BC=3, C=120,則AC=() A.1B.2 C

2、.3D.4 解析:由余弦定理得13=9+AC2+3ACAC=1. 故選A. 答案:A,做一做4如圖,在某災(zāi)區(qū)的搜救現(xiàn)場(chǎng),一條搜救犬從A點(diǎn)出發(fā)沿正北方向行進(jìn)x m到達(dá)B處發(fā)現(xiàn)生命跡象,然后向右轉(zhuǎn)105,行進(jìn)10 m到達(dá)C處發(fā)現(xiàn)另一生命跡象,這時(shí)它向右轉(zhuǎn)135回到出發(fā)點(diǎn),那么x=.,探究一,探究二,探究三,規(guī)范解答,【例1】 在ABC中,a,b,c分別表示三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,若(a2+b2)sin (A-B)=(a2-b2)sin (A+B),則ABC的形狀為() A.等邊三角形B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 解析:由已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-

3、b2)sin(A+B). 得a2sin(A-B)-sin(A+B)=b2-sin(A+B)-sin(A-B), 所以2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A. 由正弦定理得sin2Acos Asin B=sin2Bcos Bsin A. 即sin 2Asin Asin B=sin 2Bsin Asin B. 因?yàn)?A,0B,所以sin 2A=sin 2B, 所以2A=2B或2A=-2B.,所以ABC是等腰三角形或直角三角形. 答案:D,探究一,探究二,探究三,規(guī)范解答,反思感悟1.確定三角形的形狀主要途徑有兩個(gè):一是化邊為角,二是化角為邊; 2.實(shí)現(xiàn)方法可以通過(guò)正弦定理、余弦定理

4、實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)換,也可以通過(guò)三角變換找出角之間的關(guān)系,還可以利用代數(shù)式的化簡(jiǎn)或變形找出邊之間的關(guān)系.,探究一,探究二,探究三,規(guī)范解答,變式訓(xùn)練1已知在ABC中, (a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊),則ABC的形狀為() A.等邊三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 答案:B,探究一,探究二,探究三,規(guī)范解答,【例2】 在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.,探究一,探究二,探究三,規(guī)范解答,探究一,探究二,探究三,規(guī)范解答,反思感悟,探究一,探究二,探究三,規(guī)范解答,變式訓(xùn)練2,(1)求sin CED的值; (2)求BE的長(zhǎng).,探究一,探究二,探

5、究三,規(guī)范解答,解:設(shè)CED=. (1)在CDE中,由余弦定理, 得EC2=CD2+DE2-2CDDEcos EDC. 于是由題設(shè)知,7=CD2+1+CD,即CD2+CD-6=0, 解得CD=2(CD=-3舍去).,探究一,探究二,探究三,規(guī)范解答,探究一,探究二,探究三,規(guī)范解答,【例3】從A處下山到C處有兩種途徑,一種是從A沿直線(xiàn)步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車(chē)到B,然后從B沿直線(xiàn)步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行.速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后,乙從A乘纜車(chē)到B,在B處停留1 min后,再?gòu)腂勻速步行到C.假設(shè)纜車(chē)勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度為130 m/m

6、in.山路AC長(zhǎng)為1 260 m,經(jīng)測(cè)量, (1)求索道AB的長(zhǎng). (2)問(wèn):乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車(chē)上與甲的距離最短?,探究一,探究二,探究三,規(guī)范解答,分析:(1)先利用三角變換公式,求出sin B,再利用正弦定理求出AB的長(zhǎng); (2)先利用余弦定理,列出關(guān)于時(shí)間t的關(guān)系式,再利用函數(shù)性質(zhì)求其最值.,探究一,探究二,探究三,規(guī)范解答,探究一,探究二,探究三,規(guī)范解答,反思感悟(1)三角形應(yīng)用題主要是解決三類(lèi)問(wèn)題:測(cè)高度、測(cè)距離和測(cè)角度. (2)在解三角形時(shí),要根據(jù)具體的已知條件合理選擇解法,同時(shí),不可將正弦定理與余弦定理割裂開(kāi)來(lái),有時(shí)需綜合運(yùn)用. (3)在解決與三角形有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題時(shí),首

7、先要明確題意,正確畫(huà)出平面圖形或空間圖形,然后根據(jù)條件和圖形特點(diǎn)將問(wèn)題歸納到三角形中解決.要明確先用哪個(gè)公式或定理,先求哪些量,確定解三角形的方法.在演算過(guò)程中,要算法簡(jiǎn)練、算式工整、計(jì)算正確,還要注意近似計(jì)算的要求. (4)在畫(huà)圖和識(shí)圖過(guò)程中要準(zhǔn)確理解題目中所涉及的幾種角,如仰角、俯角、方位角,以防出錯(cuò).,探究一,探究二,探究三,規(guī)范解答,變式訓(xùn)練3某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上,在小艇出發(fā)時(shí),輪船位于港口O北偏西30且與該港口相距20海里的A處,并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛,經(jīng)過(guò)t小時(shí),小艇與輪船相遇.假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)

8、,試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇,并說(shuō)明理由.,探究一,探究二,探究三,規(guī)范解答,探究一,探究二,探究三,規(guī)范解答,解三角形知識(shí)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用 【典例】某城市有一塊不規(guī)則的綠地如圖所示,城建部門(mén)欲在該地上建造一個(gè)底座為三角形的環(huán)境標(biāo)志,小李、小王設(shè)計(jì)的底座形狀分別為ABC,ABD,經(jīng)測(cè)量AD=BD=14,BC=10,AC=16,C=D. (1)求邊AB的長(zhǎng)度. (2)若建造環(huán)境標(biāo)志的費(fèi)用與用地面積成正比,不考慮其他因素,小李、小王誰(shuí)的設(shè)計(jì)使建造費(fèi)用較低,請(qǐng)說(shuō)明理由. 分析:(1)在ABC和ABD中,根據(jù)余弦定理列出方程組求解;(2)利用三角

9、形面積公式比較大小.,探究一,探究二,探究三,規(guī)范解答,規(guī)范解答 (1)在ABC中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2ACBCcos C =162+102-21610cos C. 在ABD中,由余弦定理及C=D, 整理得AB2=AD2+BD2-2ADBDcos D =142+142-2142cos C, 得142+142-2142cos C=162+102-21610cos C,又C為三角形的內(nèi)角,所以C=60, 又C=D,AD=BD,所以ABD是等邊三角形, 即邊AB的長(zhǎng)度為14.,探究一,探究二,探究三,規(guī)范解答,(2)小李的設(shè)計(jì)符合要求.理由如下: 因?yàn)锳DBDACBC,所以SAB

10、DSABC, 由已知建造費(fèi)用與用地面積成正比,故選擇ABC建造環(huán)境標(biāo)志費(fèi)用較低. 即小李的設(shè)計(jì)使建造費(fèi)用較低.,探究一,探究二,探究三,規(guī)范解答,反思提升1.本題是典型的解三角形知識(shí)在實(shí)際中的應(yīng)用問(wèn)題,同時(shí)也是一道小型的建模問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是抽象出模型. 2.解決本題要關(guān)注兩個(gè)點(diǎn):一是充分利用C=D這一條件,二是抽象出的三角模型還要回歸到實(shí)際問(wèn)題中,以便做出合理的選擇.,1,2,3,4,5,答案:D,1,2,3,4,5,答案:B,1,2,3,4,5,3.一艘海輪從A處出發(fā),以每小時(shí)40 n mile的速度沿東偏南50方向直線(xiàn)航行,30 min后到達(dá)B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是東偏南20,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65,則B,C兩點(diǎn)間的距離是(),答案:A,1,2,3,4,5,4.在ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,已知a,b,c