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習(xí) 題 課 二 十 七1設(shè)，其中是由和圍成的區(qū)域，試在直角坐標(biāo)系、柱面坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系下分別將I化為三次積分。解：（1）在直角坐標(biāo)系下，兩曲面的交線為，面上的投影區(qū)域?yàn)椤?。（2）在柱面坐標(biāo)系下，。（3）在球面坐標(biāo)系下，。2將直角坐標(biāo)系下的三次積分，分別化為柱面坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系下的三次積分。解：對應(yīng)的三重積分區(qū)域上頂為錐面，下底為平面上的圓，側(cè)面為圓柱即。在柱面坐標(biāo)系下的三次積分為 ；在球面坐標(biāo)系下的三次積分為。3計(jì)算三重積分，其中是由曲面與所圍成的區(qū)域。解： 4計(jì)算三重積分，其中是由曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面與平面，所圍成的區(qū)域。解法1：旋轉(zhuǎn)曲面的方程為，（先二后一法） 。解法2： 。解法3：。5求，其中：。解：令，則：，。 ?；蛴奢啌Q對稱性知：，.6利用廣義球面坐標(biāo)變換計(jì)算曲面（）所圍成的體積V。解：作廣義球面坐標(biāo)變換，曲面方程化為，由。 7在密度為1的半球體的底面接上一個(gè)相同材料的柱體：，試確定h的值，使整個(gè)球柱體的重心恰好落在球心上。解：設(shè)整個(gè)球柱體的重心為，由對稱性知。 由，得故當(dāng)時(shí)，整個(gè)球柱體的重心恰好落在球心上。8. 求曲線AB的方程，使圖形OABD繞x軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)體的形心的橫坐標(biāo)等于曲線上任一點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的。解：設(shè)，即AB的方程為。又設(shè)旋轉(zhuǎn)體

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