1、7.1 預備知識,一、空間直角坐標系,二、向量代數(shù)簡介,三、空間曲面與方程,四、平面區(qū)域的概念及其解析表示,1.坐標系的建立,一、空間直角坐標系,2.空間中的點與三元有序數(shù)組的對應,一些特殊點的坐標,向量：,既有大小又有方向的量.,向量表示：,模長為1的向量.,零向量：,模長為0的向量.,向量的模：,向量的大小.,單位向量：,二、向量代數(shù)簡介,或,或,或,自由向量：,不考慮起點位置的向量.,相等向量：,大小相等且方向相同的向量.,負向量：,大小相等但方向相反的向量.,向徑：,1、 加法：,（平行四邊形法則）,特殊地：若,分為同向和反向,（平行四邊形法則有時也稱為三角形法則）,二、向量的線性運算

2、,向量的加法符合下列運算規(guī)律：,（1）交換律：,（2）結合律：,（3）,2、 減法,、向量與數(shù)的乘法,數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律：,（1）結合律：,（2）分配律：,兩個向量的平行關系,證,充分性顯然；,必要性,兩式相減，得,按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，,上式表明：一個非零向量除以它的模的結果是一個與原向量同方向的單位向量.,例1 化簡,解,例2 試用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形必是平行四邊形.,證,結論得證.,4.向量的分解與向量的坐標,由向量加法定義有,因此,5.空間中兩點間的距離公式,特殊地：若兩點分別為,6.兩向量的標量積（即內(nèi)積）,定義,標量積符合下列運算規(guī)律：,（1）交換律

3、：,（2）分配律：,（3）若 為數(shù)：,若 、 為數(shù)：,關于標量積的說明：,證,證,設,標量積的坐標表達式,即兩個向量的標量積等于它們對應坐標的乘積之和.,兩向量夾角余弦的坐標表示式,由此可知兩向量垂直的充要條件為,解,證,三、空間曲面與方程,水桶的表面、臺燈的罩子面等,曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡,曲面方程的定義：,曲面的實例：,研究空間曲面有兩個基本問題：,（2）已知坐標間的關系式，研究曲面形狀,（1）已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程,例,解,解,根據(jù)題意有,所求方程為,根據(jù)題意有,化簡得所求方程,解,例,1.平面,如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法向量,法向量

4、的特征：,垂直于平面內(nèi)的任一向量,已知,設平面上的任一點為,必有,平面上的點都滿足上方程，不在平面上的點都不滿足上方程，上方程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形,其中法向量,已知點,空間中平面的一般方程為,平面一般方程的幾種特殊情況：,平面通過坐標原點；,平面通過 軸；,平面平行于 軸；,平面平行于 坐標面；,類似地可討論 情形.,類似地可討論 情形.,設平面為,由平面過原點知,所求平面方程為,解,設平面為,將三點坐標代入得,解,將,代入所設方程得,平面的截距式方程,設平面為,由所求平面與已知平面平行得,（向量平行的充要條件）,解,化簡得,令,所求平面方程為,2.柱面,定義7.1,3、旋轉曲面

5、,定義,以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面.,這條定直線叫旋轉曲面的軸,旋轉過程中的特征：,如圖,將 代入,得方程,例12 將下列各曲線繞對應的軸旋轉一周，求生成的旋轉曲面的方程,旋轉雙曲面,旋轉橢球面,旋轉拋物面,3.二次曲面,二次曲面有下面幾種標準形式，它們分別表示：,解,故橢球面被包含在一個直平行六面體內(nèi)，它是有界的圖形.,例13,例14,解,方向向量的定義：,如果一非零向量平行于一條已知直線，這個向量稱為這條直線的方向向量,4、空間直線的方程,直線的對稱式方程,令,直線的參數(shù)方程,定義,空間直線可看成兩平面的交線,空間直線的一般方程,空間直線的一般方程,例15 用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線,解,得,得,于是得到參數(shù)方程,由此得到對稱式方程,解,所以交點為,所求直線方程,（1）鄰域,四、平面區(qū)域的概念及其解析表示,（2）區(qū)域,例如，,為開集,連通的