1、二、無(wú)窮小量階的比較,5 無(wú)窮大量與無(wú)窮小量,由于 等同于 因,分析”.,相同的. 所以有人把 “數(shù)學(xué)分析” 也稱為 “無(wú)窮小,此函數(shù)極限的性質(zhì)與無(wú)窮小量的性質(zhì)在本質(zhì)上是,四、漸近線,三、無(wú)窮大量,一、無(wú)窮小量,返回,一、無(wú)窮小量,定義1,則稱 f 為,顯然，無(wú)窮小量是有界量.而有界量不一定是無(wú)窮,例如:,對(duì)于無(wú)窮小量與有界量，有如下關(guān)系：,小量.,1. 兩個(gè)(類型相同的)無(wú)窮小量的和，差，積仍是,2. 無(wú)窮小量與有界量的乘積仍為無(wú)窮小量.,性質(zhì)1可由極限的四則運(yùn)算性質(zhì)直接得到.,無(wú)窮小量.,下面對(duì)性質(zhì)加以證明.,例如:,應(yīng)當(dāng)注意, 下面運(yùn)算的寫法是錯(cuò)誤的：,在 近旁發(fā)生無(wú),二、無(wú)窮小量階的比

2、較,兩個(gè)相同類型的無(wú)窮小量，它們的和、差、積仍,出如下定義.,兩個(gè)無(wú)窮小量之間趨于零的速度的快慢，我們給,這與它們各自趨于零的速度有關(guān).為了便于考察,是無(wú)窮小量，但是它們的商一般來(lái)說(shuō)是不確定的.,例如：,2. 若存在正數(shù) K 和 L，使得在 x0 的某一空心鄰域,內(nèi)，有,根據(jù)函數(shù)極限的保號(hào)性，特別當(dāng),時(shí)，這兩個(gè)無(wú)窮小量一定是同階的.,則記,我們記,窮小量，當(dāng)然有,反之不一定成立, 例如,但是這兩個(gè)無(wú)窮小量不是同階的.,和通常的等式是不同的，這兩個(gè)式子的,右邊，本質(zhì)上只是表示一類函數(shù)例如,表示 的所有高階無(wú)窮小量的集合,等價(jià)無(wú)窮小量，記作,也就是說(shuō)，這里的 “=” 類似于,根據(jù)等價(jià)無(wú)窮小量的定義

3、，顯然有如下性質(zhì)：,前面討論了無(wú)窮小量階的比較, 值得注意的是, 并,這是因?yàn)?不是任何兩個(gè)無(wú)窮小量都可作階的比較. 例如,按照前面討論的方式進(jìn)行階的比較. 這是因?yàn)?是一個(gè)無(wú)界量，并且,下面介紹一個(gè)非常有用的定理：,定理 3.12 告訴我們，在求極限時(shí)，乘積中的因子,例1,(2) 可以類似地證明.,可用等價(jià)無(wú)窮小量代替，這是一種很有用的方法.,例2,解,G 0, 存在 0，使得當(dāng),時(shí),有,三、無(wú)窮大量,記作,請(qǐng)讀者自行寫出它們的定義.,無(wú)窮大量和負(fù)無(wú),類似地可以定義如下的無(wú)窮大量:,窮大量.,例3,證,這就證明了,例5,證,從無(wú)窮大量的定義與例3、例4和例5可以看出：,無(wú)窮大量不是很大的一個(gè)

4、數(shù)，而是具有非正常的,的任何一個(gè)鄰域內(nèi)無(wú)界. 但值得注意的是: 若 f (x),卻不是 x 時(shí)的無(wú)窮大量. 事實(shí)上, 對(duì),無(wú)界量) , 并不能保證 f (x) 是 x x0 的無(wú)窮大量.,在 x0 的任何鄰域內(nèi)無(wú)界 (稱 f (x) 是 x x0 時(shí)的,因而 f (x)不是 x 時(shí)的無(wú)窮大量.,兩個(gè)無(wú)窮大量也可以定義階的比較. 設(shè),無(wú)窮大量.,則稱 f (x) 與 g (x) 是當(dāng) x x0 時(shí)的一個(gè)同階無(wú)窮,大量.,當(dāng) x x0 時(shí),的等價(jià)無(wú)窮大量，,下述定理反映了無(wú)窮小量與無(wú)窮大量之間的關(guān)系,直觀地說(shuō)：無(wú)窮大量與無(wú)窮小量構(gòu)成倒數(shù)關(guān)系.,定理3.13,(1) 若 f 為 xx0 時(shí)的無(wú)窮小量

5、, 且不等于零, 則,這就證明了,的無(wú)窮小量.,這就說(shuō)明了當(dāng) b = 0 時(shí)結(jié)論不一定成立.,即,例8,由此得到一列 ，滿足 且,注 例8的證明雖然有些難度，但它卻提供了選取,法, 對(duì)提高解題能力是有益處的.,符合要求的點(diǎn)列的一種方法. 熟練地掌握這種方,四、漸近線,作為函數(shù)極限的一個(gè)應(yīng)用，我們來(lái)討論曲線的漸,它的漸近線方程為,近線問(wèn)題.,下面給出漸近線的一般定義.,定義4 設(shè) L 是一條直線, 若曲線 C 上的動(dòng)點(diǎn) P 沿,曲線無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí), 點(diǎn) P 與 L 的距離趨于零，則,稱直線 L 為曲線 C 的一條漸近線(如圖).,由漸近線的定義，,首先, 我們來(lái)看如何求曲線 的斜漸近線.,從而,又,所以，,這樣就確定了斜漸近線的兩個(gè)參數(shù)：,這是沿 x 軸正向的漸近線的方程. 顯然沿 x 軸負(fù)向,同樣也可以求出沿著 x 的漸近線方程.,的斜漸近線的斜率和截距分別為,注 特別當(dāng) k = 0 時(shí)，該漸近線稱為水平漸近線.,則稱 x = x0 是曲線 的垂直漸近線.,顯然，曲線 y = f (x) 有水平漸近線的充要條件是,并且 f