1、2001級(jí)高等數(shù)學(xué)（上）期中試卷 一、填空題（每小題4分，共28分）1當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無窮小，則 4 。2.設(shè)在處連續(xù)，則 1 ， 2 。3.若，其中可導(dǎo)，則 。4.函數(shù)由確定，則。5.函數(shù)在處的三階帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式為： . 6.設(shè)，則。二、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，共16分） 7.若，當(dāng)時(shí)，與之差是關(guān)于（ A ） （A）高階無窮小； （B）低階無窮??； （C）同階無窮??； （D）等價(jià)無窮小。8. （ D ）（A）等于2；（B）等于0；（C）為；（D）不存在但不為。9.設(shè)，則使存在的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)為（ C ） （A）0； （B）1； （C）2； （D）3。 10.設(shè)，有，且在內(nèi)，則在內(nèi)（

2、 A ） （A），；（B），； （C），；（D），。三、計(jì)算題（每小題6分，共24分）11. 12. 13.設(shè) 求。解： ， 。 14. 設(shè)函數(shù) （1）求的表達(dá)式；（2）討論的連續(xù)性及可導(dǎo)性。解：設(shè)， .，在點(diǎn)處連續(xù)。 又由初等函數(shù)的連續(xù)可知在和內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)連續(xù)。 ， 不存在，。四、解答題（共30分）15.求函數(shù)的間斷點(diǎn)，并指出類型。（6分） 解：的間斷點(diǎn)為，。， ， 是第一類間斷點(diǎn)且為跳躍間斷點(diǎn)。 ， 是第一類間斷點(diǎn)且為可去間斷點(diǎn)。 ，是第二類間斷點(diǎn)且為無窮間斷點(diǎn)。16. 一飛機(jī)在離地面的高度，以/的速度飛行到某目標(biāo)上空，以便進(jìn)行航空攝影，試求飛機(jī)飛到該目標(biāo)正上方時(shí)，攝影機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。（8

3、分） 解：， ， 把，代入上式，得: 。17設(shè)某銀行中的總存款量與銀行付給存戶年利率的平方成正比。若銀行以的年利率把總存款的貸出，問銀行給存戶的年利率定為多少，它才能獲得最大利潤(rùn)？解：設(shè)銀行付給存戶的年利率為，總存款量為，總利潤(rùn)為，則（為常數(shù)），即 ， ， ， 令，得，(應(yīng)舍去)。 ，是極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)。 當(dāng)銀行給存戶的年利率定為時(shí)，才能獲得最大利潤(rùn)。18.試確定方程的根的個(gè)數(shù)，并指出每一根所在的范圍。（8分） 解：設(shè)， 則在內(nèi)的零點(diǎn)與方程的實(shí)根相同。 令，得駐點(diǎn)，。-+-極小值極大值， 在內(nèi)單減，且， ，在內(nèi)都有唯一零點(diǎn)。（1） 當(dāng)，即時(shí)，在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，原方程有一個(gè)實(shí)根。（2） 當(dāng)，即時(shí)，是的零點(diǎn)， 在內(nèi)還有一個(gè)零點(diǎn)，原方程有二個(gè)實(shí)根。（3） 當(dāng)，即時(shí)，在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)； 在內(nèi)單增，且，在內(nèi)有唯一零點(diǎn)；在內(nèi)單減，且，在內(nèi)有唯一零點(diǎn)。 因此有三個(gè)零點(diǎn)，原方程有三個(gè)實(shí)根。五、證明題（8分） 19設(shè)在上二階可導(dǎo)，且， 試證至少存在一點(diǎn)，使。解：