1、第二節(jié) 不定積分的換元積分法第一類換元法第二類換元法小結(jié)一、第一類換元法 cos 2 xdx= sin 2x + C ,問題利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.解決方法令 t = 2 x dx = 1 dt,過程2 cos 2 xdx = 1 cos tdt = 1 sin t + C= 1 sin 2 x + C .222設(shè)f(u)du = F(u) + C,u = j(x)可導(dǎo)定理1則有換元公式 f j ( x)j ( x)dx = f (u)duu=j ( x )= F(j(x) + C= (F(u) + C) |u=j( x)第一類換元公式（湊微分法）例1求下列不定積分1 . sin 2xdx

2、.解（一） sin 2 xdx = 1 sin 2 xd (2 x)21= -cos 2 x + C;2解（二） sin 2 xdx= 2 sin x cos xdx= 2 sin xd (sin x)= (sin x)2+ C;解（三） sin 2 xdx= 2 sin x cos xdx= -2cos xd(cos x)= -(cos x)2 + C.1dx.2 .x(1 + 2ln x)11dx = 解d (ln x)x(1 + 2ln x)1 + 2ln x= 1 1d (1 + 2ln x)21 + 2ln xu = 1 + 2ln x= 1 1 du = 1 ln | u | +C

3、 = 1 ln | 1 + 2ln x | +C.2u221+ x2 a23 .dx.1dx = 11dx解+ x2a22a2x1 +a2= 11d x = 1 arctan x + C .a a 2aa1 + x a x (1 + x)3dx.4.x + 1 - 1x(1 + x)3=dx(1 + x)3 dx解= 1- 1d (1 + x)(1 + x)2(1 + x)311= -+ C1 + x2(1 + x)21 1 + e xdx.5.1 + ex - ex1 + ex1 1 + e x dx = dx解exex= dx -=1 -dx1 + ex dx1 + ex11 + ex=

4、dx -d (1 + ex )= x - ln(1 + ex ) + C. xx (1 + ln x)dx= exln xd(x ln x) = ex ln x+ C.6.例2求下列不定積分1 dx.1).2 x + 3 +2 x - 12x + 3 -2x - 12x + 3 -原式= (dx2x - 1)(2x - 1)2x + 3 += 1 2 x + 3dx - 1 2 x - 1dx44= 1 2 x + 3d (2 x + 3) - 1 2 x - 1d (2 x - 1)881 (1 (2 x + 3)3 -2 x - 1)3 + C .=1212 x31 - x2dx2).=

5、x(x2 - 1) + 11 - x2dx= - 1 -(1 - x2 ) + 11 - x2d(1 - x2 )12123-(1 - x2 )2= -+ (1 - x2 )2 d(1 - x2 )5(1 - x2 )23151=-(1 - x2 )2 + C3 xf( x2 ) f ( x2 )dx3).1 x2dx.4)求- 8 x + 2511 ( x - 4)2=解dxdx- 8 x + 251x2+ 91d x - 4 = 1dx = 13 3222 x - 4 x - 4 3+ 1+ 133= 1 arctan x - 4 + C .33例3.求不定積分(含三角函數(shù),要注意利用恒等

6、式變換)1. sin4xdx sin3xdx csc xdx.2.= sin xdx 1dx csc xdx sin x=解sin2 xu = cos x= - 1d (cos x)1 - cos2 xdu = - 111du12 1 - u 1 - u2+= -1 + u = 1 ln | 1 - u | +C= 1 ln | 1 - cosx | +C.1 + u1 + cosx22= ln | cscx - cotx | +C.secxdx = ln | secx + tanx | +C.類似地可推出 1dx.3.1 + cos x 1dx = 1 - cos xdx解(1 + cos

7、x )(1 - cos x )1 + cos x= 1 - cos x dx =1 - cos x dx1 - cos2 xsin2 x= 1dx - 1d (sin x)sin2 x= -cot x +sin2 x1+ C .sin x sin2 x cos5 xdx.4.求 sin2x cos5 xdx = sin2 x cos4 xd(sin x)x (1 - sin2 x)2 d(sin x)解= sin2= (sin2 x - 2sin4 x + sin6 x)d(sin x)= 1 sin3 x - 2 sin5 x + 1 sin7 x + C .357說明 當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)

8、相乘時，拆開奇次項去湊微分. tan 4 xdx= (tan4 x - 1 + 1)dx5.= sec2 x= (tan2 x - 1)(tan2 x + 1) + 1dx= sec2 xtan2 x - sec2 x + 1dx= tan2 xd tan x - sec2 xdx + dx= 1 tan3 x - tanx + x + c3又如: sec6 xdx= (1 + tan2 x)2dtan xsin2xcos3xdx6.= 1 sin 5x + sin(-x)dx2= 1 sin 5xdx - 1 sin xdx2= -2cos5x + 1 cos x + C2110三角公式:s

9、in(a b) = sin acosb cosasin b cos(a b) = cosacosb m sin asin bsin a + sin b = 2 sin a + b cos a - b22cosa + cosb = 2scos a + b sin a - b22cosa - cosb = -2 sin a + b sin a - b22sin asin b = - 1 cos(a + b) - cos(a - b)2cosacosb =1 cos(a + b) + cos(a - b)2sin acosb =1 sin(a + b) + sin(a - b)2二、第二類換元法處理

10、被積函數(shù)中含有根式的不定積分ax + bax + bax + b = t令n形式(I)含nax + bcx + d形式(II)含n= t令ncx + d+ x2a2形式(III)含含含a2- x2- a2三角函數(shù)替換x2ax + bax + b = t形式(I)含nn令 x + 1例1dx3x + 13解: 令3 3x + 1 = t 3x + 1 = t3 dx = t2dt(t3 -1) + 1132原式= 3t2dt= (t4+ t)dt3t= 1 t5+ 1 t2+ C注意:要回代1513152=(3x + 1)+(3x + 1)+ C 3 3153說明(1) 當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種

11、以上的x 時，可采用令x = t n根式kx,L, l（其中n為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）1 dx.例2求x(1 +3x )令 x = t 6 dx = 6t 5dt,解 1 dx6t 56t 2 t 3 (1 + t 2 ) dt = 1 + t 2 dt=x(1 +3x )+ 1 - 1dt2= 6 t - 1= 6t - arctan t + C= 61dt1 + t 21 + t2= 66x - arctan 6x + C .1dx.例 3 求1 + ex1 + ex令 t = e x= t 2 - 1,解2tdx =exdx = 2tdt,dt,- 1t 2111 dt2 t - 1 t

12、 2dx =dt =-t + 11 + ex- 1t - 1t + 11+ ex-1= ln+ C= ln+ C.1+ ex+1ax + bcx + dax + b形式(II)含ncx + d = t1 x 22 - x令n 1dx例4(x - 1)(2 - x)解:(x - 1)(2 - x) = (x - 1)x - 1令 2 - x = t 2 - x = t2(x - 1)2t dx = -dtx - 1(1 + t 2 )22原式=-dt =- 2arctant + C1 + t22 - x + C= -2arctanx - 1t p令 x = atant令 x = asint令 x

13、 = asect形式(III)含 a+ x222t 0)解: 令x = asin t, t 0).dx例7 求+ a2x2t - p , p 令x = a tan t dx = a sec2 tdt解2 21dx = 1 a sec2 tdt+ a2x2a sec t= sec tdt= ln | sect + tant | +C1x+ a2tx2= ln x + a2+ C.x2a1(a 0).dx例8求- a2x2令 x = a sect, x 0 t 0, p dx = a sec t tan tdt解2 1 a sec t tan tdtdx =- a2x2a tan t= sec t

14、dt = ln | sect + tant | +C1xtx- a22= ln x +x2- a2+ C.ax 0)時，可作變量代換_ x 22、求 _ ，然后再求積分；3、求 1dx 時可先令x =；x1 + x 24、 x dx = _d ( 1 - x 2 ) ；- x- x25、 e2 dx = d (1 + e) ；dx =d (3 - 5 ln x)；6、 xdx= _d ( arctan 3 x )；7、 1 + 9 x 2xdx=1 - x 2 ) ；d (8、 1 - x 29、 sint dt =；tx 2 dx10、 = .a 2- x 2二、求 下列不定積分：（第一類換

15、元法）1、a + xdx ； 2 、 dx；a - xx ln x ln ( ln x )3、 tan1 + x 2 . xdx； 4 、 dx；e x + e - x1 + x 21 + x 3 dx ； 6 、 sin x cos x dx ；x 25、1 + sin 4 x 1 - xdx ；9 - 4 x 2+ sin x cos x dx7、； 8 、sin x - cos x3x 3dxdx ； 10 、 x( x 69、 9 + x 2+ 4) ；11、 arctanx dx ； 12 、 x + 1dx13、x(1 + xe x )x(1 + x)102 arccos xln

16、tan xdx； 14 、 cos x sin x dx .1 - x 2三、求 下列不定積分：（第二類換元法）1、 dx；x +1 - x 22、 dx；( x 2 + 1)33、 dx；1 + 2x xdx ；4、 x2a - x5、設(shè) tannxdx ,求證：1=tan n-1x - Itan5 Ixdx. , 并求n- 2nn - 1練習(xí)題答案一、1、F (u) + C ;； 2、x = a sec t 或x = a csc t ；112-15 3 、 ； 4 、t1； 5 、 -2； 6 、2 cost + C ； 7 、 ； 8 、3； 9 、a 2xx-a- x) + C .22(arcsin 10、a 22a二、1、a arcsin x - x 2 + C ； 2、ln ln ln x + C ；a 2a + C ； 3、- ln(cos1 + x 2 ) + C ； 4、arctan e x3(1 + x 3 ) 2291+ C ； 6 、arctan(sin 2 x) + C 5、27、3 32(sin x - cos x)2 + C ；9 - 4 x 212 x+ C ；arcsin8、234x 29-ln( x 2 + 9) + C